Solusi optimum pada contoh 2.1 dapat dilihat berdasarkan Gambar 2.1 yaitu
, dan . Untuk mencari solusi optimum yang
bernilai bilangan bulat pada contoh 2.1, garis Z digeser secara sejajar dari titik yang menunjukkan solusi optimum menuju titik asal. Solusi optimum yang benilai
bilangan bulat adalah titik bilangan bulat pertama yang bersinggungan dengan garis Z yaitu
, dan .
2.3 Metode Simpleks
Pada tahun 1947 George Dantzig mengajukan suatu metode yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan program linier yang disebut metode simpleks.
Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah layak menuju
titik ekstrim optimum Siagian, 2006. Ada beberapa istilah yang sering digunakan dalam metode simpleks, di
antaranya: 1. Iterasi adalah tahapan perhitungan di mana nilai dalam perhitungan itu
tergantung dari nilai tabel sebelumnya. 2. Variabel non basis adalah variabel yang nilainya diatur menjadi nol pada
sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variabel non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistim persamaan.
3. Variabel basis merupakan variabel yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variabel basis merupakan variabel slack jika fungsi
ken dala merupakan pertidaksamaan ≤ atau variabel buatan jika fungsi
kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =. Secara umum, jumlah variabel basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas tanpa fungsi non
negatif. 4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih
tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.
5. Variabel slack adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan =.
Universitas Sumatera Utara
Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.
6. Variabel surplus adalah variabel yang dikurangkan dari model matematika kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan =.
Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis.
7. Variabel buatan adalah variabel yang ditambahkan ke model matematika kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis
awal. Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variabel ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak
ada. Variabel hanya ada di atas kertas. 8. Kolom pivot kolom kerja adalah kolom yang memuat variabel masuk.
Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris pivot baris kerja.
9. Baris pivot baris kerja adalah salah satu baris dari antara variabel basis yang memuat variabel keluar.
10. Elemen pivot elemen kerja adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk
tabel simpleks berikutnya. 11. Variabel masuk adalah variabel yang terpilih untuk menjadi variabel basis
pada iterasi berikutnya. Variabel masuk dipilih satu dari antara variabel non basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi berikutnya akan bernilai
positif. 12. Variabel keluar adalah variabel yang keluar dari variabel basis pada iterasi
berikutnya dan digantikan oleh variabel masuk. Variabel keluar dipilih satu dari antara variabel basis pada setiap iterasi. Variabel ini pada iterasi
berikutnya akan bernilai nol. Berikut langkah-langkah dalam menyelesaikan permasalahan program
linier dengan metode simpleks Handayani, 2014: 1.
Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar. Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian daerah
kelayakan feasible maka semua pertidaksamaan diubah menjadi persamaan
Universitas Sumatera Utara
dengan cara menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan artifisial variabel pada tiap batasan constraint serta memberi harga nol
pada setiap koefisien tujuannya. Batasan dapat dimodifikasi sebagai berikut: a.
Untuk batasan bernotasi diubah ke dalam bentuk persamaan dengan
menambahkan variabel slack. b.
Untuk batasan bernotasi atau diselesaikan dengan menambahkan
variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan ini akan merusak sistim batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat
suatu bilangan penalty M M bilangan positif yang sangat besar sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi tujuan. Untuk kasus
maksimasi maka dibuat –M sebagai harga dari variabel buatan dan untuk
kasus minimasi dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara pendekatan ini dikenal dengan metode M besar Big M method.
2. Susun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks
Tabel 2.1 Bentuk Tabel Simpleks
... ...
... Solusi
Variabel Basis
Harga Basis
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
...
3. Pilih kolom kunci, yaitu kolom yang memiliki nilai
yang paling positif untuk kasus maksimasi atau yang memiliki nilai
yang paling negatif untuk kasus minimasi.
4. Pilih baris kunci yang memiliki nilai indeks terkecil. Nilai indeks adalah
perbandingan nilai kanan dengan kolom kunci,
Universitas Sumatera Utara
5. Tentukan nilai elemen cell, yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci. 6.
Lakukan iterasi dengan menentukan baris kunci baru, baris Z baru, dan baris variabel-variabel slack baru.
a. Baris kunci baru ditentukan dengan membagi baris kunci lama dengan
elemen cell. b.
Baris Z baru dan baris-baris lainnya ditentukan dengan cara: Baris lama
– nilai kolom kunci baris yang sesuai × baris kunci baru c.
Letakkan nilai-nilai baris yang baru diperoleh ke dalam tabel. 7.
Lakukan uji optimalisasi. Jika semua koefisien pada baris sudah
tidak ada lagi yang bernilai positif untuk kasus maksimasi atau sudah tidak ada lagi yang bernilai negatif untuk kasus minimasi berarti sudah optimal.
Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3. Diberikan suatu permasalahan yang akan diselesaikan dengan metode simpleks
sebagai berikut: Contoh 2.2
Tentukan nilai bilangan bulat dan
dari masalah berikut:
maksimumkan Z =
+ kendala
+ 60
+ 48
adalah bilangan bulat Penyelesaian:
a. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar sebagai berikut:
maksimumkan Z =
+ kendala
+ +
+ = 60
+ +
+ = 48
b. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel simpleks sebagai berikut:
Tabel 2.2 Tabel Simpleks Iterasi 0 pada Contoh 2.2
8 6
Solusi
Universitas Sumatera Utara
Variabel Basis
Harga Basis
4 2
1 60
2 4
1 48
8 6
c. Memilih kolom kunci, dikarenakan pada masalah merupakan kasus
maksimasi maka dipilih nilai yang paling positif sebagai berikut:
Tabel 2.3 Proses 1 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8 6
Solusi Variabel
Basis Harga
Basis 4
2 1
60 2
4 1
48 8
6 d.
Memilih baris kunci yaitu dengan membagi kolom solusi dengan kolom kunci yang telah dipilih, kemudian dipilih nilai yang paling terkecil sebagai
berikut:
maka keluar dari variabel basis dan
masuk dalam variabel basis, sehingga diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.4 Proses 2 Tabel Simpleks Menuju Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8 6
Solusi Variabel
Basis Harga
Basis 8
4 2
1 60
2 4
1 48
8 6
e. Menentukan nilai elemen cell yaitu nilai perpotongan antara kolom kunci dan
baris kunci, kemudian setelah terpilih nilai elemen cell maka lanjut membagi baris kunci dengan nilai elemen cell yang dipilih sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
dan menentukan baris yang lainnya yaitu dengan cara sebagai berikut:
serta menentukan baris yang baru yaitu dengan cara sebagai berikut:
mengalikan nilai variabel basis pada kolom harga basis dengan kolom masing-masing variabel, kemudian baris
dikurang dengan hasil ,
sehingga hasilnya diperoleh sebagai berikut:
Tabel 2.5 Tabel Simpleks Iterasi 1 pada Contoh 2.2
8 6
Solusi Variabel
Basis Harga
Basis 8
1 0,5
0,25 15
3 -0,5
1 18
2 -2
120 f.
Melakukan uji optimalisasi, dalam masalah ini kasusnya maksimasi maka nilai pada baris
tidak ada lagi yang bernilai positif. Dan terlihat bahwa pada Tabel 2.5 masih ada yang bernilai positif maka
dilanjutkan ke iterasi 2, proses pengerjaan pada iterasi 2 sama dengan proses pengerjaan pada iterasi 1, sehingga diperoleh solusi optimumnya pada iterasi 2,
setelah menguji optimalisasi pada iterasi 2 terlihat bahwa baris tidak ada
lagi yang bernilai positif, dapat dilihat Tabel 2.6 sebagai berikut:
Tabel 2.6 Solusi Optimum Awal pada Iterasi 2 Contoh 2.2
8 6
Solusi Variabel
Basis Harga
Basis 8
1 0,3333
-0,1667 12
6 1
-0,1667 0,3333
6 -1,6667 -0,6667
132 Karena baris
≥ 0, maka persoalan telah optimal dengan maksimum Z = 132 untuk
, .
Universitas Sumatera Utara
2.4 Metode Branch and Bound
