2.4 Analisis Regresi Linier Berganda
Untuk memperkirakan nilai variabel tak bebas Y, akan lebih baik apabila kita ikut memperhitungkan variabel-variabel bebas lain yang ikut mempengaruhi nilai Y.
dengan demikian dimiliki hubungan antara satu variabel tidak bebas Y dengan beberapa variabel lain yang bebas X
1
, X
2
, dan X
3
, . . . , X
k
. Untuk itulah digunakan regresi linear berganda. Dalam pembahasan mengenai regresi
sederhana, simbol yang digunakan untuk variabel bebasnya adalah X. Dalam regresi berganda, persamaan regresinya memiliki lebih dari satu variabel bebas
maka perlu menambah tanda bilangan pada setiap variabel tersebut, dalam hal ini X
1
, X
2
, . . . , X
k
Sudjana, 1996.
Model regresi linier berganda atas X
1
, X
2
, . . . , X
k
dibentuk dalam persamaan
i
= b + b
1
X
1
+ b
2
X
2i
+...+ b
k
X
ki
+ ε
i
2.9 Koefisien-koefisien b
, b
1
, b
2
, . . . , b
k
ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil seperti halnya menentukan koeisien b
0,
b
1
, untuk regresi
i
= b +b
1
X
i
+ e
i
oleh karena Rumus 2.9 berisikan k+1 buah koefisien, maka b , b
1
, b
2
, . . . , b
k
didapat dengan jalan menyelesaikan sistem persamaan yang terdiri atas k+1 buah persamaan. Dapat dibanyangkan bahwa untuk ini diperlukan metode
penyelesaian yang lebih baik dan karenanya memerlukan matematika yang lebih tinggi pula, lebih-lebih kalau harga k yang menyatakan variabel bebas, cukup
besar. Oleh karena itu untuk menyelesaikan persamaan regresi linier berganda dengan variabel bebas X lebih dari dua variabel dapat diselesaikan dengan
metode matriks.
Universitas Sumatera Utara
2.5 Matriks 2.5.1 Pengertian dan jenis-jenis matriks
R.K. Sembiring, 1996. Analisis Regresi Suatu matriks ialah suatu susunan unsur yang berbentuk persegi panjang.
Unsur disusun dalam bentuk baris dan lajur kolom. Suatu matriks A dikatakan berukuran b × l bila matriks itu mengandung b baris dan l lajur.
Jenis-jenis matriks adalah sebagai berikut: 1. Matriks diagonal
Matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar elemen diagonal utama sama dengan nol, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama
dengan nol. Contoh :
D= 2. Matriks identitas
Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya sama dengan nol, dan semua elemen pada diagonal utama sama dengan satu. Matriks
identitas yang berorde n biasanya diberi simbol In 3. Matriks segitiga atas
Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga
atasnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol.
4. Matriks segitiga bawah Matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol.
Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga bawahnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama
dengan nol. 5. Matriks nol
Matriks yang semua elemenya bernilai nol. Matriks ini biasanya diberi simbol O dan bentuknya tidak selalu bujur sangkar.
Universitas Sumatera Utara
6. Matriks baris Matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Matriks ini sering disebut dengan
vektor baris. 7. Matriks kolom
Matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Matriks ini sering disebut dengan vektor kolom.
8. Matriks simetris Matriks bujur sangkar yang memiliki a
ij
= a
ji
sehingga transposenya sama dengan matriks semula.
Contoh: suatu matriks C berukuran m×n
C=
2.5.2 Transpose suatu matriks
Transpose suatu matriks C, lambang , ialah matriks yang diperoleh dari C dengan mempertukarkan baris dengan lajurnya.
Jadi bila C =
maka =
2.5.3 Penjumlahan Matriks
Dua matriks yang berukuran sama dapat dijumlahkan maupun dikurangkan dengan menambahkan ataupun mengurangkan unsur yang sesuai.
Universitas Sumatera Utara
2.5.4 Perkalian Matriks
Perkalian dua matriks hanya dapat dikerjakan bila keduanya memenuhi sifat tertentu dan perkalian itu dikerjakan dengan cara yang tertentu pula. Dua matriks
bujur sangkar yang berukuran sama selalu dapat diperkalikan. Sedangkan perkalian AB hanya memenuhi arti bila banyaknya lajur A sama dengan
banyaknya baris B. Jadi bila A dinyatakan dengan a
ij
dan unsur B dinyatakan dengan b
jk
maka unsur C=AB adalah
Perhatikan bahwa pada umumnya AB ≠BA
Bila A=
dan B= Maka
AB = Dalam perkalian ini, BA tidak dapat dilakukan tidak terdefenisi . akan
tetapi bila A dan B setangkup dan perkalian AB terdefenisi maka AB=BA. Perkalian suatu matriks dengan matriks satuan akan menghasilkan matriks itu
sendiri.
2.5.5 Inversi Suatu Matriks
Misalkan A suatu matriks bujur sangkar p×p. Suatu matriks B ukuran p×p disebut inversi balikan dari A bila dipenuhi AB=BA =I. Lambang yang biasa digunakan
untuk inversi A adalah A
-1
, jadi AA
-1
=A
-1
A =I. Tidak mudah menghitung inversi suatu matriks kecuali bila ukurannya kecil
seperti 2×2, atau bila bentuknya amat sederhana. Untuk matriks dengan ukuran yang lebih besar dan bentuknya tidak sederhana biasanya perhitungan inversnya
dikerjakan dengan komputer.
Universitas Sumatera Utara
2.5.6 Determinan
Determinan adalah suatu skalar angka yang diperoleh dari suatu matriks bujur sangkar selalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses
penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian. Determinan dinotasikan dengan tanda | |.
Salah satu cara dalam perhitungan determinan, adalah dengan cara singkat. Cara singkat yang lazim dikenal untuk menghitung determinan dari matriks adalah
dengan menggunakan metode sarrus. Caranya dengan menempatkan elemen- elemen pada dua kolom pertama disebelah kanan notasi determinan sebagai
berikut: Bila A=
Maka =
2.6 Perhitungan Parameter dengan Menggunakan Metode Matriks Invers Matriks
Gere, James M. Dan William Weaver,JR. 1987 Penyelesaian subjek permasalahan dalam regresi berganda dapat ditangani dengan sistematis melalui
proses penyelesaian dengan aturan matriks. Analisis regresi berganda lebih dari dua variabel bebas X lebih mudah diselesaikan dengan metode matriks.
Dalam model persamaan regresi dengan kbuah variabel prediktor X yang indevenden dan satu variabel dependen Y, maka model persamaan statistiknya
dapat ditulis dengan: Y
i
= β
+ β
1
X
1i
+ β
2
X
2i
+ β
3
X
3i
+ … + β
k
X
ki
+ ε
i
i = 1,2, ,n 2.10
Keterangan: i = 1,2, ... ,n
Y
i
= Variabel terikat
Universitas Sumatera Utara
ε
i
= Nilai kesalahan X
1i
, X
2i
, X
3i
, ..., X
ki
= Variabel bebas β
, β
1
, β
2
, β
3
,… β
k
= Parameter regresi yang belum diketahui nilainya
Persamaan umum model regresi linier berganda populasi dengan jumlah variabel bebas X sebanyak kbuah
Y
1
= β
+ β
1
X
11
+ β
2
X
21
+ β
3
X
31
+ … + β
k
X
k1
+ ε
1
Y
2
= β
+ β
1
X
12
+ β
2
X
22
+ β
3
X
32
+ … + β
k
X
k2
+ ε
2
Y
3
= β
+ β
1
X
13
+ β
2
X
23
+ β
3
X
33
+ … + β
k
X
k3
+ ε
3
2.11 .
. .
Y
n
= β
+ β
X
1n
+ β
2
X
2n
+ β
3
X
3n
+ … + β
k
X
kn
+ ε
n
Persamaan regresi populasi dinyatakan dengan notasi matriks akan menjadi: Y = B [X] +
ε 2.12
. Apabila terdapat sejumlah n pengamatan dan k variabel bebas X maka untuk setiap observasi atau responden mempunyai persamaannya seperti berikut:
Ŷ
i
=b + b
1
X
1i
+ b
2
X
2i
+ b
3
X
3i
+ … + b
k
X
ki
+ ε
i
2.13 Keterangan:
i = 1,2, . . . , n Ŷ
i
= Variabel terikat ε
i
= Nilai kesalahan b
,b
1
,b
2
,b
3
,…b
k
= Parameter regresi yang belum diketahui nilainya X
1i
,X
2i
, X
3i
,... X
ki
= Variabel bebas
Persamaan umum model regresi linier berganda untuk setiap obsevasi atau responden dengan jumlah variabel bebas X sebanyak kbuah
Y
1
= b + b
1
X
11
+ b
2
X
21
+ ...
+ b
k
X
k1
Y
2
= b + b
1
X
12
+ b
2
X
22
+ ...
+ b
k
X
k2
. .
2.14 .
Y
n
= b + b
1
X
1n
+ b
2
X
2n
+...+ b
k
X
kn
Universitas Sumatera Utara
Dalam hal ini Ŷ merupakan penduga titik bagi Y, dengan menggunakan matriks
Y = b [X] + e 2.15
= +
dengan e = Y-
Ŷ 2.16
rumus 2.15 inilah yang akan kita gunakan untuk menghitung koefisien-koefisien b
, b
1
, …b
k
.Untuk itu, terhadap Rumus 2.15 kita kalikan sebelah kiri dan kanan dengan
sehingga diperoleh =
2.17 dan selanjutnya hasil ini dari sebelah kiri kita kalikan dengan inversnya
ialah
-1
sehingga diperoleh b =
-1
2.18
Inilah rumus untuk mencari koefisien regresi linear ganda b ,b
1
,b
2,
. . . .b
k
dalam bentuk matriks yang elemen-elementnya terdiri atas data pengamatan. Dalam bentuk jumlah kuadrat dan produk silang data pengamatan X
ij
,elemen- elemen matriks
adalah seperti berikut
2.19
Universitas Sumatera Utara
Sedangkan merupakan vektor kolom dengan elemen-elemen
2.20
2.7 Perhitungan Simpangan Baku dari Model Persamaan