Sistematika Penulisan Aksioma dan Teorema

1.6 Tinjauan Pustaka

Teorema Bayes menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa A dengan syarat peristiwa B telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A telah terjadi. Teorema ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbaiki probabilitas Iqbal Hasan, 1999. Utilitas adalah angka yang mengekspresikan nilai pay off sebenarnya sesuai dengan konsekuensi keputusan. Untuk suatu himpunan hasil yang sudah dibuat peringkatnya berdasarkan preferensi, maka dapat ditentukan nilai utilitasnya yang menjelaskan preferensi tersebut. Utilitas terbesar untuk hasil yang paling disukai, dan utilitas terkecil untuk yang paling tidak disukai Johannes Supranto, 1991. Teori keputusan adalah teori yang mempelajari bagaimana sikap fikir yang rasional dalam situasi yang amat sederhana, tetapi yang mengandung ketidakpastian, seperti dalam permainan lotre. Karena itu peranannya dalam menghadapi situasi yang kompleks adalah sangat kecil Kuntoro Mangkusuboto,1999.

1.7 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika dalam penulisan skripsi ini secara garis besarnya dibagi dalam 4 bab yang masing-masing bab dibagi atas beberapa sub-sub bab yaitu: BAB 1 : Pendahuluan Universitas Sumatera Utara Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, identifikasi masalah, maksud dan tujuan, metodologi penelitian, tinjauan pustaka, serta sistematika penulisan. BAB 2 : Landasan Teori Dalam bab ini dijelaskan mengenai probabilitas, kejadian majemuk dan probabilitas bersyarat, dalil Bayes, probabilitas prior dan posterior, probabilitas obyektif dan subyektif, preferensi dan teori utilitas, dan fungsi utilitas. Selain itu juga dibahas mengenai pohon keputusan dan kegunaannya dalam pengambilan keputusan. BAB 3 : Pengambilan Keputusan dengan Bayes dan Utilitas Pada Bab ini akan dijabarkan bagaimana penggunaan teori keputusan Bayes dan konsep utilitas dalam menghadapi suatu contoh persoalan agar diperoleh keputusan yang lebih baik. BAB 4 : Kesimpulan dan Saran Bab ini merupakan bab penutup dari skripsi ini yang berisi tentang kesimpulan yang diperoleh dan saran-saran yang ada sehubungan dengan uraian pada bab-bab sebelumnya. Universitas Sumatera Utara BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Aksioma dan Teorema

Dalam penulisan skripsi ini, dijabarkan beberapa aksioma dan teorema yakni sebagai berikut : Aksioma 1 Untuk setiap kejadian , . Yakni bahwa probabilitas dari setiap kejadian adalah non-negatif. Aksioma 2 , menyatakan bahwa jika setiap kejadian pasti untuk terjadi, maka probabilitas dari kejadian tersebut adalah 1. Aksioma 3 Untuk jumlah kejadian saling asing yang tidak terbatas Aksioma ini menyatakan bahwa untuk dua kejadian atau lebih yang saling asing, maka probabilitas dari suatu kejadian atau lebih yang terjadi adalah jumlah dari masing-masing probabilitasnya. Teorema 1 Universitas Sumatera Utara Bukti : Andaikan kejadian sedemikian hingga untuk Karena , maka kejadian adalah kejadian saling asing, untuk Berdasarkan aksioma 3, diperoleh : Teorema 2 Untuk kejadian yang saling asing Bukti : Andaikan kejadian tak terbatas dimana dimana adalah kejadian yang diberikan dan untuk . Maka untuk kejadian yang tak terbatas ini adalah saling asing dan Melalui aksioma 3,dapat diperoleh : Teorema 3 Universitas Sumatera Utara Untuk setiap kejadian Bukti : Andaikan kejadian dan saling asing dan Teorema 4 Untuk setiap kejadian Bukti : Dari aksioma 1 diperoleh . Jika , maka dari teorema 3 yang mana ini berkontradiksi dengan aksioma 1, yang menyatakan probabilitas setiap kejadian harus non-negatif, maka sehingga . Teorema 5 Jika , maka Bukti : Pada gambar berikut : Gambar 2.1 Himpunan Dari gambar, kejadian adalah gabungan dari kejadian dan , sehingga , dari aksioma 1, , maka . S B A Universitas Sumatera Utara B A Teorema 6 Untuk dua kejadian dan , Bukti: Pada gambar berikut : Gambar 2.2 Himpunan Dari gambar di atas dapat dituliskan Dari teorema 2 didapat Dari gambar.2 juga diperoleh Maka Sehingga Teorema 7 Diberikan ruang sampel , jika S mempunyai N bagian dari kejadian untuk kejadian dari . Bukti : Diberikan dimana setiap adalah titik sampel dari ekperimen. Untuk titik sampel dari probabilitas untuk semua , . Lalu diberikan adalah mutually exclusive, maka diperoleh : Universitas Sumatera Utara Teorema 8 Jika adalah sampel diskrit dengan elemen kejadian , dimana mempunyai , maka untuk kejadian Bukti : , jika , jika Teorema 9 Jika , adalah partisi dari ruang sampel eksperimen dan untuk untuk kejadian dari , maka dapat di tulis: Bukti : adalah mutually exclusive saling bebas, dimana dimana sehingga diperoleh adalah himpunan dari kejadian yang mutually exclusive. Sekarang diperoleh diberikan , untuk itu Tetapi Maka, Universitas Sumatera Utara

2.2 Probabilitas