78 :
2 1
t
H
atau tidak terdapat pengaruh dari semua perlakuan yang diterapkan terhadap respon yang diamati.
t i
i H
i
, ,
2 ,
1 ,
, :
1
atau paling sedikit ada satu perlakuan yang mempengaruhi respon yang diamati.
Jika kita ingin mengkaji pengaruh dari t buah perlakuan terhadap p buah respon secara serempak, di mana p 1, maka penelitian itu dapat
dianalisis dengan analisis ragam peubah ganda satu arah. Model umum dari analisis ragam peubah ganda satu arah adalah
ijk ik
k ijk
Y
di mana: i =1, 2, … , t, j=1, 2, … , n
i ,
k= 1, 2, … , p.
ijk
Y
= nilai pengamatan dari respon ke-k dan ulangan ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i.
k
= nilai rataan umum dari respon ke-k.
ik
= pengaruh dari perlakuan ke-i terhadap respon ke-k.
ijk
= pengaruh galat yang timbul pada respon ke-k dari ulangan ke-j dan perlakuan ke-i.
Asumsi yang dibutuhkan dalam analisis ragam peubah ganda satu arah adalah nilai-nilai galat bersifat bebas dan menyebar normal ganda
dengan vektor nilai rata-rata 0 dan matriks peragam
ijk
~ N
p
0, . Ilustrasi:
Seorang peneliti bidang kedokteran melakukan percobaan untuk meneliti hubungan di antara aktifitas metabolik di antara kelinci-kelinci
79
percobaan dan daya tahan terhadap kuman tuberculosis tbc. Peneliti menetapkan 4 perlakuan sebagai berikut:
P
1
= kontrol tidak divaksinasi P
2
= diinfeksi ditularkan kuman tbc selama aktifitas metabolik rendah.
P
3
= diinfeksi ditularkan kuman tbc selama aktifitas metabolik tinggi. P
4
= diinfeksi ditularkan kuman tbc selama aktifitas metabolik normal, tetapi terlebih dahulu diirradiasi dengan 400 rontgens.
Perlakuan P
1
dan P
2
diulang sebanyak 7 kali n
1
= n
2
= 7, perlakuan P
3
diulang 5 kali n
3
= 5, dan P
4
diulang sebanyak 2 kali n
4
= 2. Peubah respon yang diamati ada 2 yaitu:
Y
1
= banyaknya basil yang hidup per tubercle formed mm. Y
2
= banyaknya basil yang hidup per tubercle size mm. Data hasil pengamatan seperti pada tabel di bawah ini.
Banyaknya Basil yang Hidup per Tubercle Formed Y
1
dan Tubercle Size Y
2
dalam mm
Ulangan P
1
P
2
P
3
P
4
Y
1
Y
2
Y
1
Y
2
Y
1
Y
2
Y
1
Y
2
1 24.0
3.5 7.4
3.5 16.4
3.2 25.1
2.7 2
13.3 3.5
13.2 3.0
24.0 2.5
5.9 2.3
3 12.2
4.0 8.5
3.0 53.0
1.5 4
14.0 4.0
10.1 3.0
32.7 2.6
5 22.2
3.6 9.3
2.0 42.8
2.0 6
16.1 4.3
8.5 2.5
7 27.9
5.2 4.3
1.5 Total
129.7 28.1
61.3 18.5
168.9 11.8
31.0 5.0
Rata-rata 18.5286 4.0143
8.7571 2.6428 33.7800 2.3600 15.5000 2.5000
80
Analisis ragam peubah ganda satu arah untuk data di atas dilakukan sebagai berikut:
Perhitungan Faktor Koreksi FK untuk untuk respon Y
1
dan Y
2
FK untuk respon Y
1
3243 7276
21 9
390
2 2
1 11
. .
n Y
FK
FK untuk respon Y
2
4076 191
21 4
63
2 2
2 22
. .
n Y
FK
FK untuk respon Y
1
dan Y
2
1457 1180
21 4
63 9
390
2 1
12
. .
. n
Y Y
FK
Perhitungan Jumlah Kuadrat Total Terkoreksi JKT dan Jumlah Hasil Kali Total Terkoreksi JHKT untuk respon Y
1
dan Y
2
JKT untuk respon Y
1
2657 3152
4 1
1 11
2 1
11
. FK
Y JKT
i i
n j
ij
JKT untuk respon Y
2
4124 17
4 1
1 22
2 2
22
. FK
Y JKT
i i
n j
ij
81
JHKT untuk respon Y
1
dan Y
2
0257 39
4 1
1 12
2 1
12
. FK
Y Y
JHKT
i i
n j
ij ij
Dari hasil perhitungan untuk komponen total, maka dapat dibentuk
suatu matriks T yang memuat elemen-elemen JKT dan JHKT yang
berkaitan dengan respon Y
1
dan Y
2
, sebagai berikut:
4124 17
0257 39
0257 39
2657 3152
. .
. .
T
Perhitungan Jumlah Kuadrat Perlakuan Terkoreksi JKP dan Jumlah Hasil Kali Perlakuan Terkoreksi JHKP untuk respon Y
1
dan Y
2
JKP untuk respon Y
1
5862 1849
4 1
11 2
1 11
. FK
n Y
JKP
i i
i
JKP untuk respon Y2
6346 10
4 1
22 2
2 22
. FK
n Y
JKP
i i
i
JHKP untuk respon Y
1
dan Y
2
3810 21
4 1
12 2
1 12
. FK
n Y
Y JHKP
i i
i i
82
Dari hasil perhitungan untuk komponen perlakuan, maka dapat
dibentuk suatu matriks P yang memuat elemen-elemen JKP dan JHKP
yang berkaitan dengan respon Y
1
dan Y
2
, sebagai berikut:
6346 10
3810 21
3810 21
5862 1849
. .
. .
P
Perhitungan Jumlah Kuadrat Galat JKG dan Jumlah Hasil Kali Galat JHKG untuk respon Y
1
dan Y
2
JKG untuk respon Y
1
6795 1302
11 11
11
. JKP
JKT JKG
JKG untuk respon Y
2
7778 6
22 22
22
. JKP
JKT JKG
JHKG untuk respon Y
1
dan Y
2
6447 17
12 12
12
. JHKP
JHKT JHKG
Dari hasil perhitungan untuk komponen galat, maka dapat dibentuk
suatu matriks G yang memuat elemen-elemen JKG dan JHKG yang
berkaitan dengan respon Y
1
dan Y
2
, sebagai berikut:
7778 6
6447 17
6447 17
6795 1302
. .
. .
G
Hasil perhitungan yang diperoleh sebelumnya dapat dirangkum dalam suatu tabel analisis ragam peubah ganda satu arah One-way
Manova seperti berikut:
83
Tabel Analisis Ragam Peubah Ganda Satu ArahOne-way Manova Sumber
Keragaman Derajat Bebas
db JK dan JHK
Perlakuan P 3
6346 10
3810 21
3810 21
5862 1849
. .
. .
P
Galat G 17
7778 6
6447 17
6447 17
6795 1302
. .
. .
G
Total T 20
4124 17
0257 39
0257 39
2657 3152
. .
. .
T
Untuk menguji hipotesis yang telah dikemukakan sebelumnya, maka kita dapat menggunakan uji Lambda-Wilks -Wilks, sebagai berikut:
T G
P G
G Λ
di mana:
G
= determinan dari matriks galat G
T
= determinan dari matriks total T
Selanjutnya besaran yang dihitung dari rumus di atas dibandingkan dengan tabel distribusi U dengan kaidah keputusan sebagai berikut:
tolak maka
terima maka
Λ jika
H U
H U
G db
; P
db ;
p G
db ;
P db
; p
di mana: p
= banyaknya peubah respon yang diamati. db
P
= derajat bebas perlakuan. db
G
= derajat bebas galat.
84
Untuk kasus di atas maka berdasarkan hasil perhitungan yang telah dirangkum dalam tabel Manova didapat
9657 8517.
G
dan
5060 53365.
T
, sehingga besaran Lambda-Wilks dapat dihitung sebagai berikut:
1596 5060
53365 9657
8517 Λ
. .
. T
G
Dalam kasus ini, p=2, db
P
=3, dan db
G
=17. Jika kita menetapkan taraf nyata pengujian hipotesis adalah = 0.01, maka dari tabel distribusi U
didapat bahwa
01 17
3 2
U
. ;
;
= 0.370654. Karena = 0.1596
01 17
3 2
U
. ;
;
= 0.370654 maka sesuai dengan kaidah keputusan di atas maka H
ditolak. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa terdapat perbedaan daya
hidup basil di antara keempat perlakuan, atau vektor nilai rata-rata berbeda di antara empat perlakuan yang dicobakan.
Kita juga dapat melakukan transformasi dari besaran ke besaran
statistik F sehingga dapat dibandingkan dengan tabel distribusi F. Bentuk transformasi dari nilai
ke nilai F untuk berbagai kombinasi jumlah peubah p dan derajat bebas perlakuan db
p
disajikan dalam tabel. Dalam kasus di atas, p=2, db
P
=3, hal ini berarti sesuai dengan kriteria transformasi F untuk p=2 dan db
P
1, sehingga transformasi dari ke F dapat dilakukan sebagai berikut:
017 8
1 Λ
Λ 1
F .
db db
P G
Selanjutnya besaran F ini dibandingkan dengan nilai dari tabel F dengan derajat bebas 2 db
P
;2db
G
–1. Jika kita menetapkan =0.01, maka F
0.01;6;32
= 3.434. Karena besaran F = 8.017 F
0.01;6;32
= 3.434, maka kita
85
menolak H pada taraf =0.01. Dengan demikian terlihat bahwa hasil
pengujian berdasarkan statistik F sama dengan statistik Lambda-Wilks. Tabel Transformasi dari ke F
Parameter Transformasi F
Derajat Bebas P
db
P
1 1
P G
db db
Λ Λ
1
db
P
;db
G
2 1
P G
db db
1 Λ
Λ 1
2 db
P
;2db
G
–1
1 1
p p
db db
G P
Λ Λ
1
p ;db
P
+ db
G
- p
1 2
p p
db db
G P
1 Λ
Λ 1
2p;2db
P
+ db
G
– p –1
5.3.
Analisis Ragam Peubah Ganda Dua Arah Two- way Manova
Seperti halnya analisis ragam peubah ganda satu arah, analisis ragam peubah ganda dua arah juga merupakan pengembangan lebih lanjut
dari analisis ragam satu peubah dua arah Two-way Anova. Model yang sering digunakan dalam analisis ragam satu peubah dua
arah adalah Rancangan Acak Kelompok RAK.
86
ij j
i ij
Y
di mana: i = 1, 2, … , t; j = 1, 2, … , r
ij
Y
= nilai pengamatan respon tunggal dari kelompok ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i.
= nilai rataan umum.
i
= pengaruh dari perlakuan ke-i terhadap respon.
j
= pengaruh dari kelompok ke-j terhadap respon.
ij
= pengaruh galat yang timbul pada kelompok ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i.
Dalam analisis ragam peubah ganda dua arah, model yang digunakan adalah :
ijk jk
ik k
ijk
Y
di mana: i = 1, 2, … , t; j = 1, 2, … , r
;
k = 1, 2, … , p.
ijk
Y
= nilai pengamatan dari respon ke-k dan kelompok ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i.
k
= nilai rataan umum dari respon ke-k.
ik
= pengaruh dari perlakuan ke-i terhadap respon ke-k.
jk
= pengaruh dari kelompok ke-j terhadap respon ke-k.
ijk
= pengaruh galat yang timbul pada respon ke-k dari kelompok ke- j yang memperoleh perlakuan ke-i.
87
Asumsi yang diperlukan adalah nilai-nilai galat bersifat bebas dan
menyebar normal ganda dengan vektor nilai rata-rata 0 dan matriks
peragam
ijk
~ N
p
0, .
