167
n-1S memiliki sebaran Wishart dengan derajat bebas n-1 dan nilai harapan S adalah . Fungsi kepekatan peluang bagi S adalah LS
diberikan oleh
2 1
2 1
2 1
2 1
| |
| |
.
S Σ
1
S Σ
tr n
p n
n
e c
S L
dengan c adalah konstanta. Sehingga log-likelihood dari L dan , jika
=
LL’ + adalah
ln c -
| |
] [
2 1
1 1
S ψ
LL S
ψ LL
ln tr
n
16
Penduga kemungkinan maksimum bagi L dan diperoleh dengan
memaksimumkan fungsi 16 dengan kendala kk-12 persyaratan kenunikan Johnson Wichern, 1998.
8.4.1.1. Penentuan banyaknya faktor bersama
Terdapat beberapa
metode yang
dapat digunakan
untuk menentukan banyaknya faktor bersama, antara lain:
1. Uji Nisbah Kemungkinan likelihood ratio test
Salah satu keuntungan penggunaan metode kemunkinan maksimum pada analisis faktor adalah adanya cara untuk menguji
hipotesis bahwa faktor sebanyak k adalah pilihan yang tepat, dengan k adalah bilangan bulat tak diketahui. Formalisasi ini
menghilangkan perdebatan tentang kesubjektifan penentuan banyaknya faktor bersama. Hipotesis nol yang diuji pada uji
nisbah kemungkinan ini adalah H
: =
LL’ + , rL = k diketahui
168
Misalkan
Lˆ
,
ψˆ
, dan
Σˆ
=
Lˆ Lˆ
‟ +
ψˆ
adalah penduga
kemungkinan maksimum bagi L, dan , jika H benar, maka nilai
maksimum untuk log dari fungsi kemungkinannya adalah ln
L
H0
=
| ˆ
| ]
ˆ [
2 1
1 1
S Σ
S Σ
ln tr
n c
Jika merupakan matriks definit positif tak berstruktur, maka
penduga kemungkinan maksimum bagi adalah S, sehingga nilai
maksimum untuk log dari fungsi kemungkinan menjadi ln
L
H0
=
| |
] [
2 1
1 1
S S
S S
ln tr
n c
=
p n
c 2
1
Jadi jika H benar dan n sangat besar, maka statistik uji nisbah
kemungkinan adalah -2 ln
= -2 ln
L L
H
= n – 1
p ln
tr |
ˆ |
ˆ S
Σ S
Σ
1 1
= n
– 1
p ln
tr |
ˆ ˆ
| ]
ˆ ˆ
[ S
ψ L
L S
ψ L
L
1 1
= n – 1 F
Lˆ
,
ψˆ
dimana FL, =
p ln
tr |
| ]
[ S
ψ LL
S ψ
LL
1 1
mendekati sebaran khi-kuadarat dengan derajat bebar ½ [p – k
2
– p + k].
169
Nilai derajat bebas di atas dihitung berdasarkan selisih antara
banyaknya parameter yang diduga jika tidak berstruktur dan
banyaknya paremeter jika H benar. Ada sebanyak pp+12
parameter jika tidak ada kendala pada serta ada pk + p parameter jika hipotesis nol benar. Namun adanya kendala
sebanyak kk - 12 pada persyaratan keunikan mengurangi jumlah parameter yang diduga jika H
benar. Sehingga derajat bebas dari uji ini adalah
2 1
2 1
k k
p pk
p p
= ½ [p – k
2
– p + k].
Pendugaan L dan .
Untuk mendapatkan penduga kemungkinan
maksimum bagi L dan , Joreskog 1977 mengusulkan proses iterasi
peminimuman dua tahap. Pertama, untuk matriks tertentu,
minimum dari F
L, =
p ln
tr |
| ]
[ S
ψ LL
S ψ
LL
1 1
terhadap L didapatkan, misalkan saja nilai minimumnya adalah F
Lˆ
, . Selanjutnya F
Lˆ
, diminimumkan terhadap . Algoritma
ini terus dilakukan secara iterasi sehingga diperoleh dugaan bagi L dan yang membuat minimum global dari FL, tercapai.
Rao 1955 menunjukkan bahwa solusi faktor yang dihasilkan oleh metode kemungkinan maksimum dengan menagasumsikan
sebaran normal
ganda sama
dengan hasil
pendugaan menggunakan analisis faktor kanonik yang dikembangkannya.
Dengan demikian, untuk menduga loading faktor dan ragam khusus menggunakan metode kemungkinan maksimum, tidak
170
diperlukan asumsi kenormalan ganda. Namun untuk pengujian hipotesis, asumsi kenormalan ini tetap diperlukan.
2. Kriteria Informasi Akaike
