c. Elemen tiga dimensi, terdiri dari:
Elemen tetrahedron
Elemen parallelepiped Sama seperti t ipe-tipe elemen yang telah disebutkan sebelumnya, kecuali untuk
orde linier, elemen-elemen ini dapat memiliki sisi yang berbentuk kurva. Pada simulasi ini elemen yang dipilih adalah elemen tetrahedron.
Gambar. 2.15. Elemen 3 Dimensi
2.5.3. Metode Elemen Hingga Pada Kasus Analisis Struktur
Pemecahan solusi metode elemen hingga, yaitu dengan menggunakan elemen- elemen untuk memodelkan struktur keseluruhan. Persamaan umum yang
digunakan untuk menggambarkan kuantitas nodal-nodal elemen tersebut adalah: {F} [K] = {u} 2.1
Dengan {f} adalah gaya-gaya yang bekerja pada nodal-nodal, {u} adalah perpindahan pada nodal dan [k] adalah matriks kekauan elemen [k]. Terdapat tiga
metoda yang digunakan untuk menurunkan persamaan elemen, yaitu: 1. Metoda Persamaan Langsung atau “Direct Formulation”
Pada metoda ini, matriks kekakuan elemen dan persamaan elemen didapatkan dengan menurunkan persamaan kesetimbangan pada setiap nodal untuk mendapatkan
hubungan gaya dan perpindahan nodal. Metoda ini mudah digunakan pada model-
Universitas Sumatera Utara
model yang sederhana, dengan jumlah elemen yang sedikit. Akan sangat sulit menggunakan metoda ini pada geometri yang cukup rumit, dengan jumlah nodal
yang sangat banyak. Oleh sebab itu metoda ini tidak digunakan untuk jumlah elemen yang banyak.
2. Metode Energi Metoda energi merupakan metoda yang cukup banyak digunakan.
Terdapat tiga jenis metoda energi dalam analisis elemen hingga, yaitu: - Virtual Work
- Prinsip variasi - Teorema Castigliano
Pendekatan energi potensial minimal merupakan metoda yang lebih mudah untuk diadaptasi pada konfigurasi-konfigurasi yang cukup rumit, seperti elemen
plane strainstress, elemen axisymetric, elemen plate bending, elemen shell, dan elemen solid. Energi potensial minimal menggunakan fungsi variasi, yaitu fungsi
dari fungsi lain. fx,y merupakan fungsi dari dua variabel x dan y, dan merupakan fungsi dari f.
π = π x,y 2.2 Pada permasalahan struktur, total energi potensial pada struktur tersebut adalah p
yang dapat dituliskan sebagai fungsi dari variabel perpindahan p=d1,d2,d3,…,dn. Subskrip n menunjukkan derajat kebebasan benda. Total energi potensial dapat
didefinisikan seperti pada persamaan 2.3 di bawah ini : πp = energi starin + energi potensial
πp = U+W 2.3
Universitas Sumatera Utara
Dimana U adalah energi potensial karena gaya dalam yang menyebabkan timbulnya strain, sementara W adalah energi potensial karena gaya luar yang menyebabkan
timbulnya deformasi pada benda. Persamaan kesetimbangan akan terpenuhi jika nilai energi potensial adalah konstan. Persamaan tersebut akan stabil jika nilai statis
adalah minimal, dimana perubahan energi potensial total terhadap perubahan perpindahan adalah nol.
Gambar. 2.16. Model Elemen 3 Dimensi Dari gambar 2.16 dapat diturunkkan energi strain total dan energi potensial
karena gaya luar sebagai berikut;
Dari persamaan di atas maka nilai π
p
adalah
Universitas Sumatera Utara
Dimana u = [u,v,w]
T
; deformasi titik x u = [u,v,w]
i T
; deformasi pada nodal i f = [f
x
, f
y
, f
z
]
T
; gaya terdistribusi tiap satuan volume T = [T
x
, T
y
, T
z
]
T
; gaya tiap satuan luas Pi = [P
x
, P
y
, P
z
]
T
; gaya pada nodal i σ = [σ
x
, σ
y
, σ
z
, τy
z
, τ
xz
, τ
xy
] ε = [ε
x
, ε
y
, ε
z
, γ
yz
, γ
xz
, γ
xy
,]
2. Metoda Weighted Residual
Metoda ini digunakan apabila Variasi perumusan atau fungsi tidak didefinisikan secara jelas. Metoda Galerkin merupakan metoda yang menggunakan
metoda ini. 4. Elemen Tetrahedral
Elemen tetrahedral adalah elemen tiga dimensi yang sangat simpel untuk menyelesaikan persoalan-persoalan mekanika stuktur. Seperti yang terlihat pada
gambar 2.17, dapat dimisalkan bentuk tiap elemenya berbentuk tetrahedral.
Gambar. 2.17. Elemen Tetrahedral
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.17 merupakan elemen tetrahedral dengan 3 dimensi, yang memiliki 4 node untuk 1 elemen.
a. Pemilihan Fungsi Displacement Pemilihan fungsi displacement dapat dilakukan dengan memperhatikan
urutan penomoran, dimana nomor yang terakhir = 4 ditentukan lebih dahulu. Nomor-nomor lainnya ditentukan searah dengan kebalikan jarum jam.
Displacement = {q}
Fungsi displacement {q} u, v, w harus merupakan fungsi linier karena hanya ada dua node yang membatasi sebuah rusuk elemen. Masing-masing fungsi
displacement tersebut adalah
2.8 dengan syarat batas: pada x,y,z, u = u
1
pada x,y,z, u = u
2
dan seterusnya dihasilkan:
Universitas Sumatera Utara
Dimana 6v dihitung dari harga determinan berikut ini.
v menyatakan volume dari elemen tetrahedra. Koefisien α
i
, β
i
, γ
i
, δ
i
, i = 1,2,3,4 dalam persamaan 2.11 diberikan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
2.11
Fungsi displacement dalam kaitannya dengan fungsi bentuk N ditulis sehingga persamaan 2.11, dapat disederhanakan menjadi:
Universitas Sumatera Utara
Dimana,
2.13 b. Menentukan Strain-Displacement dan Hubungan StressStrain
Strain dari elemen untuk kasus stress tiga dimensi diberikan dalam persamaan berikut ini:
Universitas Sumatera Utara
Dikalikan dengan matriks [B], strain dinyatakan sebagai:
Dimana,
Sub matriks adalah :
Catatan: 1. Indeks huruf dibelakang koma menyatakan differensial dari N1 terhadap x.
2. Untuk sub matrik lain ,
, tinggal mengganti indeks 1 pada persamaan
2.16 berturut-turut dengan 2,3 dan 4. Dengan memasukkan harga Ni dari persamaan 2.13 i = 1,2,3,4 ke persamaan
2.17 diperoleh sub matrik:
Universitas Sumatera Utara
Demikian pula untuk sub matriks Maka hubungan stress-strain diberikan melalui persamaan
2.5.4. Regangan Pada Bidang Tiga Dimensi
