Sehingga secara tabel dapat disimpulkan sebagai berikut:
Batang Luas penampang mm
2
a b
1510 c
1870 d
2510 e
379 f
1150 g
2510
Tabel IV.2 Luas Penampang Tiap Batang pada Struktur Rangka Bidang I
IV.1.4 Metode Elemen Hingga pada Struktur Rangka Bidang I
Dalam penulisan Tugas Akhir ini, perhitungan struktur dengan metode elemen hingga dibantu dengan program matlab dan microsoft excel.
IV.1.4.1 Metode Elemen Hingga dengan Program Matlab
clear memory clear
all E; modulus elastisitas
E=210e6; A: luas penampang
Aa=0; Ab=1510e-6; Ac=1870e-6; Ad=2510e-6; Ae=379e-6; Af=1150e-6; Ag=2510e-6;
A=[Aa Ab Ac Ad Ae Af Ag];
theta: sudut elemen theta_a=270; theta_b=333.43; theta_c=26.57; theta_d=0;
theta_e=270; theta_f=333.43; theta_g=0; Elemen struktur
jumlahElemen=7; elemen a; elemen b; elemen c; elemen d;
elemen e; elemen f, elemen g a=1; b=2; c=3; d=4; e=5; f=6; g=7;
elemen=[a b c d e f g]; Node
jumlahNode=5; nodeElemen=[1 2;1 3;2 3;2 4;3 4;3 5;3 6];
Koordinat node koordinatNode=[0 4;0 0;4 2;4 0;8 0];
x=koordinatNode:,1; y=koordinatNode:,2;
Koordinat elemen elemen_a=[x1 y1;x2 y2];
elemen_b=[x1 y1;x3 y3]; elemen_c=[x2 y2;x3 y3];
elemen_d=[x2 y2;x4 y4]; elemen_e=[x3 y3;x4 y4];
elemen_f=[x3 y3;x5 y5]; elemen_g=[x4 y4;x5 y5];
koordinatElemen=[elemen_a; elemen_b; elemen_c; elemen_d; ...
elemen_e; elemen_f; elemen_g]; xx=koordinatElemen:,1;
yy=koordinatElemen:,2; L: panjang elemen
xa=x2-x1;xb=x3-x1;xc=x3-x2; xd=x4-x2;xe=x4-x3;xf=x5-x3;
xg=x5-x4;ya=y2-y1;yb=y3-y1; yc=y3-y2;yd=y4-y2;ye=y4-y3;
yf=y5-y3;yg=y5-y4;
La=sqrtxaxa+yaya;Lb=sqrtxbxb+ybyb; Lc=sqrtxcxc+ycyc;Ld=sqrtxdxd+ydyd;
Le=sqrtxexe+yeye;Lf=sqrtxfxf+yfyf; Lg=sqrtxgxg+ygyg;
Untuk struktur: U: perpindahan displacement
f: gaya K: matriks kekakuan
GDof=2jumlahNode; GDof: jumlah derajat kebebasan dof
u=zerosGDof,1; f=zerosGDof,1;
Beban pada node 4 dan 5 f8=-50;
f10=-70; Matriks kekakuan
ka=MatriksKekakuanE,Aa,La,theta_a kb=MatriksKekakuanE,Ab,Lb,theta_b
kc=MatriksKekakuanE,Ac,Lc,theta_c kd=MatriksKekakuanE,Ad,Ld,theta_d
ke=MatriksKekakuanE,Ae,Le,theta_e kf=MatriksKekakuanE,Af,Lf,theta_f
kg=MatriksKekakuanE,Ag,Lg,theta_g Assemble
K=zeros10:10; K=AssembleK,ka,1,2
K=AssembleK,kb,1,3 K=AssembleK,kc,2,3
K=AssembleK,kd,2,4 K=AssembleK,ke,3,4
K=AssembleK,kf,3,5 K=AssembleK,kg,4,5
Boundary conditions k=K5:10,5:10;
Solusi f=f5:10;
u=k\f; U=[0;0;0;0;u]
perpindahan displacement node R=KU
reaksi perletakan Rx=[R1 R3];
reaksi perletakan pada sumbu x Ry=[R2 R4];
reaksi perletakan pada sumbu y Trp=[1 2];
titik reaksi perletakan Perpindahan di setiap elemen
ua=[U1:4] ub=[U1:2;U5:6]
uc=[U3:6] ud=[U3:4;U7:8]
ue=[U5:8] uf=[U5:6;U9:10]
ug=[U7:10] us=1:2:2jumlahNode-1;
vs=2:2:2jumlahNode; Ux=Uus;
perpindahan titik pada sumbu x Uy=Uvs;
perpindahan titik pada sumbu y Tp=[1 2 3 4 5];
titik perpindahan X=x+Ux;
titik setelah adanya perpindahan pada sumbu x Y=y+Uy;
titik setelah adanya perpindahan pada sumbu y Koordinat elemen akibat displacement
disp_a=[X1 Y1;X2 Y2]; disp_b=[X1 Y1;X3 Y3];
disp_c=[X2 Y2;X3 Y3]; disp_d=[X2 Y2;X4 Y4];
disp_e=[X3 Y3;X4 Y4]; disp_f=[X3 Y3;X5 Y5];
disp_g=[X4 Y4;X5 Y5]; koordinatDisplacement=[disp_a; disp_b; disp_c; disp_d;
... disp_e; disp_f; disp_g];
XX=koordinatDisplacement:,1; YY=koordinatDisplacement:,2;
Gaya elemen fa=GayaElemenE,Aa,La,theta_a,ua
fb=GayaElemenE,Ab,Lb,theta_b,ub fc=GayaElemenE,Ac,Lc,theta_c,uc
fd=GayaElemenE,Ad,Ld,theta_d,ud fe=GayaElemenE,Ae,Le,theta_e,ue
ff=GayaElemenE,Af,Lf,theta_f,uf fg=GayaElemenE,Ag,Lg,theta_g,ug
F=[fa fb fc fd fe ff fg]; Tabel Reaksi Perletakan
disp Tabel Reaksi Perletakan
; disp
Titik RxKN RyKN ;
fprintf .f .4f .4f\n
,[Trp;Rx;Ry]; Tabel Perpindahan Titik Simpul
UxT=Ux; matriks transpose Ux
UyT=Uy; matriks transpose Uy
disp Tabel Perpindahan Titik Simpul
; disp
Titik Simpul Uxm Uym ;
fprintf .f .4f .4f\n
,[Tp;UxT;UyT]; Tabel Hubungan Luas Penampang dan Gaya Batang
disp Tabel Hubungan Luas Penampang dan Gaya Batang
; disp
Elemen Luas Penampangm2 Gaya BatangKN ;
fprintf .f .3e .4f\n
,[elemen;A;F]; Figure
plot xx,yy, b-x
hold on
plot XX,YY, r-.
title Gambar Struktur Sebelum dan Sesudah Terjadi Perpindahan
xlabel x
,ylabel y
grid on
legend Struktur sebelum terjadi perpindahan
, ...
Struktur sesudah terjadi perpindahan axis[0 8.1 -0.1 4.1]
Pada program di atas, dipanggil beberapa fungsi baru. Pada fungsi pertama MatriksKekakuan.m menghitung matriks kekakuan.
function y=MatriksKekakuanE,A,L,theta
MatriksKekakuan fungsi ini menentukan matriks
kekakuan elemen plane truss dengan modulus elastisitas E,
luas area A, panjang L, dan sudut theta derajat.
x=thetapi180; C=cosx;
S=sinx; y=EAL
... [CC CS -CC -CS; CS SS -CS -SS;
-CC -CS CC CS; -CS -SS CS SS]; end
Fungsi Assemble.m, menyatukan matriks kekakuan lokal ke matriks kekakuan global.
function y=AssembleK,k,i,j
Assemble fungsi ini memasang matriks
kekakuan elemen plane truss k dengan node i dan j ke
matriks kekakuan global K.
K2i-1,2i-1=K2i-1,2i-1+k1,1; K2i-1,2i=K2i-1,2i+k1,2;
K2i-1,2j-1=K2i-1,2j-1+k1,3; K2i-1,2j=K2i-1,2j+k1,4;
K2i,2i-1=K2i,2i-1+k2,1; K2i,2i=K2i,2i+k2,2;
K2i,2j-1=K2i,2j-1+k2,3; K2i,2j=K2i,2j+k2,4;
K2j-1,2i-1=K2j-1,2i-1+k3,1; K2j-1,2i=K2j-1,2i+k3,2;
K2j-1,2j-1=K2j-1,2j-1+k3,3; K2j-1,2j=K2j-1,2j+k3,4;
K2j,2i-1=K2j,2i-1+k4,1;
K2j,2i=K2j,2i+k4,2; K2j,2j-1=K2j,2j-1+k4,3;
K2j,2j=K2j,2j+k4,4; y=K;
end
Fungsi GayaElemen.m, menentukan gaya di setiap elemen.
function y=GayaElemenE,A,L,theta,d
GayaElemen fungsi ini untuk menentukan
gaya di setiap elemen yang diperoleh dari modulus
elastisitas E, luas penampang A, panjang L, sudut theta
derajat, dan perpindahan node elemen d.
x=thetapi180; C=cosx;
S=sinx; y=EAL
... [-C -S C S]d;
end
P.I. Kattan, 2002 Kemudian di klik ikon run atau tekan tombol F5, maka diperoleh hasil
sebagai berikut:
Tabel Reaksi Perletakan Titik RxKN RyKN
1 -189.9590 95.0000 2 189.9590 25.0000
Tabel Perpindahan Titik Titik Uxm Uym
1 0.0000 0.0000 2 0.0000 0.0000
3 0.0013 -0.0041 4 -0.0011 -0.0053
5 -0.0021 -0.0174
Tabel Hubungan Luas Penampang dan Gaya Batang Elemen Luas Penampangm2 Gaya BatangKN
1 0.000e+000 0.0000 2 1.510e-003 212.3898
3 1.870e-003 -55.8920 4 2.510e-003 -139.9698
5 3.790e-004 50.0000 6 1.150e-003 156.4977
7 2.510e-003 -139.9698
Gambar IV.7 Struktur Rangka Bidang I Sebelum dan Sesudah Terjadi Perpindahan
Maka dari hasil perhitungan matlab tersebut, diperoleh nilai gaya pada setiap batang yang ditunjukkan pada tabel IV.3, sebagai berikut:
Batang Gaya Batang KN
Tarik Tekan
a –
b 212,3898
– c
– 55,8920
d –
139,6698 e
50 –
f 156,4977
– g
– 139,6698
Tabel IV.3 Hasil Perhitungan Gaya dengan Metode Elemen Hingga Menggunakan Matlab pada Struktur Rangka Bidang I
IV.1.4.2 Metode Elemen Hingga dengan Microsoft Excel
