4.5. Teori Analisa Linier dan Nonlinier
Banyak variasi perilaku yang disebut “nonlinear” kata tersebut hanya menyatakan perilaku yang tidak menentu. Hubungan tegangan-regangan bisa
nonlinear baik secara bergantung waktu atau bebas terhadap waktu. Perpindahan bisa menyebabkan beban untuk mengubah pendistribusiannya. Bagian yang berpasangan
dapat saling tumbuk atau saling geser. Gap bisa terbuka atau tertutup. Nonlinearitas dapat ringan saja atau sangat dominan. Persoalan bisa static atau dinamik. Bermacam
aturan solusi diusulkan, dan tidaklah mengherankan bila tidak satupun yang dianggap terbaik untuk segala persoalan.
Persoalan sehari-hari biasanya dianggap sebagai linear. Bahan dan struktur digunakan dalam batas linear, dalam anggapan lendutan kecil. Nonlinearitas yang
tidak dominan, yang kecil saja, masih bisa menerapkan basis desain linear. Analisa nonlinear lebih susah dimengerti dan lebih rumit. Namun demikian, analisis
nonlinear semakin menjadi lebih umum disebabkan persyaratan desain yang ketat dan adanya metoda elemen hingga dan computer yang memungkinkan analisis
nonlinear dilakukan secara praktis. Persoalan nonlinear biasanya diselesaikan dengan menggunakan sederetan
tahapan linear. Dalam pengertian struktur, proses ini dijelaskan dengan menuliskan keseimbangan dalam bentuk incremental [K] {
∆D} = {∆R}. disini matriks [K] adalah fungsi dari peralihan {D} disebabkan persoalan nonlinear. Pada saatnya, {D} yang
terakhir adalah jumlah { ∆D} sebelumnya. Matriks [K] disebut
kekakuan tangent
, yang digunakan untuk menghitung tahap berikutnya, {
∆D}. kemudian mengubah {D}, ubah [K], dan siap untuk tahap berikutnya. Dengan cara ini kita
Universitas Sumatera Utara
mengaproksimasikan lengkung beban terhadap peralihan dengan sederetan segmen garis lurus.
Dalam struktur , jenis-jenis nonlinearitas terdiri dari : Nonlinear material , di mana jenis dan bentuk material merupakan
fungsi dari hubungan tegangan-regangan, termasuk nonlinear elastisitas, plastisitas dan rangkak.
Nonlinear kontak , di mana suatu gap antara bagian berdekatan mungkin terbuka atau tertutup, area kontak antara bagian itu berubah
seiring perubahan gaya kontak, atau ada kontak yang bergesekan dengan gaya gesek.
Nonlinear geometri , di mana lendutannya cukup besar bahwa persamaan keseimbangan harus ditulis pada struktur geometri yang
berdeformasi. Juga, beban akan berubah arah ketika beban meningkat.
Pada bagian ini akan dibahas nonlinearitas geometri dan nonlinearitas material. Dalam membahas nonlinear geometri, kita mengabaikan nonlinear material
dan persoalam bergantung-waktu kecuali bila disebutkan. Keistimewaan
penting nonlinearitas
geometri adalah
persamaan keseimbangan harus ditulis terhadap geometri yang
terdeformasi
– yang mana belum diketahui saat itu. Kecuali bila persoalan tersebut tidak berubah secara mendasar oleh
deformasi kita namakan persoalan tersebut sebagai “linear” dan anggapan bahwa persamaan keseimbangan adalah mengacu pada konfigurasi awal.
Persoalan peralihan-besar dapat dianalisis dalam
koordinat Lagrangian
atau
koordinat Eulerian.
Universitas Sumatera Utara
Pendekatan lagrangian juga disebut “stationary Lagrangian” dan “total Lagrangian”. Definisinya adalah bahwa kerangka acuan orisinil tetap stasioner, dan
seluruhnya mengacu padanya, tidak peduli berapa besar regangan atau rotasi yang bakal terjadi: peralihan, diferensiasi, dan integrasi seluruhnya mengacu pada
kerangka orisinilnya. Dengan makin bertambahnya peralihan, semakin banyak faktor yang ditambahkan pada hubungan regangan-peralihan untuk memperhitungkan
nonlinearitas. Dalam konteks elemen hingga hal ini berarti bahwa matriks kekakuan konvensional [K] ditambahi dengan matriks-matriks tambahan yang diperoleh dari
faktor yang lebih tinggi : pertama oleh [K ] untuk merepresentasikan pengaruh
kekakuan yang bergantung secara linear pada peralihan, kemudian oleh [K
2
] untuk merepresentasikan pengaruh kekakuan yang bergantung pada kuadritas pada
peralihan. Sebaliknya, pendekatan Eulerian melibatkan koordinat berpindah : suatu
kerangka acuan yang berdeformasi bersama struktur sedemikian hingga koordinat terpindah dari sebuah titik tidak pernah berubah. Seperti pada kenyataannya,
pendekatan Eulerian mengambil bentuk yang sering disebut sebagai pendekatan “updated Lagrangian”. Sebuah sistem koordinat lokal, yang disebut sistem
korotasional, dikenakan pada setiap elemen. Sistem lokal bergerak bersama elemen dan dengan demikian terkena gerakan benda getar yang sama. Diferensiasi dan
integrasi dilakukan dengan mengacu pada koordinat lokal. Keadaan deformasi yang sekarang digunakan sebagai acuan sebelum tahap solusi incremental berikutnya.
Kemudian koordinat lokal disesuaikan untuk menghasilkan keadaan acuan yang baru. Koordinat lokal titik
berubah
, sehingga metode tidaklah murni Eulerian. Namun regangan dan rotasi pada sistem lokal biasanya cukup kecil sehingga [K
2
],
Universitas Sumatera Utara
dan kadang-kadang [K ] bisa diabaikan. Nonlinearitas diperhitungkan dengan
menelusuri orientasi beberapa sistem lokal. Persamaan yang terbentuk diekspresikan dalam faktor
kenaikan peralihan.
Untuk nonlinear material, dalam tahap pengenalan, formulasi dan solusi di mana hubungan tegangan regangan adalah nonlinear. Nonlinear geometri tidak
termasuk. Namun kita akan melihat bahwa algoritma solusi sangat mirip, tak peduli pada macam nonlinearitasnya.
Bila hubungan tegangan regangan linear, atau nonlinear elastic, padanya terdapat relasi yang unik antara tegangan dan regangan. Namun bila terdapat
regangan plastis, hubungan tegangan regangan bergantung pada alur, tidak unik: keadaan tegangan yang diberikan dapat dihasilkan melalui bermacam prosedur
peregangan. Selain itu, material yang berbeda memerlukan teori material yang berbeda pula.
Persoalan komputasi yang penting dalam nonlinearitas material adalah bahwa persamaan keseimbangan harus ditulis menggunakan sifat bahan yang bergantung
pada regangan, namun regangan itu belum diketahui. Pembahasan kita menitikberatkan pada plastisitas. Namun algoritma solusi tidaklah terlalu terbatas:
dia bisa terapkan pada nonlinearitas material, tanpa meninjau asal mulanya. Kemudian, kita akan meringkaskan persamaan teori plastisitas von Mises. Ini
adalah teori
inkremental atau aliran
: dia menghubungkan inkremen tegangan dengan inkremen regangan. teori deformasi, yang menghubungkan tegangan
total
dengan regangan
total
.
Universitas Sumatera Utara
Definisi rekayasa untuk regangan geser digunakan, misalnya τ
xy
=
u
,x
+
v
,x .
sesuai dengan teori von Mises, leleh berawal saat keadaan saat keadaan tegangan mana saja ketika terjadi
tegangan efektif
melebihi batas tertentu, dimana =
[
t
–
v 2
y
–
z 2
z
–
x 2
τ
2 xy
τ
2 xy
τ
2 xy
]
12
untuk tegangan uniaksial
x
, dan daerah plastis dimana rasio poisson adalah 0,5 , kita dapatkan
=
x
.
4.6. Permodelan dan Analisa Balok Baja IWF pada Program ANSYS
Kategori