9
Dengan �� adalah transisi matriks keadaan dan �⃗0 adalah keadaan awal pada
saat t = 0. Persamaan 2.9 dan 2.10 adalah penyelesaian persamaan keadaan
dengan matriks transisi dengan metode transformasi Laplace [Nelson, 1998].
2.2. Pendekatan Numerik dengan Metode Parker-Sochacki
Metode ruang keadaan digunakan untuk menyatakan kontrol sistem dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial ini dapat dijabarkan melalui pendekatan
secara numerik menggunakan metode Picard. Metode ini pada dasarnya digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial sederhana berbentuk
� �
′
� = ��, � ��
= �
2.11
dari hubungan berulang yang memenuhi [Parker dan Sochacki, 1996] �� = �
+ ∫ ���, �����
� �
2.12 dengan asumsi
� dan �� �� ⁄ kontinyu di daerah sekitar �
, �
. Secara khusus, hubungan berulang tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk [Parker dan Sochacki,
1996]
� �
� = � �
�
� = � +
∫ � ��, �
�−1
�� ��
� �
, � = 1,2, ….
2.13
Untuk orde n yang semakin tinggi, metode tersebut semakin sulit dilakukan. G. Gerard Parker dan James S. Sochacki melakukan modifikasi terhadap metode
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Picard pada persamaan diferensial sederhana dengan �
= 0. Persamaan diferensial sederhana tersebut dikonversi menjadi persamaan polinomial menggunakan substitusi
dan sistem penjumlahan [Parker dan Sochacki, 1996]. Pada metode ini, variabel sistem dengan orde yang lebih tinggi diselesaikan
menggunakan kondisi awal yang adalah variabel sistem orde sebelumnya. Bentuk umum dari modifikasi iterasi Picard oleh Parker-Sochacki yaitu [Steward dan Bair,
2009]: �� + �� = �� + ∑
�
�
��
� �
�=1
2.14 dengan
�� adalah nilai � pada iterasi sampai ke �, �
�
adalah komponen y.
Metode Parker-Sochacki menawarkan penyelesaian yang lebih sederhana dibandingkan dengan metode Picard, dengan tingkat ketelitian yang sama. Hanya
diperlukan satu persamaan untuk mendapatkan pendekatan numerik untuk setiap nilai pada
� .
2.3. Pendekatan Numerik dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat
Selain menggunakan metode Parker-Sochacki, pendekatan numerik untuk menjabarkan persamaan diferensial suatu sistem dapat dilakukan dengan metode
Runge-Kutta. Metode Runge-Kutta yang paling sering digunakan adalah metode Runge-Kutta orde empat. Pada metode ini, persamaan diferensial dengan ketentuan
seperti pada persamaan 2.11, didekati dengan menggunakan persamaan [Chapra, 2008]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
�
�+1
= �
�
+ �ℎ
2.15 � =
1 6
�
1
+ 2 �
2
+ 2 �
3
+ �
4
2.16 �
1
= ��
�
, �
�
2.17 �
2
= � ��
�
+
1 2
ℎ, �
�
+
1 2
ℎ�
1
� 2.18
�
3
= � ��
�
+
1 2
ℎ, �
�
+
1 2
ℎ�
2
� 2.19
�
4
= ��
�
+ ℎ, �
�
+ ℎ�
3
2.20 Dengan
� adalah fungsi penambahan, ℎ adalah interval waktu yang dipilih, �
1
adalah slope
pertama, �
2
adalah slope kedua, �
3
adalah slope ketiga, �
4
adalah slope keempat.
Grafik metode Runge-Kutta digambarkan pada grafik 2.1. �
1
adalah kemiringan grafik pada awal interval waktu pada saat t =
�
�
. Kemiringan grafik �
1
ini kemudian digunakan untuk menentukan pendekatan pertama titik y dengan kemiringan grafik
�
2
dan berada di t = �
�+
1 2
. Kemiringan grafik �
2
kemudian digunakan untuk menentukan pendekatan titik y dengan kemiringan grafik
�
3
yang juga berada di titik t =
�
�+
1 2
. Kemiringan grafik �
3
digunakan untuk menentukan pendekatan ketiga titik y dengan kemiringan grafik
�
4
yang berada di t = �
�+1
. Kemiringan grafik
�
1
, �
2
, �
3
, dan �
4
kemudian dioperasikan sesuai dengan persamaan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
2.16 untuk menghasilkan kemiringan rata-rata � dalam menentukan pendekatan
terakhir titik y di t = �
�+1
[Chapra, 2008].
Gambar 2.1 Grafik Pendekatan Runge-Kutta
2.4. Persamaan Gerak Longitudinal Pesawat
