c Menggunakan keping
Ambil 4 keping yang bermuatan negatif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.19 Menyatakan bilangan 4
Karena penjumlahan maka terjadi proses penambahan atau penggabungan. Maka ambil 2 keping yang bermuatan negatif
kemudian masukkan ke dalam kotak. Dari hasil penggabungan tersebut, didapatkan 6 keping bermuatan negatif. Sehingga,
-4 + -2 = -6
Gambar 2.20 Menyatakan hasil penjumlahan -4+-2 = -6
b. Sifat-sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat
1 Sifat komutatif pertukaran
Contoh: 1.
Apakah 2 + 3 = 3 + 2? 2 + 3 = 5 sedangkan 3 + 2= 5, maka 2 + 3 = 3 + 2 = 5
2. Apakah -3 + 5 = 5 + -3 ?
-3 + 5 = 2 sedangkan 5 + -3 =2, maka -3 + 5 = 5 + -3 =2
Hasil penjumlahan dari dua bilangan bulat di atas ternyata selalu memperoleh hasil yang sama walaupun dipertukarkan tempatnya.
Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a+b=b+ a.
Sifat ini disebut sifat komutatif.
2 Sifat Asosiatif pengelompokan
Contoh: 1.
Misalkan ada 3 sembarang bilangan bulat, yaitu, 3, -5, dan 6. Apakah 3+-5+6 = 3+-5+6 ?
3+-5+6 = -2+6 = 4 3+-5+6 = 3+1 = 4
Maka, 3+-5+6 = 3+-5+6 = 4 2.
Apakah -4+-7+2 = -4+-7+2 ? -4+-7+2 = -11+2 = -9
-4+-7+2 = -4 + -5 = -9 Maka, -4+-7+2 = -4+-7+2= -9
Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa: Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku:
a + b + c = a + b + c . Sifat ini disebut sifat asosiatif
penjumlahan.
3 Unsur Identitas
Contoh :
0 + -3 = -3 2 + 0 = 2
Dari penjumlahan bilangan di atas, ternyata jika 0 ditambah dengan suatu bilangan atau suatu bilangan ditambah dengan 0, maka
hasilnya adalah bilangan itu sendiri. sehingga 0 disebut unsur identitas.
4 Sifat Tertutup
Contoh : 1.
-8 + 6 = -2, -8 dan 6 adalah bilangan bulat. -2 juga bilangan bulat
2. -9 + -10 = -19
-9 dan -10 adalah bilangan bulat. -19 juga bilangan bulat.
Dari contoh di atas ternyata penjumlahan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Sifat ini disebut sifat tertutup.
c. Pengurangan Bilangan Bulat
Bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif dapat diatur berpasangan seperti ditunjukkan pada gambar berikut:
Gambar 2.21 Invers jumlah
Tiap anggota dari pasangan bilangan disebut lawan atau invers jumlah dari anggota yang lain.
-3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah -3 -2 lawan dari 2 atau lawan dari 2 adalah -2
Lawan invers dari a adalah –a Lawan invers dari –a adalah a
Mengurangi artinya mengambil. Mengurangi dengan suatu bilangan sama saja artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya.
1 Pengurangan 5 – 3
a Menggunakan mistar hitung
Pengurangan dengan mistar hitung bisa berarti juga memotong. Untuk 5-3, maka dari 5 satuan, akan dipotong sebanyak 3 satuan.
Pasangkan bilangan 5 pada mistar bawah dengan pengurangnya yaitu 3 pada mistar atas. Lalu lihat bilangan 0
pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan 2 pada mistar hitung bawah. Sehingga 5 – 3 = 2.
3
Gambar 2.22 Pengurangan 5-3
5
3 2
1 -1
-2 -3
5 4
3 2
1 -1
2
b Menggunakan garis bilangan
Pengurangan 5 - 3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kanan dari 0 dikurangi berarti mundur, melangkah
berlawanan arah dengan bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya merupakan bilangan bulat positif. Karena
berlawanan arah, maka melangkah 3 satuan ke kiri. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu 2.
Gambar 2.23 Pengurangan 5-3
Jadi, 5 – 3 = 2
Akan dibandingkan dengan 5 + -3
Gambar 2.24 Penjumlahan 5+-3
Jadi, 5+-3 = 2 Sehingga 5 - 3 = 5+-3 = 2
c Menggunakan keping
Ambil 5 keping bermuatan positif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.25 Menyatakan bilangan 5
Lakukan proses pengurangan dengan mengambil 3 buah keping bermuatan positif yang ada di dalam kotak tersebut.
Gambar 2.26 Menyatakan hasil pengurangan 5-3 = 2
Setelah 3 keping diambil, maka keping yang tersisa adalah 2 buah. Sehingga, 5 – 3 = 2
2 Pengurangan -5 – 3
a Menggunakan mistar hitung
Untuk pengurangan, pasangkan bilangan -5 pada mistar bawah dengan pengurangnya yaitu 3 pada mistar atas. Lalu lihat
bilangan 0 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan -8 pada mistar hitung bawah. Sehingga -5 – 3 = -8.
Gambar 2.27 Pengurangan -5-3
b Menggunakan garis bilangan
Pengurangan -5 – 3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kiri dari 0 dikurangi berarti mundur, berlawanan arah dengan
bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya 3 yaitu bilangan bulat positif. Karena berlawanan arah, maka melangkah
3 satuan ke kiri. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu -8.
Gambar 2.28 Pengurangan -5-3
Jadi, -5 – 3 = -8 Akan dibandingkan dengan -5 + -3
Gambar 2.29 Penjumlahan -5+-3
-8 -5
3
9 8
7 6
4 -8
-7 -6
-5 1
-1 -2
-3 -4
5 3
2 1
Jadi, -5+-3 = -8 Sehingga -5 - 3 = -5+-3 = -8
c Menggunakan keping
Ambil 5 keping bertanda negatif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.30 Menyatakan bilangan -5
Lakukan pengurangan dengan mengambil 3 keping bermuatan positif. Karena keping yang bermuatan positif tidak ada, maka
kita akan mengingat kembali sifat bilangan bulat yaitu suatu bilangan jika ditambah nol hasilnya tidak berubah.
Maka ambil 3 pasang keping bermuatan positif dan negatif dan masukkan ke dalam kotak. Terdapat 8 keping bermuatan negatif
dan 3 keping bermuatan positif. Sehingga dapat dilakukan proses pengurangan.
Gambar 2.31 Pengurangan -5 - 3
Kemudian ambil 3 keping bermuatan positif. Setelah diambil 3 keping bermuatan positif, diperoleh keping yang tersisa di dalam
kotak adalah 8 keping bermuatan negatif. Sehingga, -5 – 3 = -8 Tambahkan
pasangan keping
bernilai 0
-3
5 8
Gambar 2.32 Menyatakan hasil pengurangan -5 – 3 = -8
3 Pengurangan 5--3
a Menggunakan mistar hitung
Untuk pengurangan, pasangkan bilangan 5 pada mistar bawah dengan pengurangnya yaitu -3 pada mistar atas. Lalu lihat
bilangan 0 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan 8 pada mistar hitung bawah. Sehingga 5 – -3 = 8.
Gambar 2.33 Pengurangan 5--3
b Menggunakan garis bilangan
Pengurangan 5–-3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kanan dari 0 dikurangi berarti mundur, berlawanan
arah dengan bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya - 3 yaitu bilangan bulat negatif. Karena berlawanan arah, maka
melangkah 3 satuan ke kanan. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu 8.
-9 -8
7 6
8 5
4 3
2 1
-1 -1
-2 -3
-4 -5
-6 -7
Gambar 2.34 Pengurangan 5--3
Jadi, 5 –-3 = 8 Akan dibandingkan dengan 5 + 3
Gambar 2.35 Penjumlahan 5+3
Jadi, 5+ 3 =8 Sehingga 5 –-3 = 5+3 = 8
c Menggunakan keping
Ambil 5 keping bermuatan positif dan letakkan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.36 Menyatakan bilangan 5
Lakukan proses pengurangan dengan mengambil 3 buah keping bermuatan negatif. Tetapi di dalam kotak ternyata hanya terdapat
5 buah keping bermuatan positif. Seperti pada contoh sebelumnya, kita akan mengingat kembali sifat bilangan bulat
yaitu suatu bilangan bila ditambah dengan nol maka hasilnya tidak berubah. Kita ambil 3 pasang keping bermuatan positif dan
negatif kemudian masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.37 Pengurangan 5--3
Sekarang ambil 3 buah keping bermuatan negatif yang berada di dalam kotak tersebut. Setelah ketiga keping bermuatan negatif
diambil, maka keping yang tersisa di dalam kotak adalah 8 buah keping bermuatan positif. Sehingga, 5 – -3 = 8
Gambar 2.38 Menyatakan hasil pengurangan 5--3 = 8
4 Pengurangan -5--3
a Menggunakan mistar hitung
Untuk pengurangan, pasangkan bilangan -5 pada mistar bawah dengan pengurangnya yaitu -3 pada mistar atas. Lalu lihat
bilangan 0 pada mistar hitung atas, ternyata bersesuaian dengan bilangan -2 pada mistar hitung bawah. Sehingga -5 – -3 = -2.
Gambar 2.39 Pengurangan -5--3
-5 -3
2 3
1 -2
-3 -4
-1 -6
-5 1
-1 -2
-3 -4
-2 Tambahkan
pasangan keping bernilai
b Menggunakan Garis Bilangan
Pengurangan -5 – -3 diselesaikan dengan cara melangkah 5 satuan ke kiri dari 0 dikurangi berarti mundur, berlawanan arah
dengan bilangan pengurangnya. Bilangan pengurangnya -3 yaitu bilangan bulat negatif. Karena berlawanan arah, maka
melangkah 3 satuan ke kanan. Hasilnya adalah angka yang terletak pada ujung kedua yaitu -2.
Gambar 2.40 Pengurangan -5--3
Jadi, -5 –-3 = -2 Akan dibandingkan dengan -5 + 3
Gambar 2.41 Penjumlahan -5+3
Jadi, -5+ 3 = -2 Sehingga -5 –-3 = - 5+3 = -2
c Menggunakan Keping
Ambil 5 keping bermuatan negatif dan masukkan ke dalam kotak.
Gambar 2.42 Menyatakan bilangan -5
Lakukan proses pengurangan dengan mengambil 3 buah keping bermuatan negatif. Akan dihitung bola yang tersisa di dalam
kotak. Dari proses pengurangan tersebut, didapatkan 2 buah keping bermuatan negatif yang masih ada di dalam kotak.
Gambar 2.43 Menyatakan hasil pengurangan -5- -3 = -2
Maka, -5 – -3 = -2
d. Sifat-sifat pengurangan
