13
ℓ ; ,
=
∑ −
+ 2 1 + +
+
−
2.18 Fungsi digamma merupakan turunan pertama dari fungsi log-gamma
Γ .
Fungsi trigamma merupakan turunan kedua dari
Γ [4].
2.5 Regresi Generalized Poisson
Model Regresi Generalized Poisson merupakan suatu model regresi yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara sebuah variabel
dependent yang berupa data cacah dengan satu atau lebih variabel independent. Regresi Generalized Poisson dapat digunakan baik dalam
keadaan underdispersion, equidispersion ataupun overdispersion [5]. Jika ingin diketahui hubungan antara variabel dependent dan buah
variabel independent
, , …,
. Diberikan sampel sebesar pengamatan yaitu
, , …,
, ; = 1, 2, …, dan = 1, 2, …,
. Pengamatan ke- dari variabel
, , …,
adalah
, , …,
. Pengamatan ke- dari variabel adalah .
Fungsi kepadatan peluang distribusi Generalized Poisson adalah:
; , =
2.19 Dengan
=
dan
= 1 +
. Dengan merupakan
parameter dispersi [3].
14 Generalized Poisson merupakan perluasan dari Poisson. Dengan
merupakan parameter dispersi. Jika
= 0
, maka
=
. Jika maka
. Jika maka
[5]. Jika diasumsikan bahwa
| =
=
. Dengan adalah vektor yang berukuran x1 yang menjelaskan variabel independent
dan adalah vektor berukuran x1 merupakan parameter regresi. Maka
model log likelihood untuk regresi Generalized Poisson dapat dituliskan sebagai:
ℓ
; , =
∑
+
−
1 1 +
− −
2.20 dimana
=
ℓ
; , =
∑
+
−
1 1 +
− −
2.21 Dengan demikian, penaksir maximum likelihood, dapat diselesaikan
dengan memaksimumkan model ℓ
; ,
, yaitu:
ℓ
; ,
=
∑
= 0, = 1, 2, …,
2.22
ℓ
; ,
=
− ∑
, , = 1, 2, …,
2.23 dan
ℓ
; ,
=
∑ −
+
−
= 0
2.24
ℓ
; ,
=
∑ −
+
− 2.25
15
2.6 Penaksiran Parameter
Penaksiran parameter untuk regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson menggunakan iterasi Newton-Raphson [4]. Penurunan
algoritma didasarkan pada modifikasi dua orde deret taylor dengan fungsi log likelihood. Bentuk dari deret Taylor yaitu:
= +
−
+ +
′′′
+
⋯ 2.26
Jika dipotong sampai orde kedua menjadi:
= +
− ′
2.27 Untuk menentukan nilai
dapat menggunakan perluasan deret Taylor berupa
= 0
[9].
0 = +
− ′
2.28 atau
=
− 2.29
Metode Newton-Raphson menerapkan estimasi di atas dengan menggunakan nilai turunan pertama dan kedua dari fungsi log likelihood
sebagai dasar estimasi parameter, yaitu:
=
−
ℓ ℓ
, = 1, 2, …,
2.30 Dengan
dan adalah vektor untuk
= ,
, …,
pada iterasi ke dan ke
−
1
untuk iterasi Newton-Raphson. Turunan pertama dari fungsi log likelihood,
ℓ
,
untuk regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan 2.8, 2.15 dan 2.22.
16 Turunan kedua dari fungsi log likelihood,
ℓ , untuk regresi Poisson,
Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan 2.9, 2.16 dan 2.23.
Penaksiran parameter dispersi, untuk memaksimumkan ℓ
; ,
terhadap pada regresi Binomial Negatif dapat menggunakan iterasi
Newton-Raphson.
=
−
ℓ
−1
ℓ
2.31 Untuk memaksimumkan
ℓ
; ,
terhadap pada regresi Binomial Negatif dapat menggunakan iterasi Newton-Raphson.
=
−
ℓ
−1
ℓ
2.32 Turunan pertama dari fungsi
ℓ dan
ℓ
untuk regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan 2.17 dan 2.24.
Turunan kedua dari fungsi ℓ
dan ℓ
untuk regresi Binomial Negatif dan Generalized Poisson terdapat pada Persamaan 2.18 dan 2.25.
Secara umum, model Regresi Poisson, Binomial Negatif dan Generalized Poisson untuk menganalisis data adalah:
, , …,
= +
+ + …+
2.33 Atau dapat ditulis dengan:
, , …,
= +
+ + …+
= +
∑ 2.34
17 Nilai residual didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai yang diamati
dengan nilai hasil prediksi atau
. Sehingga, Residual = −
atau Residual =
−
.
2.7 Kesesuaian Model Regresi
