Analisis Regresi Linier Berganda

2.1.3 Analisis Regresi Linier Berganda

Untuk memperkirakan nilai variabel tak bebas Y, akan lebih baik apabila kita ikut memperhitungkan variabel-variabel bebas lain yang ikut mempengaruhi nilai Y. dengan demikian dimiliki hubungan antara satu variabel tidak bebas Y dengan beberapa variabel lain yang bebas X 1 , X 2 , dan X 3 , . . . , X k . Untuk itulah digunakan regresi linear berganda. Dalam pembahasan mengenai regresi sederhana, simbol yang digunakan untuk variabel bebasnya adalah X. Dalam regresi berganda, persamaan regresinya memiliki lebih dari satu variabel bebas maka perlu menambah tanda bilangan pada setiap variabel tersebut, dalam hal ini X 1 , X 2 , . . . , X k Sudjana, 1996. Model regresi linier berganda atas X 1 , X 2 , . . . , X k dibentuk dalam persamaan : Y � i = b + b 1 X 1 + b 2 X 2i + . . . + b k X ki + ε i 2.9 Koefisien-koefisien b , b 1 , b 2 , . . . , b k ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil seperti halnya menentukan koeisien b 0, b 1 , untuk regresi Y � i = b + b 1 X i + e i . Oleh karena Rumus 2.9 berisikan k+1 buah koefisien, maka b , b 1 , b 2 , . . . , b k didapat dengan jalan menyelesaikan sistem persamaan yang terdiri atas k+1 buah persamaan. Dapat dibayangkan bahwa untuk ini diperlukan metode penyelesaian yang lebih baik dan karenanya memerlukan matematika yang lebih tinggi pula, lebih-lebih kalau harga k yang menyatakan variabel bebas, cukup besar. Oleh karena itu untuk menyelesaikan persamaan regresi linier berganda dengan variabel bebas X lebih dari dua variabel dapat diselesaikan dengan metode matriks. Dalam model persamaan regresi dengan k buah variabel prediktor X yang indevenden dan satu variabel dependen Y, maka model peresamaan statistikanya dapat ditulis dengan: Y i = β + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 X 3i + … + β k X ki + ε i i = 1,2, ,n 2.10 Keterangan: i = 1,2, ,n Y i = Variabel terikat X 1i , X 2i , X 3i ,... X ki = Variabel bebas Universitas Sumatera Utara β , β 1 , β 2 , β 3 ,… β k = Parameter regresi yang belum diketahui nilainya ε i = Nilai kesalahan Persamaan umum model regresi linier berganda populasi dengan jumlah variabel bebas X sebanyak k buah Y 1 = β + β 1 X 11 + β 2 X 21 + β 3 X 31 + … + β k X k1 + ε 1 Y 2 = β + β 1 X 12 + β 2 X 22 + β 3 X 32 + … + β k X k2 + ε 2 Y 3 = β + β 1 X 13 + β 2 X 23 + β 3 X 33 + … + β k X k3 + ε 3 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Y n = β + β X 1n + β 2 X 2n + β 3 X 3n + … + β k X kn + ε n Persamaan regresi populasi dinyatakan dengan notasi matriks akan menjadi: Y = B [X] + ε. 2.12 Apabila terdapat sejumlah n pengamatan dan k variabel bebas X maka untuk setiap observasi atau responden mempunyai persamaannya seperti berikut: Ŷ i = b + b 1 X 1i + b 2 X 2i + b 3 X 3i + … + b k X ki + ε i 2.13 Keterangan i = 1, 2, . . . , n Ŷ i = Variabel terikat X 1i , X 2i , X 3i ,... X ki = Variabel bebas b ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,…b k = Parameter regresi yang belum diketahui nilainya ε i = Nilai kesalahan Persamaan umum model regresi linier berganda untuk setiap obsevasi atau responden dengan jumlah variabel bebas X sebanyak k buah Y 1 = b + b 1 X 11 + b 2 X 21 + . . . + b k X k1 Y 2 = b + b 1 X 12 + b 2 X 22 + . . . + b k X k2 . . 2.14 . Y n = b + b 1 X 1n + b 2 X 2n + . . . + b k X kn Universitas Sumatera Utara Dalam hal ini: Ŷ merupakan penduga titik bagi Y Dengan menggunakan matriks Y = b [X] + e 2.15 ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ Y 1 Y 2 . . . Y n ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ � � 1 . . . � � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 � 11 � 21 . . . � �1 1 � 12 � 22 . . . � �2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 � 1 � � 2 � . . . � �� ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ + ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ � � 1 . . . � � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ dengan e = Y- Ŷ 2.16 Rumus 2.15 inilah yang akan kita gunakan untuk menghitung koefisien-koefisien b , b 1 , …b k . Untuk itu, terhadap Rumus 2.15 kita kalikan sebelah kiri dan kanan dengan X sehingga diperoleh X Y = X X b 2.17 Dan selanjutnya hasil ini dari sebelah kiri kita kalikan dengan inversnya X X ialah X X -1 sehingga diperoleh b = X X -1 X Y 2.18 Inilah rumus untuk mencari koefisien regresi linear ganda b ,b 1 ,b 2, . . . .b k dalam bentuk matriks yang elemen-elementnya terdiri atas data pengamatan. Dalam bentuk jumlah kuadrat dan produk silang data pengamatan X ij ,elemen-elemen matriks X X adalah seperti berikut � ′ � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ � ∑ = n i i X 1 1 ∑ = n i i X 1 2 . . . ∑ = n i ki X 1 ∑ = n i i X 1 1 ∑ = n i i X 1 2 1 ∑ = n i i X X 1 2 1 . . . ∑ = n i ki i X X 1 1 ∑ = n i i X 1 2 ∑ = n i i i X X 1 1 2 ∑ = n i i X 1 2 2 . . . ∑ = n i ki i X X 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∑ = n i ki X 1 ∑ = n i i ki X X 1 1 ∑ = n i i ki X X 1 2 . . . ∑ − n i ki X 1 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 2.19 Universitas Sumatera Utara Sedangkan � ′ Y merupakan vektor kolom dengan elemen-elemen � ′ � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ∑ = n i i Y 1 ∑ = n i i i Y X 1 ∑ = n i i i Y X 1 2 . . . ∑ = n i i ki Y X 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 2.20

2.2 Uji Sampel