Metode Dekomposisi Adomian PENDAHULUAN

23 di mana adalah kuantitas yang diteliti. Notasi adalah variabel untuk waktu dan adalah variabel ruang. Ruang dan waktu adalah variabel-variabel bebas. Didefinisikan operator turunan � = � �� dan �� = � �� . Persamaan Burgers dapat dituliskan menjadi: � + � = �� . 2.35 Didefinisikan operator invers � − = ∫ . � , kemudian aplikasikan � − pada kedua ruas untuk persamaan sebelumnya untuk mendapatkan persamaan � − � = � − �� − � − � , 2.36 Atau − = � − �� − � − � . 2.37 Untuk � nonlinear dapat ditulis dalam polinomial Adomian � , dimana � = ∑ � ∞ = { � }, kemudian substitusikan polinomial ke dalam persamaan. Dengan cara yang sama, substitusikan dekomposisi dari = ∑ ∞ = pada kedua ruas, dimana = , didapatkan ∑ ∞ = = + � − �� ∑ ∞ = − � − ∑ � ∞ = . 2.38 Sekarang, dapat dilihat hasil dari setiap komponen dekomposisi dari , yaitu, = � − �� − � − � , 2.39 = � − �� − � − � , 2.40 = � − �� − � − � , 2.41 + = � − �� − � − � , � ≥ . 2.42 24 Polinomial Adomian � untuk kasus ini diberikan oleh : � = ′ , 2.43 � = ′ + , 2.44 � = ′ + ′ + ′ , 2.45 � = ′ + − ′ + + ′ − + ′ , 2.46 sehingga, dapat ditentukan menjadi bentuk rangkaian = ∑ ∞ = seperti yang diharapkan. Komponen ke −� pada pendekatan dari diberikan oleh jumlahan dari , , , , − , jadi � [ ] = ∑ − = . 2.47 Dengan cara Adomian untuk menspesifikasi = ketika = . Didapatkan = = = , 2.48 = − � − � = − , 2.49 = − � − � = � − = , 2.50 Sehingga, = − + � − . Didapatkan = � +� adalah solusi dari persamaan Burgers dengan masalah nilai awal = saat = . Hasil akhir ini adalah solusi untuk persamaan 2.34 menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Jelas bahwa = � +� adalah solusi eksak dari persamaan Burgers dengan nilai awal yang diberikan. Setelah pengamatan dari permasalahan ini 25 ditemukan bahwa jika solusi eksak teridentifikasi memiliki bentuk tertutup, maka Metode Dekomposisi Adomian konvergen sangat cepat pada solusi eksak.

E. Persamaan Gelombang Air Dangkal

Gelombang air dangkal adalah gelombang di mana kedalaman airnya atau amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya. Persamaan air dangkal disebut juga sebagai sistem Saint-Venant di mana hukum kekekalan massa dan momentum sangat berpengaruh. Persamaan-persamaan dalam sistem tersebut merupakan penurunan dari hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum. Pada persamaan ini LeVeque, 1992 diasumsikan massa jenis � konstan, sedangkan, tinggi ℎ , berubah-ubah, dan begitu juga total massa dalam [ , ] saat adalah: total massa di [ , ] = ∫ �ℎ , � � . 2.51 Momentum pada setiap titik adalah � , dan integralnya memberikan fluks massa menjadi � , ℎ , , sehingga menjadi: ℎ � + ℎ � = . 2.52 Persamaan kekekalan momentum memberikan bentuk: �ℎ � + �ℎ + � = . 2.53 Tekanan pada fluks momentum adalah: = � ℎ , 2.54 Dengan adalah konstan gravitasi. Dengan menggunakan 2.53 dan 2.54 memberikan: 26 ℎ � + ℎ + ℎ � = . 2.55 Persamaan 2.55 dapat disimplifikasi dan dengan mereduksi beberapa suku maka menjadi: � + + ℎ � = . 2.56 Persamaan 2.52 dan 2.56 merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan, yaitu persamaan gelombang air dangkal, persamaan difusi dan persamaan kinematik. Berikut ini adalah masing-masing persamaan yang diteliti dalam penelitian ini. 1. Persamaan Gelombang Air Dangkal Persamaan gelombang air dangkal Al-Khaled dan Allan, 2004 satu dimensi dapat direpresentasikan sebagai berikut. ℎ + ℎ + ℎ = − ′ , ℝ, . 2.57 Di mana adalah topografi tanah, ℎ , menunjukkan ketinggian kedalaman air diatas topografi tanah, , adalah kecepatan air, dan diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu sedangkan dua variabel bebas dan secara berturut-turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan nilai kondisi awalnya adalah: ℎ ,, = , ℝ. 2.58