61
Solusi tersebut digambar grafiknya untuk melihat perilaku fisis dari konsentrasi pada persamaan gelombang difusi. Berikut merupakan grafik dari konsentrasi ,
seperti tampak pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
Selain menggunakan MAPLE untuk menggambar grafik konsentrasi, digunakan pula program MATLAB untuk mengetahui perilaku dari konsentrasi , seperti
tampak pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.
Gambar 4.2. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
62
Gambar 4.3. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian versi zoom
Gradien dari garis-garis pada persamaan difusi Gambar 4.2 dan Gambar 4.3 merupakan perubahan terhadap perubahan
� dilambangkan =
� ��
= . Dengan
adalah jumlahan hasil dari setiap komponen . Grafik membentuk suatu garis lurus, sehingga semakin bertambah maka gradien dari akan
semakin besar, dimana gradien dari sebesar waktu. Semakin membesar maka perubahan konsentrasi terhadap perubahan ruang akan semakin cepat.
Jika ditinjau dari titik posisi atau titik ruang sama, di titik awal � = , semakin
bertambah maka konsentrasi akan semakin berkurang karena pada posisi awal, konsentrasi akan mulai menyebar dan pada posisi akhir, semakin bertambahnya
waktu maka konsentrasi akan meningkat karena telah tersebarnya konsentrasi dari posisi awal ke posisi akhir. Peristiwa penyebaran konsentrasi pada persamaan
difusi ini relevan dengan keadaan fisis dalam kehidupan nyata. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik
Persamaan gelombang kinematik Miller, 1983 adalah penyederhanaan dari persamaan gelombang air dangkal. Gelombang kinematik mendeskripsikan
fenomena dari limpasan air pertanian kecil dan DAS Daerah Aliran Sungai perkotaan. DAS adalah suatu daerah sebagai tempat berkumpulnya air hujan yang
dibatasi titik-titik tinggi. Ketika menerapkan teori gelombang kinematik untuk aliran di atas permukaan tanah, aliran lateral harus diperhatikan. Aliran di atas
permukaan tanah adalah air hujan yang meninggalkan daerah aliran sungai DAS setelah terjadi hujan. Aliran di atas permukaan tanah terjadi ketika hujan yang
jatuh melebihi tingkat infiltrasi sehingga membentuk suatu aliran di atas permukaan tanah.
Gambar. 5.1. Daerah Aliran Sungai gambar diambil dari
http:dassolo.litbang.menlhk.go.idberitabaca170mengenal-daerah-aliran-sungai-das-dan- pengelolaannya
Persamaan gelombang kinematik berasal dari penggabungan persamaan Manning: =∝ ℎ ,
3.176 dengan persamaan kontinuitas:
64
ℎ + � = .
3.177
Di sini ∝ dan adalah koefisien yang terdefinisi pada setiap penampang kanal
atau saluran. Persamaan 3.176 dan 3.177 disebut sebagai persamaan gelombang kinematik. Ketika mengaplikasikan teori gelombang kinematik untuk
aliran di atas tanah, digunakan kedua persamaan tersebut sehingga menjadi: ℎ
+ � = �, . 3.178
Dimana adalah aliran masuk inflow lateral dalam bentuk aliran di atas permukaan tanah menuju saluran penerima. Berdasarkan persamaan aliran,
dengan =∝ ℎ . Kemudian,
� �
dapat dideterminasi dari persamaan 3.176:
=∝ ℎ
−
ℎ �,
3.179 sehingga didapatkan persamaan dasar untuk gelombang kinematik adalah
ℎ +∝ ℎ
−
ℎ � = �, .
3.180
Di sini ℎ adalah simpanan air setiap unit luas, adalah waktu, � adalah koordinat
ruang, �, merepresentasikan laju perpindahan aliran masuk, ∝ dan secara
berturut-turut adalah parameter kemiringan dan kekasaran permukanan tanah dan alirannya berlapis berdasarkan persamaan Manning. Parameter-parameter tersebut
terhitung sebagai berikut: ∝=
.
, 3.181
65
= , 3.182
dimana adalah nilai kekasaran Manning dan adalah kemiringan bidang. Dalam kasus ini, diambil
∝= sebagai penyederhanaan serta fungsi �, = �,
sehingga didapatkan persamaan paling sederhana dari gelombang kinematik.
ℎ + ℎ ℎ
�
= �. 3.183
Dengan mengambil kondisi nilai awal: ℎ �,
= ℎ = , 3.184
maka akan dicari solusi dari persamaan gelombang kinematik. Seperti yang telah dilakukan sebelumnya, dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian,
pertama akan digunakan notasi derivatif :
�
=
� ��
dan =
� �
. 3.185
Dengan mengaplikasikan derivatif kepada kedua ruas maka akan didapatkan:
ℎ + ℎ
�
ℎ = �. 3.186
Setelah itu, inverskan kedua ruas, sehingga didapat:
−
ℎ +
−
ℎ
�
ℎ =
−
�, 3.187
ℎ �, − ℎ �, +
−
ℎ
�
ℎ =
−
�, 3.188
ℎ �, = ℎ �, −
−
ℎ
�
ℎ +
−
�. 3.189
66
Polinomial dari metode dekomposisi:
ℎ �, = ∑ ℎ
∞ =
, 3.190
∑
∞ =
= ℎ ℎ
�
, 3.191
sehingga didapatkan:
∑ ℎ
∞ =
= ℎ �, +
−
∑
∞ =
+
−
�. 3.192
Dengan menggunakan MAPLE maka didapatkan komponen-komponen dari suku- suku hasil adalah sebagai berikut.
ℎ = ℎ �, , 3.193
ℎ =
−
+
−
�, 3.194
ℎ =
−
+
−
�, 3.195
ℎ
+
=
−
+
−
�, 3.196
dimana : = ℎ ℎ
�
, 3.197
= ℎ ℎ
�
+ ℎ ℎ
�
, 3.198
= ℎ ℎ
�
+ ℎ ℎ
�
+ ℎ ℎ
�
, 3.199
= ℎ ℎ
�
+ ℎ ℎ
�
+ ℎ ℎ
�
+ ℎ ℎ
�
, 3.200
67
Berdasarkan perhitungan persamaan 3.196 dan dengan mengacu pada nilai awal, maka dapat digambar grafik solusi pendekatan dari
ℎ pada persamaan kinematik dengan menggunakan MDA.
Gambar 5.2. Grafik solusi pendekatan dari
ℎ �, menggunakan metode dekomposisi Adomian ketika
= sampai = .
Gambar 5.3. Grafik solusi pendekatan dari
ℎ �, menggunakan metode dekomposisi Adomian ketika
= sampai = .
