Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal
35
= ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
, 3.24
=
�
, 3.25
=
�
+
�
, 3.26
=
�
+
�
+
�
, 3.27
=
�
+
�
+
�
+
�
, 3.28
Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian Al- Khaled dan Allan 2004 serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan
fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal adalah:
ℎ �, = � � , ℎ
+
�, = −
−
[ + ], ≥ ,
3.29 �, = � � ,
+
�, = −
−
�′ � + [
�
ℎ + ] , ≥ , 3.30
dimana solusi eksak dapat ditulis dengan: lim
→∞
∅ = ℎ �, , lim
→∞
� = �, . 3.31
Pendekatan suku ke- dari kedalaman air ℎ dan kecepatan
adalah
∅ [ℎ] = ∑ ℎ
�
�,
− �=
, � [ ] = ∑
�
�, ,
− �=
≥ . 3.32
Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman
dan kecepatan seperti dibawah ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
ℎ �, =
+ sech � + exp −�
+ exp −� , 3.33
dan �,
= , 3.34
dengan fungsi topografi tanah:
� � = − exp −�
+ exp −� . 3.35
Dengan menggunakan kondisi awal dan fungsi topografi tanah, akan didapatkan setiap suku ke- dari kedalaman air
ℎ dan kecepatan sebagai berikut:
ℎ
+
�, = −
−
[ + ], ≥ ,
3.36
+
�, = −
−
�′ � + [
�
ℎ + ] , ≥ . 3.37
Digunakan software MAPLE untuk membantu perhitungan dalam mencari suku- suku untuk kedalaman air
ℎ seperti berikut ini. ℎ =
+ sech � + exp −�
+ exp −� , 3.38
ℎ = , 3.39
ℎ = cosh � +
−� − �
cosh � +
−�
sinh � � cosh � +
−�
cosh � +
− �
cosh � + cosh � +
−�
cosh � −
− �
cosh � + cosh � −
−�
cosh � −
− �
− cosh � −
−�
− , 3.40
37
ℎ = cosh � +
−� −�
�
− �
cosh � − �
−�
cosh � + �
− �
cosh � +
− �
cosh � − � cosh � −
− �
sinh � � +
−�
cosh � +
− �
cosh � − � cosh � −
−�
sinh � � + cosh � +
−�
cosh � − sinh � � + cosh � .
3.41
Suku-suku untuk kecepatan adalah:
= , 3.42
= sech � tanh � , 3.43
= − �
−�
+
−�
, 3.44
= cosh � +
−�
−
− �
sinh � � cosh �
+
− �
� cosh � +
− �
sinh � cosh �
+
−�
sinh � � cosh � −
− �
� cosh � +
−�
� cosh � +
− �
sinh � cosh �
+
− �
sinh � cosh � −
�
−�
cosh � −
−�
sinh � cosh � +
− �
sinh � cosh �
−
− �
� cosh � −
− �
sinh � cosh �
+ sinh � cosh � +
−�
sinh � cosh �
−
−�
� cosh � −
− �
sinh � cosh �
−
− �
sinh � + sinh �
cosh � −
−�
sinh � cosh � −
− �
sinh � − sinh �
cosh � −
−�
sinh � − sinh �
. 3.45
Perlu diingat bahwa ℎ = ∑
ℎ
∞ =
dan = ∑
∞ =
sehingga ditemukan solusi pendekatan untuk kedalaman
�[ℎ] = ℎ + ℎ + ℎ + ℎ dan solusi pendekatan untuk kecepatan
�[ ] = +
+ + . Pada tesis ini,
38
perhitungan ini tidak dilanjutkan pada suku selanjutnya karena hasilnya lebih rumit dan memerlukan waktu yang panjang untuk mendapatkan dan menuliskan
pada tesis ini.
Gambar 1.1. Solusi berdasarkan metode dekomposisi Adomian untuk kiri kedalaman
ℎ �, dan kanan kecepatan �, .
Gambar 1.1 merupakan grafik solusi pendekatan untuk kedalaman air dan kecepatan air dari persamaan air dangkal dengan menggunakan metode
dekomposisi Adomian ketika = sampai = . . Di bawah ini akan
diberikan grafik solusi pendekatan dari kedalaman dan kecepatan pada skala waktu tertentu.
Gambar 1.2. Hasil untuk kedalaman
ℎ �, dari metode dekomposisi Adomian pada saat waktu
= kiri dan = . kanan.
39
Gambar 1.3. Hasil untuk kecepatan
�, dari metode dekomposisi Adomian pada saat waktu
= kiri dan = . kanan.
Hasil dari �[ℎ] dan �[ ] telah di-plot di Gambar 1.1, Gambar 1.2, dan
Gambar 1.3. Pada kondisi awal, permukaan air membentuk gundukan dan kecepatannya nol di manapun. Semakin waktu bertambah, permukaan air mulai
berubah bentuk, yang mana secara fisis sesuai dengan gravitasi. Bagaimanapun juga, jika nilai waktu terlalu besar, solusinya menjadi tidak sesuai dengan keadaan
fisis di alam, yang mana, permukaan air di pusat dari gundukan sebelumnya meningkat terlalu tinggi. Permukaan air di sisi kiri dan kanan dari gundukan
menurun dan mencapai topografi tanah saat = . . Ini berarti bahwa jika
diinginkan solusi yang akurat untuk waktu yang besar, dibutuhkan suku yang lebih besar juga lebih banyak di pendekatan
�[ℎ] dan �[ ] untuk solusi eksak.
Pada penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi Adomian relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu yang
besar untuk permasalahan aliran yang tidak tenang. Diharapkan penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan metode dekomposisi Adomian adalah
40
untuk menemukan error atau kesalahan dari solusi metode dekomposisi Adomian
untuk persamaan air dangkal. B.
Solusi Persamaan Gelombang Elastik
Gelombang elastik merupakan gelombang yang menyebabkan deformasi elastik tanpa menyebabkan perubahan struktur. Persamaan gelombang elastik erat
kaitannya dengan teori elastisitas gelombang. Dalam elastisitas gelombang, dikenal sifat elastisitas benda, yaitu sifat suatu benda untuk mempertahankan
bentuknya pada keadaan semula. Contoh fenomena yang ada pada kehidupan sehari-hari adalah ketika menekan senar gitar maka akan terjadi regangan yang
diakibatkan oleh tekanan dan regangan tersebut lama-kelamaan akan berhenti. Persamaan elastik yang diteliti dalam tesis ini adalah persamaan elastik dimensi
satu. Oleh karena itu, variabel yang paling dominan dalam persamaan elastik dimensi satu adalah tegangan, regangan, dan kecepatan. Tegangan adalah gaya per
satuan luas, sedangkan regangan adalah perbandingan antara perubahan bentuk dan ukuran benda setelah dikenai gaya dari keadaan semula. Berdasarkan hukum
Hook, regangan yang dihasilkan berbanding lurus dengan tegangannya berlaku untuk tegangan yang tidak terlalu besar. Persamaan elastik non-linear diberikan
sebagai berikut. � �, −
�
�, = , 3.46
� � �,
− � � �, , �
�
= . 3.47
� �, dan �, secara berturut-turut adalah regangan dan kecepatan. = � adalah momentum dengan
� adalah massa jenis, sedangkan � �, � = � �
41
adalah tegangan. Asumsikan � = dan � = untuk mendapatkan persamaan
elastik non-linier paling sederhana, maka didapatkan: � −
�
= , 3.48
− � + �
�
= . 3.49
Untuk mempermudah perhitungan, diberikan contoh kondisi awal: �,
= , 3.50
� �, = − .
ℎ . � .
3.51 Persamaan 3.48 dan 3.49 dapat ditulis kembali menjadi:
� −
�
= , 3.52
− �
�
− ��
�
= 3.53
Dengan mendefinisikan operator derivatif =
� �
dan
�
=
� ��
dan kemudian mengaplikasikannya maka persamaan 3.52 dan 3.53 akan menjadi:
� −
�
= , 3.54
−
�
� − �
�
� = . 3.55
Didefinisikan operator invers
−
= ∫ . , dan dengan mengaplikasikan
−
kedua ruas dari persamaan-persamaan sebelumnya untuk mendapatkan:
−
� −
− �
= , 3.56
−
−
− �
� + �
�
� = . 3.57
Persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi
−
� −
− �
= , 3.58
−
−
− �
� + ∅ � = , 3.59
dimana ∅ � = ��
�
. Maka akan didapatkan � �, dan �, seperti dibawah
ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
� �, − � �, =
− �
, 3.60
�, − �, =
− �
� + ∅ � , 3.61
atau � �, = � �,
+
− �
, 3.62
�, = �, +
− �
� + ∅ � . 3.63
Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah deret tak hingga dalam: �, = ∑
�,
∞ =
, 3.64
� �, = ∑ � �,
∞ =
, 3.65
∅ � = ∑
∞ =
. 3.66
Jadi, didapatkan persamaan-persamaan dibawah ini: ∑ � �,
∞ =
= � +
− �
∑ �,
∞ =
, 3.67
∑ �,
∞ =
= +
− �
∑ � �,
∞ =
+ ∑
∞ =
, 3.68
dimana � , � , � , … , � = � [∅∑� �
∞ �=
]
�=
, ≥ . 3.69
Polinomial Adomian untuk kasus ini diberikan oleh:
= � �
�
, 3.71
= � �
�
+ � �
�
, 3.72
43
= � �
�
+ � �
�
+ � �
�
, 3.73
= � �
�
+ �
−
�
�
+ + � �
�
. 3.74
Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi adalah: � + � + � + = � +
− �
+ +
+ ,
3.75
+ +
+ =
+
− �
� + � + � + +
+ +
+ ,
3.76
yang berarti bahwa untuk suku � ke- adalah
� = − . ℎ
. � , 3.77
� =
− �
, 3.78
� =
− �
, 3.79
� =
− �
, 3.80
Sedangkan untuk suku ke- adalah = ,
3.81 =
− �
� + ,
3.82 =
− �
� + ,
3.83 =
− �
� + ,
3.84
Jadi kita dapatkan suku �
+
dan
+
untuk ≥ adalah
44
�
+
=
− �
, ≥ , 3.85
+
=
− �
� + , ≥ .
3.86 Di sini solusi eksaknya diberikan oleh
lim
→∞
� = � �, , 3.87
lim
→∞
� = �, . 3.88
Pendekatan suku ke − dari tekanan � dan kecepatan adalah
� = � [�] = ∑ �
�
�, ,
− �=
≥ , 3.89
� = � [ ] = ∑
�
�, ,
− �=
≥ . 3.90
Dengan menggunakan software MAPLE, hasil dari suku-sukunya dihitung sampai iterasi keempat.
� = , 3.91
� = − ℎ � −
ℎ � + ℎ �
, 3.92
� = , 3.93
�
= − ℎ � −
ℎ � ℎ �
− +
ℎ � − ℎ � +
ℎ � .
3.94
Suku-suku untuk tekanan berdasarkan perhitungan dengan MAPLE adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
= � ℎ �
ℎ � − ℎ �
, 3.95
= , 3.96
= � ℎ �
ℎ � − ℎ �
× ℎ �
+ � ℎ �
+ ℎ � −
× ℎ �
, 3.97
= . 3.98
Oleh karena itu, didapatkan: � = −
ℎ � ℎ �
− ℎ � −
ℎ �
+ ℎ � −
ℎ �
+ ℎ � +
ℎ �
− ℎ � +
, 3.99
46
� = � ℎ �
ℎ � ℎ � +
ℎ �
− ℎ � −
ℎ �
+ ℎ � −
. 3.100
Berikut ini adalah grafik-grafik solusi pendekatan dari persamaan elastik dimensi satu dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Penulis menggunakan
MAPLE dan MATLAB untuk mempermudah pekerjaan.
Gambar 2.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan
�, pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian
47
Gambar 2.2. Grafik solusi pendekatan dari regangan
� �,
pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian
Dengan menggunakan MATLAB, maka didapatkan hasil simulasi seperti tampak dalam Gambar 2.1 hingga gambar 2.4.
Gambar 2.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan elastik menggunakan
metode dekomposisi Adomian
48
Gambar 2.4. Grafik solusi pendekatan dari regangan pada persamaan elastik menggunakan
metode dekomposisi Adomian
Dari grafik-grafik tersebut, dapat dilihat bahwa nilai regangan tertinggi adalah ketika
= dan pada posisi awal � = . Semakin waktu bertambah, maka regangan dari titik asal merambat ke arah kiri dan ke arah kanan. Pada
= sampai
= . . Kecepatan berhubungan dengan perambatan regangan. Ketika kecepatannya negatif, perambatan gelombang regangan ke kanan dan positif
ketika ke kiri. Pada grafik kecepatan, kecepatan cenderung menuju 0 nol untuk �
tak hingga dan tak hingga, hal ini juga berlaku pada grafik regangan. Hal ini relevan dengan sifat elastisitas suatu benda untuk mempertahankan bentuk seperti
keadaan semula. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa untuk nilai yang kecil maka MDA akurat dalam menyelesaikan persamaan elastik dimensi satu, namun
kurang akurat untuk yang besar. Untuk menambah keakuratan pada nilai yang besar maka dibutuhkan iterasi yang lebih banyak lagi.
49