Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal

35 = ℎ � + ℎ � + ℎ � + ℎ � , 3.24 = � , 3.25 = � + � , 3.26 = � + � + � , 3.27 = � + � + � + � , 3.28 Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian Al- Khaled dan Allan 2004 serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal adalah: ℎ �, = � � , ℎ + �, = − − [ + ], ≥ , 3.29 �, = � � , + �, = − − �′ � + [ � ℎ + ] , ≥ , 3.30 dimana solusi eksak dapat ditulis dengan: lim →∞ ∅ = ℎ �, , lim →∞ � = �, . 3.31 Pendekatan suku ke- dari kedalaman air ℎ dan kecepatan adalah ∅ [ℎ] = ∑ ℎ � �, − �= , � [ ] = ∑ � �, , − �= ≥ . 3.32 Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman dan kecepatan seperti dibawah ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36 ℎ �, = + sech � + exp −� + exp −� , 3.33 dan �, = , 3.34 dengan fungsi topografi tanah: � � = − exp −� + exp −� . 3.35 Dengan menggunakan kondisi awal dan fungsi topografi tanah, akan didapatkan setiap suku ke- dari kedalaman air ℎ dan kecepatan sebagai berikut: ℎ + �, = − − [ + ], ≥ , 3.36 + �, = − − �′ � + [ � ℎ + ] , ≥ . 3.37 Digunakan software MAPLE untuk membantu perhitungan dalam mencari suku- suku untuk kedalaman air ℎ seperti berikut ini. ℎ = + sech � + exp −� + exp −� , 3.38 ℎ = , 3.39 ℎ = cosh � + −� − � cosh � + −� sinh � � cosh � + −� cosh � + − � cosh � + cosh � + −� cosh � − − � cosh � + cosh � − −� cosh � − − � − cosh � − −� − , 3.40 37 ℎ = cosh � + −� −� � − � cosh � − � −� cosh � + � − � cosh � + − � cosh � − � cosh � − − � sinh � � + −� cosh � + − � cosh � − � cosh � − −� sinh � � + cosh � + −� cosh � − sinh � � + cosh � . 3.41 Suku-suku untuk kecepatan adalah: = , 3.42 = sech � tanh � , 3.43 = − � −� + −� , 3.44 = cosh � + −� − − � sinh � � cosh � + − � � cosh � + − � sinh � cosh � + −� sinh � � cosh � − − � � cosh � + −� � cosh � + − � sinh � cosh � + − � sinh � cosh � − � −� cosh � − −� sinh � cosh � + − � sinh � cosh � − − � � cosh � − − � sinh � cosh � + sinh � cosh � + −� sinh � cosh � − −� � cosh � − − � sinh � cosh � − − � sinh � + sinh � cosh � − −� sinh � cosh � − − � sinh � − sinh � cosh � − −� sinh � − sinh � . 3.45 Perlu diingat bahwa ℎ = ∑ ℎ ∞ = dan = ∑ ∞ = sehingga ditemukan solusi pendekatan untuk kedalaman �[ℎ] = ℎ + ℎ + ℎ + ℎ dan solusi pendekatan untuk kecepatan �[ ] = + + + . Pada tesis ini, 38 perhitungan ini tidak dilanjutkan pada suku selanjutnya karena hasilnya lebih rumit dan memerlukan waktu yang panjang untuk mendapatkan dan menuliskan pada tesis ini. Gambar 1.1. Solusi berdasarkan metode dekomposisi Adomian untuk kiri kedalaman ℎ �, dan kanan kecepatan �, . Gambar 1.1 merupakan grafik solusi pendekatan untuk kedalaman air dan kecepatan air dari persamaan air dangkal dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian ketika = sampai = . . Di bawah ini akan diberikan grafik solusi pendekatan dari kedalaman dan kecepatan pada skala waktu tertentu. Gambar 1.2. Hasil untuk kedalaman ℎ �, dari metode dekomposisi Adomian pada saat waktu = kiri dan = . kanan. 39 Gambar 1.3. Hasil untuk kecepatan �, dari metode dekomposisi Adomian pada saat waktu = kiri dan = . kanan. Hasil dari �[ℎ] dan �[ ] telah di-plot di Gambar 1.1, Gambar 1.2, dan Gambar 1.3. Pada kondisi awal, permukaan air membentuk gundukan dan kecepatannya nol di manapun. Semakin waktu bertambah, permukaan air mulai berubah bentuk, yang mana secara fisis sesuai dengan gravitasi. Bagaimanapun juga, jika nilai waktu terlalu besar, solusinya menjadi tidak sesuai dengan keadaan fisis di alam, yang mana, permukaan air di pusat dari gundukan sebelumnya meningkat terlalu tinggi. Permukaan air di sisi kiri dan kanan dari gundukan menurun dan mencapai topografi tanah saat = . . Ini berarti bahwa jika diinginkan solusi yang akurat untuk waktu yang besar, dibutuhkan suku yang lebih besar juga lebih banyak di pendekatan �[ℎ] dan �[ ] untuk solusi eksak. Pada penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi Adomian relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu yang besar untuk permasalahan aliran yang tidak tenang. Diharapkan penelitian selanjutnya yang berhubungan dengan metode dekomposisi Adomian adalah 40 untuk menemukan error atau kesalahan dari solusi metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik Gelombang elastik merupakan gelombang yang menyebabkan deformasi elastik tanpa menyebabkan perubahan struktur. Persamaan gelombang elastik erat kaitannya dengan teori elastisitas gelombang. Dalam elastisitas gelombang, dikenal sifat elastisitas benda, yaitu sifat suatu benda untuk mempertahankan bentuknya pada keadaan semula. Contoh fenomena yang ada pada kehidupan sehari-hari adalah ketika menekan senar gitar maka akan terjadi regangan yang diakibatkan oleh tekanan dan regangan tersebut lama-kelamaan akan berhenti. Persamaan elastik yang diteliti dalam tesis ini adalah persamaan elastik dimensi satu. Oleh karena itu, variabel yang paling dominan dalam persamaan elastik dimensi satu adalah tegangan, regangan, dan kecepatan. Tegangan adalah gaya per satuan luas, sedangkan regangan adalah perbandingan antara perubahan bentuk dan ukuran benda setelah dikenai gaya dari keadaan semula. Berdasarkan hukum Hook, regangan yang dihasilkan berbanding lurus dengan tegangannya berlaku untuk tegangan yang tidak terlalu besar. Persamaan elastik non-linear diberikan sebagai berikut. � �, − � �, = , 3.46 � � �, − � � �, , � � = . 3.47 � �, dan �, secara berturut-turut adalah regangan dan kecepatan. = � adalah momentum dengan � adalah massa jenis, sedangkan � �, � = � � 41 adalah tegangan. Asumsikan � = dan � = untuk mendapatkan persamaan elastik non-linier paling sederhana, maka didapatkan: � − � = , 3.48 − � + � � = . 3.49 Untuk mempermudah perhitungan, diberikan contoh kondisi awal: �, = , 3.50 � �, = − . ℎ . � . 3.51 Persamaan 3.48 dan 3.49 dapat ditulis kembali menjadi: � − � = , 3.52 − � � − �� � = 3.53 Dengan mendefinisikan operator derivatif = � � dan � = � �� dan kemudian mengaplikasikannya maka persamaan 3.52 dan 3.53 akan menjadi: � − � = , 3.54 − � � − � � � = . 3.55 Didefinisikan operator invers − = ∫ . , dan dengan mengaplikasikan − kedua ruas dari persamaan-persamaan sebelumnya untuk mendapatkan: − � − − � = , 3.56 − − − � � + � � � = . 3.57 Persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi − � − − � = , 3.58 − − − � � + ∅ � = , 3.59 dimana ∅ � = �� � . Maka akan didapatkan � �, dan �, seperti dibawah ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42 � �, − � �, = − � , 3.60 �, − �, = − � � + ∅ � , 3.61 atau � �, = � �, + − � , 3.62 �, = �, + − � � + ∅ � . 3.63 Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah deret tak hingga dalam: �, = ∑ �, ∞ = , 3.64 � �, = ∑ � �, ∞ = , 3.65 ∅ � = ∑ ∞ = . 3.66 Jadi, didapatkan persamaan-persamaan dibawah ini: ∑ � �, ∞ = = � + − � ∑ �, ∞ = , 3.67 ∑ �, ∞ = = + − � ∑ � �, ∞ = + ∑ ∞ = , 3.68 dimana � , � , � , … , � = � [∅∑� � ∞ �= ] �= , ≥ . 3.69 Polinomial Adomian untuk kasus ini diberikan oleh: = � � � , 3.71 = � � � + � � � , 3.72 43 = � � � + � � � + � � � , 3.73 = � � � + � − � � + + � � � . 3.74 Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi adalah: � + � + � + = � + − � + + + , 3.75 + + + = + − � � + � + � + + + + + , 3.76 yang berarti bahwa untuk suku � ke- adalah � = − . ℎ . � , 3.77 � = − � , 3.78 � = − � , 3.79 � = − � , 3.80 Sedangkan untuk suku ke- adalah = , 3.81 = − � � + , 3.82 = − � � + , 3.83 = − � � + , 3.84 Jadi kita dapatkan suku � + dan + untuk ≥ adalah 44 � + = − � , ≥ , 3.85 + = − � � + , ≥ . 3.86 Di sini solusi eksaknya diberikan oleh lim →∞ � = � �, , 3.87 lim →∞ � = �, . 3.88 Pendekatan suku ke − dari tekanan � dan kecepatan adalah � = � [�] = ∑ � � �, , − �= ≥ , 3.89 � = � [ ] = ∑ � �, , − �= ≥ . 3.90 Dengan menggunakan software MAPLE, hasil dari suku-sukunya dihitung sampai iterasi keempat. � = , 3.91 � = − ℎ � − ℎ � + ℎ � , 3.92 � = , 3.93 � = − ℎ � − ℎ � ℎ � − + ℎ � − ℎ � + ℎ � . 3.94 Suku-suku untuk tekanan berdasarkan perhitungan dengan MAPLE adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45 = � ℎ � ℎ � − ℎ � , 3.95 = , 3.96 = � ℎ � ℎ � − ℎ � × ℎ � + � ℎ � + ℎ � − × ℎ � , 3.97 = . 3.98 Oleh karena itu, didapatkan: � = − ℎ � ℎ � − ℎ � − ℎ � + ℎ � − ℎ � + ℎ � + ℎ � − ℎ � + , 3.99 46 � = � ℎ � ℎ � ℎ � + ℎ � − ℎ � − ℎ � + ℎ � − . 3.100 Berikut ini adalah grafik-grafik solusi pendekatan dari persamaan elastik dimensi satu dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Penulis menggunakan MAPLE dan MATLAB untuk mempermudah pekerjaan. Gambar 2.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan �, pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian 47 Gambar 2.2. Grafik solusi pendekatan dari regangan � �, pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian Dengan menggunakan MATLAB, maka didapatkan hasil simulasi seperti tampak dalam Gambar 2.1 hingga gambar 2.4. Gambar 2.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian 48 Gambar 2.4. Grafik solusi pendekatan dari regangan pada persamaan elastik menggunakan metode dekomposisi Adomian Dari grafik-grafik tersebut, dapat dilihat bahwa nilai regangan tertinggi adalah ketika = dan pada posisi awal � = . Semakin waktu bertambah, maka regangan dari titik asal merambat ke arah kiri dan ke arah kanan. Pada = sampai = . . Kecepatan berhubungan dengan perambatan regangan. Ketika kecepatannya negatif, perambatan gelombang regangan ke kanan dan positif ketika ke kiri. Pada grafik kecepatan, kecepatan cenderung menuju 0 nol untuk � tak hingga dan tak hingga, hal ini juga berlaku pada grafik regangan. Hal ini relevan dengan sifat elastisitas suatu benda untuk mempertahankan bentuk seperti keadaan semula. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa untuk nilai yang kecil maka MDA akurat dalam menyelesaikan persamaan elastik dimensi satu, namun kurang akurat untuk yang besar. Untuk menambah keakuratan pada nilai yang besar maka dibutuhkan iterasi yang lebih banyak lagi. 49

C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik

Penelitian ini bertujuan untuk meneliti penggunaan metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik dimensi satu. Persamaaan akustik dapat diturunkan dari persamaan elastik nonlinier, seperti yang dideskripsikan oleh LeVeque 2002. Penelitian ini adalah pengaplikasian pertama kali dari metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik. Susunan dalam bagian ini adalah sebagai berikut. Pertama, akan dideskripsikan permasalahan yang akan diteliti. Kemudian, akan dijelaskan sedikit tentang metode dekomposisi Adomian. Setelah itu, akan dipaparkan hasil-hasil komputasional beserta pembahasannya. Terakhir, akan ditulis kesimpulan dari bagian ini. Pada bagian ini, dideskripsikan permasalahan model matematika yang akan diselesaikan. Dimulai dari model umum, simplifikasi dari model menjadi bentuk paling sederhana dari persamaan akustik. Bentuk umum dari persamaan akustik adalah Supriyadi dan Mungkasi 2016, Mungkasi dan Ningrum 2016: + � � = , 3.101 � � + � = . 3.102 Di sini �, menunjukkan tekanan, �, menunjukkan kecepatan, � adalah variabel ruang dimensi satu, dan adalah variabel waktu. Sebagai tambahan, � adalah bagian terpenting dari modulus yang dapat dimampatkan, dan � � adalah massa jenis. Digunakan operator turunan = �� � , � = �� �� , = � � , dan � = � �� . Dengan mengambil � = dan � � = , didapatkan persamaan akustik dalam bentuk paling sederhana. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50 + � = , 3.103 + � = . 3.104 Tujuan dari penelitian di bagian ini adalah untuk menyelesaikan persamaan 3.103 dan 3.104 dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana metode dekomposisi Adomian menyelesaikan persamaan akustik. Diawali dengan menotasikan operator derivatif = � � dan � = � �� , sehingga persamaan 3.103 dan 3.104 menjadi: + � = , 3.105 + � = . 3.106 Invers dari operator derivatif untuk dan � adalah − = ∫ . dan � − = ∫ . �. Dalam tesis ini, hanya akan diambil invers terhadap variabel waktu . Dengan mengaplikasikan operator − pada kedua ruas dari persamaan 3.105 dan 3.106, didapatkan: − + − � = , 3.107 − + − � = , 3.108 atau �, = �, − − � , 3.109 �, = �, − − � . 3.110 Variabel �, dan �, dapat ditulis dalam deret: �, = ∑ �, ∞ = , 3.111 �, = ∑ �, ∞ = . 3.112 51 Dengan mengaplikasikan polinomial Adomian pada kedua ruas, dimana = �, dan = �, , kita dapatkan: ∑ ∞ = = �, − − � ∑ ∞ = , 3.113 ∑ ∞ = = �, − − � ∑ ∞ = , 3.114 atau + + + + = �, − − � + + + + , 3.115 + + + + = �, − − � + + + + . 3.116 Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi dan adalah �, t = �, , 3.117 �, = − − � � , 3.118 �, = − − � � , 3.119 �, = − − � � , 3.120 �, t = �, , 3.121 �, = − − � � , 3.122 �, = − − � � , 3.123 �, = − − � � , 3.124 Untuk perhitungan komputasional pada bagian selanjutnya, diberikan kondisi nilai awal: 52 �, = . sech . � , 3.125 �, = . 3.126 Didefinisikan untuk persamaan akustik 3.103 dan 3.104. Dipilih fungsi secan hiperbolik karena fungsinya halus, sehingga memiliki derivatif yang kontinu. Amplitudo dan fase diambil konstan, yaitu 0.1 dan 0.2, secara berturut-turut. Metode dekomposisi Adomian membutuhkan beberapa iterasi berulang untuk mendapatkan pendekatan solusi eksak. Catatan bahwa semakin banyak iterasi yang digunakan, maka semakin akurat pula solusi dengan metode ini jika deret yang dihasilnya belum konvergen kepada solusi eksak. Dengan menggunakan kondisi nilai awal 3.126 dan 3.125, metode dekomposisi Adomian menggunakan formula deret seperti berikut: �+ �, = − − � ∑ � ∞ �= , � ≥ , 3.127 �+ �, = − − � ∑ � ∞ �= , � ≥ , 3.128 dimana solusi eksak diberikan dengan lim →∞ = �, , 3.129 lim →∞ � = �, . 3.130 Pendekatan suku ke- dari tekanan dan kecepatan adalah [ℎ] = ∑ � �, − �= , 3.131 � [ ] = ∑ � �, , − �= ≥ . 3.132 53 Dengan menggunakan software MAPLE, didapatkan hasil dari iterasi sampai untuk solusi tekanan untuk permasalahan yang ada dalam penelitian ini, dituliskan seperti berikut: = , 3.133 = sech � tanh � , 3.134 = , 3.135 = sech � tanh � − sech � tanh � − tanh � , 3.136 = , 3.137 = sech � , 3.138 = , 3.139 = sech � tanh � − sech � − tanh � , 3.140 = , 3.141