Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers

26 ℎ � + ℎ + ℎ � = . 2.55 Persamaan 2.55 dapat disimplifikasi dan dengan mereduksi beberapa suku maka menjadi: � + + ℎ � = . 2.56 Persamaan 2.52 dan 2.56 merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan, yaitu persamaan gelombang air dangkal, persamaan difusi dan persamaan kinematik. Berikut ini adalah masing-masing persamaan yang diteliti dalam penelitian ini. 1. Persamaan Gelombang Air Dangkal Persamaan gelombang air dangkal Al-Khaled dan Allan, 2004 satu dimensi dapat direpresentasikan sebagai berikut. ℎ + ℎ + ℎ = − ′ , ℝ, . 2.57 Di mana adalah topografi tanah, ℎ , menunjukkan ketinggian kedalaman air diatas topografi tanah, , adalah kecepatan air, dan diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu sedangkan dua variabel bebas dan secara berturut-turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan nilai kondisi awalnya adalah: ℎ ,, = , ℝ. 2.58 27 Di sini dan adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan aliran air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan: ℎ � + ℎ � + ℎ � = , ℎ , = , 2.59 � + ℎ � + � = − ′ , , = . 2.60 Pada persamaan gelombang air dangkal tersebut adalah persamaan yang akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang air dangkal antara lain, tsunami, banjir, dan masalah bendungan bobol dam break. Solusi dari penelitian ini untuk melihat kecepatan gelombang dan kedalaman gelombang air ℎ pada titik tertentu dan pada waktu tertentu. 2. Persamaan Gelombang Difusi Difusi adalah penyebaran molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke konsentrasi yang lebih rendah. Persamaan gelombang difusi yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya: + = + , 2.61 di mana adalah konsentrasi polutan air di laut misal. Dengan kondisi awal: , = = . 2.62 Kemudian, dapat ditulis kembali menjadi: � + � = �� + . 2.63 Persamaan 2.63 adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian ini. Masalah nyata yang terkait dengan gelombang difusi antara lain, 28 penyebaran asap rokok dalam suatu ruangan, penyebaran limbah cair di sungai, penyebaran limbah gas dari pabrik ke ruangan terbuka, dan masih banyak lagi. Solusi dari penelitian ini untuk melihat gelombang aliran konsentrasi suatu larutan pada titik tertentu dan waktu tertentu. 3. Persamaan Gelombang Kinematik Persamaan gelombang kinematik Miller, 1983 termasuk dalam persamaan gelombang air dangkal dimensi satu. Persamaan gelombang kinematik yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang kinematik dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya: ℎ � + ℎ ℎ � = , 2.64 dengan kondisi awalnya adalah ℎ , = ℎ = . 2.65 Persamaan 2.64 adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang kinematik adalah masalah gelombang aliran pada daerah aliran sungai DAS. DAS berfungsi untuk menerima, mengalirkan dan menampung air hujan. Solusi dari penelitian ini untuk melihat banyaknya simpanan air ℎ pada titik tertentu dan pada waktu tertentu.

F. Persamaan Gelombang Elastik

Pada persamaan gelombang elastik, terdapat dua jenis persamaan. Pertama adalah persamaan gelombang elastik secara umum dan kedua adalah persamaan 29 gelombang akustik. Persamaan akustik linear diturunkan dari persamaan elastisitas non-linear. Berikut ini adalah persamaan gelombang elastisitas dimensi- 1 mengacu pada LeVeque 2002: { � � , − � , = , � , − � � , , � = . 2.66 Disini � , adalah regangan strain, , adalah kecepatan, dengan massa jenis diasumsikan satu dan � �, adalah tegangan stress dan variabel bebas dan secara berturut-turut merepresentasikan ruang dan waktu. Relasi linear tekanan-regangan adalah: � �, = � 2.67 di mana adalah modulus dari bagian yang dimampatkan. Pada kasus linear sangat mungkin untuk menuliskan kembali persamaan dengan mengeliminasi � dan menggunakan = −� untuk mendapatkan: { � + � = , � � + � = . 2.68 Persamaan tersebut adalah persamaan akustik linear satu dimensi. Kemudian untuk menyederhanakan persamaan, dengan mengasumsikan sama dengan satu, dan massa jenis � sama dengan satu, maka didapatkan: { � + � = , � + � = . 2.69 Persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear dimensi-1 tersebut yang kemudian akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata dari persamaan gelombang elastik antara lain adalah gempa bumi, penggaris atau benda elastik lain yang PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI