Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers
26
ℎ
�
+ ℎ + ℎ
�
= . 2.55
Persamaan 2.55 dapat disimplifikasi dan dengan mereduksi beberapa suku maka menjadi:
�
+ + ℎ
�
= . 2.56
Persamaan 2.52 dan 2.56 merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan,
yaitu persamaan gelombang air dangkal, persamaan difusi dan persamaan kinematik. Berikut ini adalah masing-masing persamaan yang diteliti dalam
penelitian ini. 1.
Persamaan Gelombang Air Dangkal Persamaan gelombang air dangkal Al-Khaled dan Allan, 2004 satu
dimensi dapat direpresentasikan sebagai berikut. ℎ +
ℎ + ℎ = − ′ , ℝ,
. 2.57
Di mana adalah topografi tanah,
ℎ , menunjukkan ketinggian kedalaman air diatas topografi tanah,
, adalah kecepatan air, dan diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu
sedangkan dua variabel bebas dan secara berturut-turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan nilai kondisi awalnya adalah:
ℎ ,, = ,
ℝ. 2.58
27
Di sini dan
adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan aliran air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan
dengan: ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
= , ℎ , =
, 2.59
�
+ ℎ
�
+
�
= −
′
, ,
= .
2.60 Pada persamaan gelombang air dangkal tersebut adalah persamaan yang
akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang air dangkal antara lain, tsunami, banjir, dan masalah bendungan bobol dam
break. Solusi dari penelitian ini untuk melihat kecepatan gelombang dan kedalaman gelombang air
ℎ pada titik tertentu dan pada waktu tertentu. 2.
Persamaan Gelombang Difusi Difusi adalah penyebaran molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke
konsentrasi yang lebih rendah. Persamaan gelombang difusi yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu. Berikut
ini adalah persamaannya: +
= + ,
2.61 di mana adalah konsentrasi polutan air di laut misal. Dengan kondisi
awal: ,
= = .
2.62 Kemudian, dapat ditulis kembali menjadi:
�
+
�
=
��
+ . 2.63
Persamaan 2.63 adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian ini. Masalah nyata yang terkait dengan gelombang difusi antara lain,
28
penyebaran asap rokok dalam suatu ruangan, penyebaran limbah cair di sungai, penyebaran limbah gas dari pabrik ke ruangan terbuka, dan masih
banyak lagi. Solusi dari penelitian ini untuk melihat gelombang aliran konsentrasi suatu larutan pada titik tertentu dan waktu tertentu.
3. Persamaan Gelombang Kinematik
Persamaan gelombang kinematik Miller, 1983 termasuk dalam persamaan gelombang air dangkal dimensi satu. Persamaan gelombang
kinematik yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang kinematik dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya:
ℎ
�
+ ℎ ℎ
�
=
,
2.64 dengan kondisi awalnya adalah
ℎ , = ℎ = .
2.65 Persamaan 2.64 adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian
ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang kinematik adalah masalah gelombang aliran pada daerah aliran sungai DAS. DAS berfungsi untuk
menerima, mengalirkan dan menampung air hujan. Solusi dari penelitian ini untuk melihat banyaknya simpanan air
ℎ pada titik tertentu dan pada waktu tertentu.