17
B. Penurunan Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum LeVeque, 1992. Misalkan bahwa
� , melambangkan massa jenis fluida di titik dan waktu . Massa jenis ini didefinisikan dalam cara bahwa total
massa dari fluida dalam bagian yang diberikan dari ke
, diberikan oleh integral dari massa jenis:
massa dalam [ , ] pada waktu = ∫ � ,
� �
. 2.2
Sekarang diberikan , adalah kecepatan fluida pada titik dan waktu .
Kemudian, kecepatan aliran, atau fluks dari fluida yang melewati titik ini diberikan oleh
fluks massa di , = � , , ,
2.3 dari pernyataan tersebut, kecepatan dari perubahan massa di
[ , ] diberikan oleh perbedaan di fluks pada saat
dan :
∫ � ,
� �
= � ,
, − � ,
, . 2.4
Ini adalah satu bentuk integral dari hukum kekekalan massa. Bentuk lainnya didapatkan dengan mengintegralkan ini saat waktu ke :
∫ � ,
� �
= ∫ � ,
� �
+ ∫ � ,
,
� �
− ∫ � ,
,
� �
. 2.5
18
Untuk mendapatkan bentuk diferensial dari hukum kekekalan, diasumsikan bahwa � , dan
, adalah fungsi terdiferensial. Dengan menggunakan: � ,
− � , = ∫
� ,
� �
, 2.6
dan �
, , − �
, , = ∫
� , ,
� �
, 2.7
dalam 2.5 memberikan: ∫ ∫ { � , +
� , ,
}
� �
� �
= . 2.8
Karena ini berlaku untuk setiap bagian [ , ] dan melewati setip interval waktu
[ , ], disimpulkan bahwa sebenarnya integral dalam 2.8 adalah nol, yaitu: �
�
+ �
�
= . 2.9
Persamaan di atas adalah bentuk diferensial dari hukum kekekalan massa, untuk hukum kekekalan 2.9 dapat diselesaikan jika kecepatan
, adalah fungsi dari
� , . Jika demikian, kemudian � adalah fungsi dari � sendiri, sehingga � = � , dan persamaan kekekalan massa 2.9 menjadi:
�
�
+ �
�
= . 2.10
Persamaan gelombang yang dibahas dalam tesis ini secara umum berbentuk hukum kekekalan massa:
�
�
+ � �
�
= , 2.11
jika tidak ada suku sumber. Jika ada suku sumber kuantitas yang mempengaruhi sistem, persamaannya berbentuk hukum kesetimbangan:
19
�
�
+ � �
�
= � , , , , 2.12
dengan � , , , adalah suku sumber. Di sini � , adalah kuantitas
kekal dan � � adalah fluks kuantitas kekal tersebut.
C. Metode Dekomposisi Adomian
Metode Dekomposisi Adomian Adomian 1998, Wazwaz 2009 diperkenalkan dan dikembangkan oleh George Adomian dan terbukti memiliki
keunggulan, efektif, dan dapat mengatasi kasus-kasus linear maupun non-linear, persamaan diferensial biasa maupun parsial, dan persamaan integral linear
maupun non-linear. Metode ini menyelesaikan permasalahan secara langsung tanpa menggunakan linearisasi ataupun beberapa asumsi yang mungkin dapat
merubah sifat-sifat fisis dari model yang didiskusikan. Pada penyelesaian bentuk sederhana gelombang dengan dimensi satu,
Metode Dekomposisi Adomian Adomian, 1998 mengandung dekomposisi dari fungsi
, yang tidak diketahui dari beberapa persamaan dalam bentuk jumlah dari bilangan tak hingga dari komponen terdefinisi dengan deret dekomposisi:
, = ∑
,
∞ =
di mana komponen , , � ≥ yang ditentukan dalam cara rekursif. Metode
dekomposisi mencari komponen , , , … secara terpisah. Diberikan suatu
bentuk persamaan diferensial linear: +
= , 2.13
di mana adalah operator turunan tingkat yang lebih rendah yang diasumsikan memiliki invers, sedangkan
adalah operator diferensial linear, dan adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
nilai awal. Aplikasikan operator invers
−
pada kedua ruas dan menggunakan kondisi yang diberikan untuk mendapatkan:
= −
−
, 2.14
di mana fungsi menunjukkan hasil dari pengintegrasian dan dari penggunaan kondisi yang diberikan yang diasumsikan untuk ditentukan. Selanjutnya akan
dijelaskan perhitungan dengan Metode Dekomposisi Adomian. Pada bentuk sederhana persamaan gelombang dalam dimensi satu yang
telah diuraikan, dengan pengaplikasian Metode Dekomposisi Adomian:
��
=
��
, , ,
2.15 di mana
= , adalah fungsi yang dicari saat posisi dan saat waktu , dan
adalah konstan. Persamaan 2.15 dapat ditulis menjadi:
�
, =
�
, . 2.16
Operator diferensial
�
dan
�
didefinisikan dengan:
�
= ,
�
= .
2.17 Asumsikan operator integral
� −
dan
� −
ada dan dapat dimaknai sebagai integral tak tentu dua-lipat yang didefinisikan sebagai
� −
. = ∫ ∫ .
� �
, 2.18
dan
� −
. = ∫ ∫ .
� �
. 2.19
Ini berarti bahwa
� −
�
, = , −
�
, −
, , 2.20
21
dan
� −
�
, = , −
�
, −
, . 2.21
Solusi dapat diperoleh dengan menggunakan operator invers
� −
atau operator invers
� −
. Bagaimanapun juga, penggunaan operator invers
� −
hanya membutuhkan
penggunaan kondisi
awal, sedangkan
operasi dengan
� −
menentukan kegunaan dari kondisi awal dan kondisi batas. Untuk alasan ini, diaplikasikan metode dekomposisi dalam arah . Setelah mengaplikasikan
� −
untuk kedua ruas dan menggunakan kondisi awal kita mendapatkan: , =
+ +
� −
�
, . 2.22
Metode Adomian mendekomposisi perubahan fungsi , :
, = ∑
,
∞ =
, 2.23
sehingga menjadi:
∑ ,
∞ =
= +
+
� −
�
∑ ,
∞ =
, 2.24
atau dengan menggunakan komponen: +
+ +
= +
+
� −
�
+ +
+ . 2.25
Metode tersebut menunjukkan bahwa komponen nol , diidentifikasi
dengan lambang yang tidak termasuk dalam
� −
pada 2.25. komponen yang lain ditentukan dengan menggunakan relasi rekursif dengan
+ +
+ =
+ +
� −
�
+ +
+ , 2.26
, = +
, 2.27