Persamaan Gelombang Elastik PENDAHULUAN
32
Perlu diketahui bahwa persamaan aliran air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara umum sehingga dengan menggunakan metode dekomposisi
Adomian dapat ditemukan solusi pendekatan dari persamaan air dangkal. Persamaan air dangkal yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan air
dangkal dimensi satu dimana hanya ada satu variabel ruang � yang terlibat
dalam persamaan ini. Bagian ini memuat perhitungan serta penyelesaian persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi Adomian.
Penulisan dalam bagian ini sebagai berikut. Pertama dijelaskan bagaimana Al-Khaled dan Allan 2004 memperluas pendekatan Adomian untuk
menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial, yang mana adalah persamaan air dangkal. Pekerjaan dari Al-Khalled dan Allan 2004 kemudian diaplikasikan
untuk menyelesaikan sebuah permasalahan aliran yang tidak tenang dan mendiskusikan hasil solusi dari persamaan air dangkal apakah memiliki perilaku
fisis yang sesuai atau tidak. Persamaan gelombang air dangkal dimensi-1 pada aliran fluida direpresentasikan sebagai berikut:
� �
ℎ +
� ��
ℎ + ℎ = −�′ , � ℝ,
. 3.1
Disini � � adalah topografi tanah, ℎ �, menunjukkan ketinggian kedalaman
air di atas topografi tanah, �, adalah kecepatan air, dan untuk
menyederhanakan persamaan maka diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu. Dua variabel bebas
� dan secara berturut- turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Kondisi awalnya adalah:
33
ℎ �, �, =
� � � � , � ℝ
. 3.2
Disini � dan � adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan gelombang
air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan: ℎ + ℎ
�
+ ℎ
�
= , ℎ �, = � � ,
3.3 + ℎ
�
+
�
= −�
′
� , �, = � � .
3.4 Kedua persamaan tersebut kemudian dituliskan kembali dalam bentuk operator,
lalu didapatkan: ℎ +
�
ℎ + ℎ
�
= , ℎ �, = � � ,
3.5 +
�
ℎ +
�
= −�′ � , �, = � � ,
3.6 dimana
=
� �
,
�
=
� ��
dan operator invers
−
= ∫ . . Dengan
mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka didapatkan,
−
ℎ +
− �
ℎ +
−
ℎ
�
=
−
, ℎ �, = � � ,
3.7
−
+
− �
ℎ +
− �
=
−
− �′ � , �, = � � , 3.8
atau ℎ �, = � � −
−
[∅ ℎ, + ∅ ℎ, ], 3.9
�, = � � −
−
�
′
� + [
�
ℎ + ∅ ] .
3.10 Disini
∅ ℎ, = ℎ
�
, ∅ ℎ,
= ℎ
�
dan ∅
=
�
. Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah solusi deret tak hingga untuk fungsi yang tidak
diketahui ℎ �, dan �, dalam bentuk:
ℎ �, = ∑ ℎ �,
∞ =
, �, = ∑
�,
∞ =
, 3.11
34
dan operator nonlinier ∅ , ∅ dan ∅ dengan deret tak hingga dari polinomial
Adomian dalam bentuk:
∅ ℎ, = ∑
∞ =
, ∅ ℎ, = ∑ , ∅
= ∑
∞ =
∞ =
, 3.12
ℎ , ℎ , … , ℎ , , , … , = � [∅ ∑�
�
ℎ
� ∞
�=
, ∑ �
� �
∞ �=
]
�=
, ≥ , 3.13
ℎ , ℎ , … , ℎ , , , … , = � [∅ ∑�
�
ℎ
� ∞
�=
, ∑ �
� �
∞ �=
]
�=
, ≥ , 3.14
, , … , = � [∅ ∑�
� �
∞ �=
]
�=
, ≥ . 3.15
Didapatkan: ∅ = ℎ
�
, ∅ = ℎ
�
dan ∅ =
�
, , 3.16
dan = ℎ
�
, 3.17
= ℎ
�
+ ℎ
�
, 3.18
= ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
, 3.19
= ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
, 3.20
= ℎ
�
, 3.21
= ℎ
�
+ ℎ
�
, 3.22
= ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
, 3.23
35
= ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
+ ℎ
�
, 3.24
=
�
, 3.25
=
�
+
�
, 3.26
=
�
+
�
+
�
, 3.27
=
�
+
�
+
�
+
�
, 3.28
Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian Al- Khaled dan Allan 2004 serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan
fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal adalah:
ℎ �, = � � , ℎ
+
�, = −
−
[ + ], ≥ ,
3.29 �, = � � ,
+
�, = −
−
�′ � + [
�
ℎ + ] , ≥ , 3.30
dimana solusi eksak dapat ditulis dengan: lim
→∞
∅ = ℎ �, , lim
→∞
� = �, . 3.31
Pendekatan suku ke- dari kedalaman air ℎ dan kecepatan
adalah
∅ [ℎ] = ∑ ℎ
�
�,
− �=
, � [ ] = ∑
�
�, ,
− �=
≥ . 3.32
Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman
dan kecepatan seperti dibawah ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI