Persamaan Gelombang Elastik PENDAHULUAN

32 Perlu diketahui bahwa persamaan aliran air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara umum sehingga dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian dapat ditemukan solusi pendekatan dari persamaan air dangkal. Persamaan air dangkal yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan air dangkal dimensi satu dimana hanya ada satu variabel ruang � yang terlibat dalam persamaan ini. Bagian ini memuat perhitungan serta penyelesaian persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi Adomian. Penulisan dalam bagian ini sebagai berikut. Pertama dijelaskan bagaimana Al-Khaled dan Allan 2004 memperluas pendekatan Adomian untuk menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial, yang mana adalah persamaan air dangkal. Pekerjaan dari Al-Khalled dan Allan 2004 kemudian diaplikasikan untuk menyelesaikan sebuah permasalahan aliran yang tidak tenang dan mendiskusikan hasil solusi dari persamaan air dangkal apakah memiliki perilaku fisis yang sesuai atau tidak. Persamaan gelombang air dangkal dimensi-1 pada aliran fluida direpresentasikan sebagai berikut: � � ℎ + � �� ℎ + ℎ = −�′ , � ℝ, . 3.1 Disini � � adalah topografi tanah, ℎ �, menunjukkan ketinggian kedalaman air di atas topografi tanah, �, adalah kecepatan air, dan untuk menyederhanakan persamaan maka diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu. Dua variabel bebas � dan secara berturut- turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Kondisi awalnya adalah: 33 ℎ �, �, = � � � � , � ℝ . 3.2 Disini � dan � adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan gelombang air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan: ℎ + ℎ � + ℎ � = , ℎ �, = � � , 3.3 + ℎ � + � = −� ′ � , �, = � � . 3.4 Kedua persamaan tersebut kemudian dituliskan kembali dalam bentuk operator, lalu didapatkan: ℎ + � ℎ + ℎ � = , ℎ �, = � � , 3.5 + � ℎ + � = −�′ � , �, = � � , 3.6 dimana = � � , � = � �� dan operator invers − = ∫ . . Dengan mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka didapatkan, − ℎ + − � ℎ + − ℎ � = − , ℎ �, = � � , 3.7 − + − � ℎ + − � = − − �′ � , �, = � � , 3.8 atau ℎ �, = � � − − [∅ ℎ, + ∅ ℎ, ], 3.9 �, = � � − − � ′ � + [ � ℎ + ∅ ] . 3.10 Disini ∅ ℎ, = ℎ � , ∅ ℎ, = ℎ � dan ∅ = � . Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah solusi deret tak hingga untuk fungsi yang tidak diketahui ℎ �, dan �, dalam bentuk: ℎ �, = ∑ ℎ �, ∞ = , �, = ∑ �, ∞ = , 3.11 34 dan operator nonlinier ∅ , ∅ dan ∅ dengan deret tak hingga dari polinomial Adomian dalam bentuk: ∅ ℎ, = ∑ ∞ = , ∅ ℎ, = ∑ , ∅ = ∑ ∞ = ∞ = , 3.12 ℎ , ℎ , … , ℎ , , , … , = � [∅ ∑� � ℎ � ∞ �= , ∑ � � � ∞ �= ] �= , ≥ , 3.13 ℎ , ℎ , … , ℎ , , , … , = � [∅ ∑� � ℎ � ∞ �= , ∑ � � � ∞ �= ] �= , ≥ , 3.14 , , … , = � [∅ ∑� � � ∞ �= ] �= , ≥ . 3.15 Didapatkan: ∅ = ℎ � , ∅ = ℎ � dan ∅ = � , , 3.16 dan = ℎ � , 3.17 = ℎ � + ℎ � , 3.18 = ℎ � + ℎ � + ℎ � , 3.19 = ℎ � + ℎ � + ℎ � + ℎ � , 3.20 = ℎ � , 3.21 = ℎ � + ℎ � , 3.22 = ℎ � + ℎ � + ℎ � , 3.23 35 = ℎ � + ℎ � + ℎ � + ℎ � , 3.24 = � , 3.25 = � + � , 3.26 = � + � + � , 3.27 = � + � + � + � , 3.28 Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian Al- Khaled dan Allan 2004 serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal adalah: ℎ �, = � � , ℎ + �, = − − [ + ], ≥ , 3.29 �, = � � , + �, = − − �′ � + [ � ℎ + ] , ≥ , 3.30 dimana solusi eksak dapat ditulis dengan: lim →∞ ∅ = ℎ �, , lim →∞ � = �, . 3.31 Pendekatan suku ke- dari kedalaman air ℎ dan kecepatan adalah ∅ [ℎ] = ∑ ℎ � �, − �= , � [ ] = ∑ � �, , − �= ≥ . 3.32 Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman dan kecepatan seperti dibawah ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI