53
Dengan menggunakan software MAPLE, didapatkan hasil dari iterasi sampai
untuk solusi tekanan untuk permasalahan yang ada dalam penelitian ini, dituliskan seperti berikut:
= , 3.133
= sech � tanh � ,
3.134 = ,
3.135 =
sech � tanh �
− sech �
tanh �
− tanh �
, 3.136
= , 3.137
= sech � ,
3.138 = ,
3.139 =
sech � tanh �
− sech �
− tanh �
, 3.140
= , 3.141
54
= sech �
tanh �
− sech �
tanh �
− tanh �
+ sech �
− tanh �
, 3.142
Lebih jauh lagi, didapatkan hasil dari iterasi untuk solusi dari kecepatan pada permasalahan dalam penelitian ini, dituliskan sebagai berikut ini:
� = cosh � +
cosh � − sinh �
cosh � ,3.143
= cosh �
cosh � + cosh �
− cosh � +
cosh �
− cosh � +
. 3.144
Dilanjutkan dengan perhitungan [ ] =
+ +
+ + dan
�[ ] = +
+ +
+ dengan menggunakan hasil di atas sehingga, didapatkan pendekatan dari kecepatan dan tekanan sampai pada suku keempat
adalah: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 3.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
dan
Gambar 3.2.
Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode dekomposisi Adomian.
Secara berturut-turut. Selain itu, digunakan pula program MATLAB untuk melihat grafik dalam 2 dimensi.
56
Gambar 3.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
Gambar 3.4. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode
dekomposisi Adomian.
Hasil dari tekanan dan kecepatan
� diplot dalam Gambar 3.1 dan Gambar 3.3 serta Gambar 3.2 dan Gambar 3.4, berturut-turut. Dari gambar-
gambar tersebut, bersamaan dengan pertambahan waktu, tekanan dari titik awal merambat kearah kiri dan ke kanan. Kecepatannya sesuai dengan perambatan
57
gelombang tekanan karena kecepatannya negatif ketika gelombang tekanannya merambat ke kiri dan positif ketika ke kanan. Hal ini sesuai dengan perilaku yang
sudah diduga sebelumnya. Pada Gambar 3.2, kecepatannya cenderung menuju nol untuk nilai
� dan yang besar. Persamaan akustik telah diselesaikan dengan metode dekomposisi
Adomian. Solusi dari dekomposisi Adomian mendekati solusi eksak untuk sebarang titik ruang dan waktu Wazwaz, 2009. Metode dekomposisi Adomian
dapat ddiimplementasikan pada software komputer dengan komputasi yang tidak mahal. Metode ini dapat menyelesaikan persoalan-persoalan multi-dimensi dari
persamaan akustik.
D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi
Difusi adalah perpindahan molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke konsentrasi rendah. Peristiwa difusi akan berlangsung sampai partikel menyebar
secara merata. Peristiwa difusi terjadi dalam kehidupan sehari-hari, misalnya penyebaran parfum yang disemprotkan, pelarutan gula, penyebaran limbah cairan
dalam sungai. Penelitian pada persamaan gelombang difusi disini merupakan penelitian tentang gelombang difusi itu sendiri atau bisa disebut dengan
gelombang penyebaran, sehingga yang diteliti merupakan gelombang yang menyebabkan penyebaran pada fluida, misalnya gelombang penyebaran
konsentrasi larutan. Persamaan gelombang difusi diberikan oleh: + � = � + �,
3.146 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
dimana �, merupakan konsentrasi larutan, sedangkan � dan berturut-turut
adalah variabel ruang posisi dan waktu. Dengan kondisi nilai awal: �,
= = .
3.146 Persamaan 3.145 dapat ditulis kembali menjadi
+
�
=
��
+ �. 3.147
Metode dekomposisi Adomian menggunakan operator diferensial dan
�
dalam proses perhitungan. Persamaan 3.147 dapat ditulis menjadi:
+
�
=
��
+ �, 3.148
dimana operator diferensial dan
�
serta
��
didefinisikan sebagai = ,
�
= � ,
��
= � , 3.149
menggunakan operator integral
−
. = ∫ . .
3.150 Dengan mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka persamaan
3.148 menjadi:
−
+
− �
=
− ��
+
−
�. 3.151
Persamaan 3.151 akan menghasilkan persamaan 3.152 seperti di bawah ini. �, = �,
−
− �
+
− ��
+
−
�. 3.152
Asumsikan bahwa ∅
=
��
untuk menyederhanakan perhitungan: �, = �,
+
−
� +
−
∅ −
�
. 3.153
Metode dekomposisi menggunakan jumlahan dari komponen-komponennya, didefinisikan dengan:
59
�, = ∑ �,
∞ =
, 3.154
∅ = ∑
∞ =
. 3.155
Dengan mengaplikasikan 3.154 dan 3.155 kepada persamaan 3.153 maka akan terbentuk persamaan:
∑ �,
∞ =
= �, +
−
� +
−
∑
∞ =
−
�
∑ �,
∞ =
, 3.156
dimana adalah
� , � , � , … , � = � [∅∑� �
∞ �=
]
�=
, ≥ . 3.157
Polinomial Adomian untuk kasus ini diberikan oleh:
=
��
, 3.158
=
��
+
��
, 3.159
=
��
+
��
+
��
, 3.160
=
��
+
−
��
+ +
��
. 3.161
Hasil dari setiap komponen dari dekomposisi adalah +
+ +
= �, +
−
� +
−
+ +
+ −
�
+ +
+ ,
3.162
= �, +
−
�, 3.163
60
=
−
−
�
, 3.164
=
−
−
�
, 3.165
=
−
−
�
, 3.166
+
=
−
−
�
, ≥ . 3.167
Solusi eksak diberikan oleh: lim
→∞
= �, . 3.168
Suku ke − dari pendekatan dari konsentrasi adalah
[ ] = ∑
�
�,
− �=
, 3.169
dengan menggunakan program MAPLE maka didapatkan suku-suku dari debit �, sebagai berikut.
= � + , 3.170
= − ,
3.171 = ,
3.172 = ,
3.173 = .
3.174 Setelah dilakukan penelitian dan perhitungan dengan menggunakan bantuan
MAPLE, maka didapatkan solusi eksak dari konsentrasi yaitu: = + � −
. 3.175
61
Solusi tersebut digambar grafiknya untuk melihat perilaku fisis dari konsentrasi pada persamaan gelombang difusi. Berikut merupakan grafik dari konsentrasi ,
seperti tampak pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
Selain menggunakan MAPLE untuk menggambar grafik konsentrasi, digunakan pula program MATLAB untuk mengetahui perilaku dari konsentrasi , seperti
tampak pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.
Gambar 4.2. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan
metode dekomposisi Adomian.
