� = ℎ , , maka
= ,
= � �
+ � �
, atau
=
�
. +
�
ℎ , atau
=
�
+
�
ℎ , dan
= ,
= � �
+ � �
, atau
=
�
. +
�
� , atau
=
�
� , atau
=
�
ℎ .
Contoh 2.5.1
Tentukan penyelesaian dari persamaan +
= dengan ,
= cos . Penyelesaian:
Karakteristik dari persamaan tersebut diberikan oleh =
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∫ = ∫ ,
+ = ln , = ,
= atau c =
−
. Kemudian, ditransformasi menjadi
� = atau = �, � =
−
atau = � .
Persamaan diferensial parsial tersebut menjadi
�
= �, sehingga,
� = �, ∫
= ∫ � �,
= �
+ � = +
−
, dan
u , = cos = +
−
. Misal
= maka = didapat = cos
− . Jadi, penyelesaiannya
= +
−
− .
F. Metode Volume Hingga
Pada subbab ini akan dijelaskan skema upwind dan skema volume hingga secara numeris untuk model persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu.
1. Skema Upwind
Dipandang persamaan diferensial hiperbolik order satu yaitu +
= dengan
∈ ℝ
+
arah rambatannya ke kanan. Skema upwind untuk persamaan diatas adalah
�
� +
= �
�
− ∆
∆
+ ⁄
−
− ⁄
. Fluks upwind untuk
− ⁄
dan
+ ⁄
didefinisikan sebagai
+ ⁄
≈ ,
,
+ ⁄
≈ ,
,
+ ⁄
≈ � , dan
− ⁄
≈
−
, ,
− ⁄
≈
−
, ,
− ⁄
≈ �
−
.
2. Skema Volume Hingga
Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan hiperbolik
+ =
Diambil nilai � sebagai pendekatan nilai rata-rata interval ke- pada waktu ke
sebagai berikut � = ∆ ∫
,
+ ⁄ − ⁄
dengan ∆ =
+
−
−
, yang fluks volume hingganya pada =
+
diberikan oleh
+
= ∆ ∫ ,
�+ �
maka �
+
− � ∆
+
+
−
−
∆ = ,
atau �
+
− � ∆
= −
+
−
−
∆ ,
atau
�
+
− � = −∆
+
−
−
∆ ,
atau �
+
= � − ∆
∆
+
−
−
.
G. Metode Garis
Metode garis merupakan teknik secara umum untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial dengan menggunakan beda hingga yang berhubungan
dengan turunan pada ruang dan persamaan diferensial biasa pada turunan waktu.
Definisi 2.6.1
Persamaan diferensial parsial order satu dikatakan hiperbolik jika matriks Jacobian dari fungsi fluks dapat didiagonalkan dan semua nilai eigennya bernilai real.
Definisi 2.6.2
Dipandang persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu dalam domain ruang � dan domain waktu
+ =
2.6.1 Persamaan di atas disebut persamaan adveksi linear dengan adalah konstanta yang
menyatakan kecepatan arus. Aproksimasi metode garis pada persamaan 2.6.1 yaitu:
= − −
−
∆ dengan
∆ =
�
. Catatan: Persamaan dapat ditulis sebagai persamaan diferensial biasa jika
persamaan hanya bergantung pada satu variabel bebas .
H. Matriks Jacobian
Diketahui ̅ =
̅ yang terdiri dari buah persamaan dengan ̅ = , , , … ,
yaitu
̅ = [
̅ ̅
.. .
̅ ] ,
2.7.1
atau dapat ditulis sebagai PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
