Gambar 3.2 Jarak kendaraan yang bergerak dengan kecepatan konstan dalam
waktu � jam.
Misalkan � adalah banyaknya kendaraan per mil dan � adalah jarak
pergerakan kendaraan, maka � � adalah banyaknya kendaraan yang melewati
pengamat setelah waktu � jam. Jumlah kendaraan per jam disebut arus lalu lintas.
Secara matematis arus lalu lintas didefinisikan oleh = �
. 3.1.1
Persamaan tersebut telah diturunkan dari masalah yang telah disederhanakan. Hal ini digunakan untuk menunjukkan hukum dasar dari masalah
lalu lintas bahwa arus lalu lintas sama dengan kepadatan lalu lintas dikalikan dengan kecepatan kendaraan. Jika variabel pada lalu lintas bergantung pada dan
seperti , , � , ,
, maka dapat ditunjukkan bahwa , = � ,
, . 3.1.2
Persamaan 3.1.2 dapat ditunjukkan dengan memisalkan jumlah kendaraan yang melewati
= dengan perbedaan waktu ∆ yang sangat kecil seperti waktu antara dan
+ ∆ . Jika ∆ sangat kecil, maka kendaraan bergerak lambat. � dan adalah fungsi kontinu yang bergantung pada dan , sehingga
� , dan ,
dapat didekati sebagai fungsi konstan dengan nilai = dan = . Perbedaan
� Pengamat
waktu ∆ yang sangat kecil dan kendaraan melewati ruas jalan yang sempit maka
arus lalu lintas dapat diaproksimasi dengan , ∆ yang melalui pengamat,
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.3. Oleh karena itu, banyaknya kendaraan yang melewati ruas jalan dapat diaproksimasi dengan
, ∆ � , sehingga arus lalu lintas diberikan oleh persamaan 3.1.2. Fungsi konstan
dan � tidak
membutuhkan modifikasi seperti fungsi , dan � , . Akibatnya, ada tiga
variabel dasar dalam masalah lalu lintas yaitu kepadatan lalu lintas � , ,
kecepatan kendaraan , , dan arus lalu lintas
, yang sesuai pada persamaan 3.1.2.
Gambar 3.3 Aproksimasi perbedaan pergerakan kendaraan dalam waktu
∆ .
B. Model Deterministik Arus Lalu Lintas
Misalkan kondisi awal untuk kepadatan arus lalu lintas � , dan
kecepatan kendaraan , diketahui pada panjang jalannya yang tak terhingga.
Pergerakan setiap kendaraan didefinisikan dengan persamaan diferensial biasa order satu, yaitu:
= ,
3.2.1 dengan
= .
∆
Persamaan 3.2.1 menyatakan persamaan yang bergantung pada posisi setiap kendaraan pada waktu tertentu. Penyelesaian dari persamaan tersebut berupa
fungsi kepadatan lalu lintas � , . Akibatnya, kecepatan kendaraan
mempengaruhi kepadatan lalu lintas. Diketahui interval panjang ruas jalan dari
= sampai = seperti pada Gambar 3.4.
Gambar 3.4 Kendaraan yang masuk dan keluar dari ruas jalan.
Jadi, jumlah kendaraan pada interval
= sampai = adalah = ∫ � , .
3.2.2
Jika tidak ada ruas jalan lain yang digunakan untuk masuk dan keluarnya kendaraan, maka jumlah kendaraan dari
= sampai = akan berubah yang perubahannya hanya dipengaruhi oleh posisi di
= dan = . Jumlah kendaraan akan berkurang jika kendaraan-kendaraan keluar dari daerah melalui
= , tetapi jumlah kendaraan akan bertambah jika kendaraan-kendaraan masuk ke dalam
daerah melalui = . Perubahan jumlah kendaraan
�
yaitu jumalhkendaraan dalam waktu tertentu yang masuk ke daerah melalui
= dikurangi dengan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
jumlah kendaraan dalam waktu tertentu yang keluar dari daerah melalui =
dirumuskan dengan
= ∫ � , ,
= , −
, , 3.2.3
dengan , adalah perubahan jumlah kendaraan tiap satuan waktu. Penyelesaian
persamaan 3.2.3 tersebut sulit untuk dicari dengan cara langsung sehingga diselesaikan sebagai berikut
+ ∆ − ∆
≈ , −
, , + ∆ −
≈ , ∆ −
, ∆ , 3.2.4
dengan + ∆ −
adalah perubahan jumlah kendaraan antara waktu dan + ∆ .
Jika , adalah perubahan jumlah kendaraan yang melewati ruas jalan
pada waktu tertentu, maka ∫
, adalah jumlah kendaraan yang melewati
ruas jalan pada waktu tertentu antara = dan = . Pada penurunan pendekatan
nya, + ∆ = dan = yang integralnya mendekati
, ∆ , sehingga −
= ∫ ,
− ∫ ,
= ∫ , −
, . 3.2.5
Persamaan 3.2.5 dibagi dengan − dan diambil limit mendekati didapat
− = ∫
, − , ,
− −
= ∫
, − ,
− ,
lim
→
− −
= lim
→
∫ , −
, −
,
= ∫
, − , .
3.2.6
Menurut Teorema Fundamental Kalkulus, persaman 3.2.6 menghasilkan =
, − , .
3.2.7
Di sini dapat berada di sembarang waktu sehingga notasi dapat digantikan dengan notasi jadi diperoleh
= , −
, . 3.2.8
Dengan mengkombinasikan antara persamaan 3.2.1 dan 3.2.8 diperoleh ∫ � ,
= , −
, . 3.2.9
Persamaan di atas menunjukkan bahwa tidak ada kendaraan yang masuk atau keluar tanpa melalui batas dan perubahan banyaknya kendaraan hanya terjadi pada batas
lalu lintas. Hal ini bukan berarti bahwa banyaknya kendaraan antara = dan =
konstan. Jadi, persamaan 3.2.9 disebut hukum konservasi berbentuk integral yang menunjukkan panjang lalu lintasnya berhingga di antara
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
