� , → �
ax
� [ −
−
ax
� − � ]
ax
� .
2 �
Dengan menggunakan persamaan 3.10.6 sebagai cara alternatif untuk menentukan
merupakan fungsi terhadap � yaitu
− � = � � �
ax
⁄ atau
= � ± �√� �
ax
⁄ . Tanda kurang harus
digunakan karena � sehingga
= � − �√� �
ax
⁄ = �
− √� �
ax
⁄ .
3.10.10 Perlu dicatat bahwa besar
� bervariasi antara dan �
ax
sedangkan besar
bervariasi antara dan
�. Persamaan 3.10.10 disubstitusikan ke persamaan 3.10.1 sehingga didapat
=
ax
− � �
ax
⁄ + �
− √� �
ax
⁄ .
Dapat dibentuk sebagai persamaan kudratik untuk √� �
ax
⁄ yaitu
√� �
ax
⁄
ax
+ � √� �
ax
⁄ + − � −
ax
= , didapat
√� �
ax
⁄ =
−� + √� −
ax
− � −
ax ax
, dengan memilih tanda positif pada rumus ABC tersebut karena
√� �
ax
⁄ yang kemudian persamaan diperoleh
� , = �
ax ax
[� − √� −
ax
− � −
ax
+ √� −
ax
− � −
ax
].
K. Solusi Analitis
Dipandang persamaan masalah arus lalu lintas �
+ �
= 3.11.1
dengan � , adalah kepadatan lalu lintas dan � adalah kecepatan kendaraan.
Kepadatan lalu lintas bergantung pada panjang ruas jalan dan waktu
, sedangkan kecepatan kendaraan bergantung pada kepadatan lalu lintas
� . Dalam kasus ini, kecepatan kendaraan diberikan oleh fungsi
� =
ax
− �
�
ax
3.11.2
dengan
ax
adalah kecepatan maksimum dan �
ax
adalah kepadatan maksimum. Jika kecepatan kendaraan mendekati nol maka kepadatan lalu lintas akan mencapai
maksimum. Sebaliknya, jika kepadatan lalu lintas mendekati nol maka kecepatan kendaraan akan mencapai maksimum.
Misalkan persamaan 3.11.1 diubah menjadi �
+ =
3.11.3 dengan
= � � . Karena
= � � , turunan pertama dari adalah
� =
ax
− �
�
ax
. 3.11.4
Persamaan 3.11.3 dapat ditulis sebagai �
+ � �
= , �
+ � �
= , 3.11.5
dan �
= �
+ �
, �
= �
+ �
. 3.11.6
Dari persamaan 3.11.5 dan 3.11.6 didapat �
= 3.11.7
maka diperoleh = �.
3.11.8
Akan dicari nilai dari
�
ketika � = dan � = �
ax
�|
�=
=
ax
− �
ax
=
ax
, 3.11.9
�|
�=�
ax
=
ax
− �
ax
�
ax
= −
ax
. 3.11.10
Dari persamaan 3.11.8 dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan 3.11.9 dan 3.11.10 yaitu
=
ax
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
=
ax
,
∫ = ∫
ax
,
=
ax
,
=
ax
, 3.11.11
and = −
ax
,
= −
ax
,
∫ = − ∫
ax
,
= −
ax
,
= −
ax
. 3.11.12
Dari penjabaran persamaan 3.11.11 dan 3.11.12 diperoleh = � = ,
� = ,
ax
− �
�
ax
= , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ax
�
ax
− � �
ax
= ,
�
ax
− � = �
ax ax
,
�
ax ax
− �
ax
= �
ax
, − �
ax
= �
ax
− �
ax ax
,
� = �
ax
− �
ax ax
−
ax
,
� = �
ax
−
ax
. 3.11.13
Jadi, penyelesaian analitis dari persamaan 3.11.1 adalah
� , = {
ax
jika
′ ax
,
�
ax
−
ax
jika
′ ax
′
, jika
′
. 3.11.14
89
BAB IV SIMULASI NUMERIS ARUS LALU LINTAS
Dalam bab ini akan disimulasikan secara analitis dan numeris model deterministik arus lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax-
Friedrichs dan sistem relaksasi Jin-Xin.
A. Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs
Dalam subbab ini, akan diselesaikan masalah lalu lintas dengan menggunakan metode volume hingga Lax
–Friedrichs. Model lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial hukum kekalan yang bersifat hiperbolik, yaitu
� +
� = .
4.1.1 Misalkan domain waktu didiskretkan menjadi
= . ∆ , = , , , , … . Kemudian, domain ruang didiskretkan sebanyak berhingga sel menjadi
{… , [
− ⁄
,
− ⁄
], [
− ⁄
,
+ ⁄
], [
+ ⁄
,
+ ⁄
], … } seperti ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Gambar 4.1 Diskretisasi domain ruang.
dengan ∆ =
+
−
−
atau ∆ = −
−
.
+
⁄
+ +
⁄
+ −
− −
⁄
−
⁄
Skema volume hingga dari persamaan 4.1.1 adalah �
+
= � − ∆
∆
+
−
−
4.1.2
dengan � ≈ � ,
adalah pendekatan dari fungsi kepadatan lalu lintas dan
+
≈ �
+
, adalah fluks Lax–Friedrich yang digunakan dalam perhitungan volume hingga. Selanjutnya, akan dicari fluks dari persamaan 4.1.2
yaitu
+
= �
+
+ � − ∆
∆ �
+
− �
= �
+ ax
− �
+
�
ax
+ �
ax
− �
�
ax
− ∆
∆ �
+
− � , 4.1.3
dan
−
= � + �
−
− ∆
∆ � − �
−
= �
ax
− �
�
ax
+ �
− ax
− �
−
�
ax
− ∆
∆ � − �
−
. 4.1.4
Jadi, metode volume hingga untuk persamaan masalah arus lalu lintas didapat dengan cara menyubstitusikan persamaan 4.1.3 dan 4.1.4 ke dalam persamaan
4.1.2: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
