Model Deterministik Arus Lalu Lintas

1 Perhatikan integral konservasi dari kendaraan dalam interval yang kecil pada jalan layang dari = sampai = + ∆ . Persamaan 3.2.10 menjadi ∫ � , +∆ = , − + ∆ , −∆ ∫ � , +∆ = −∆ , − + ∆ , lim ∆ → −∆ ∫ � , +∆ = lim ∆ → −∆ , − + ∆ , lim ∆ → −∆ ∫ � , +∆ = lim ∆ → , − + ∆ , −∆ 3.2.11 Pada persamaan 3.2.10, ruas kanan adalah definisi turunan dari , terhadap yaitu � � , . Sedangkan, ruas kiri adalah limitnya yang ditunjukkan dengan dua cara, yaitu: a. Integral adalah luas daerah di bawah kurva � , antara = dan = + ∆ . Dengan ∆ yang cukup kecil, maka jumlah kendaraan antara = dan = + ∆ adalah −∆ ∫ � , +∆ ≈ − � , 3.2.12 Oleh karena itu, persamaan 3.2.11 dapat diturunkan menjadi � , + , = . 3.2.13 b. Fungsi ̅, , jumlah kendaraan di jalan raya di antara sembarang posisi tetap dan variabel posisi yaitu: ̅, ≡ ∫ � , ̅ . 3.2.14 Kelajuan rata-rata kendaraan antara dan + ∆ setiap mil adalah −∆ ∫ � , +∆ = + ∆ , − −∆ , lim ∆ → −∆ ∫ � , +∆ = lim ∆ → + ∆ , − −∆ . Dengan menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus didapat , = � , . 3.2.15 Persamaan 3.2.10 dapat diselesaikan juga dengan menggunakan metode a atau b. Karena persamaan 3.2.10 mengandung semua nilai , maka dapat digantikan dengan yaitu � , + [ , ] = , 3.2.16 atau � + = . 3.2.17 Persamaan ini disebut persamaan diferensial parsial yang menunjukkan hubungan antara kepadatan lalu lintas dan arus lalu lintas yang diasumsikan bahwa jumlah kendaraan tetap pada waktu tertentu yang disebut hukum konservasi. 2 Penurunan persamaan yang berbentuk hukum konservasi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Perhatikan hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan 3.2.10 untuk berhingga ruas garis pada jalan layang antara . Diambil turunan parsial terhadap , yaitu = + ∆ yang dibagi dengan ∆ dan diambil limit ∆ → , didapat � , = − , . 3.2.18 Karena merepresentasikan sembarang posisi di jalan raya sehingga dapat digantikan dengan . Jadi, persamaan tersebut memenuhi persamaan hukum konservasi seperti pada persamaan 3.2.16. 3 Penurunan hukum konservasi pada ruas jalan yang panjangnya berhingga antara yang hubungannya dengan ruas kanan pada persamaan 3.2.16 . , − , = − ∫ [ , ] . 3.2.19 Dari persamaan 3.2.16 didapat ∫ [ � , + , ] = . 3.2.20 Persamaan di atas dapat diturunkan terhadap seperti pada persamaan 3.2.16, yang akan didapat seperti pada kasus 1 dan 2. Persamaan 3.2.20 adalah definisi dari beberapa kuantitas integral yang hasilnya selalu nol untuk setiap nilai yang bebas yang diambil limitnya. Fungsi yang diintegralkan yang hasilnya nol untuk sembarang interval adalah fungsi nol. Oleh karana itu, didapat persamaan 3.2.10. Dari ketiga metode tersebut terbukti bahwa PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � + = . 3.2.21 Persamaan 3.2.21 sesuai jika tidak ada jalan yang masuk ataupun keluar yang menginterpretasikan hukum konservasi dalam berbagai situasi dengan tidak adanya lalu lintas. Secara umum, jika � adalah kepadatan dari kuantitas lokal dan adalah arus dari kuantitas batas persimpangan maka persamaannya seperti pada persamaan 3.2.21. Namun masalah arus lalu lintas didefinisikan sebagai = � . Oleh karena itu, hukum konservasi dapat ditulis sebagai � + � = . 3.2.22 Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial untuk masalah lalu lintas yang berhubungan dengan kepadatan lalu lintas dan kecepatan kendaraan.

C. Linearisasi Model Lalu Lintas

Dipandang model deterministik arus lalu lintas berbentuk persamaan diferensial parsial � + � = , 3.3.1 atau � + = . 3.3.2 Persamaan 3.3.2 dapat diturunkan menjadi � + � � = . Karena merupakan fungsi yang hanya bergantung pada � maka � + � � = , 3.3.3 dengan � adalah fungsi kontinu non linear. Diketahui nilai awal kepadatan lalu lintas � , = . Persamaan diferensial parsial untuk arus lalu lintas tersebut tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan integral seperti contoh di bawah ini apabila diketahui nilai awal � = � yang dapat diselesaikan mirip dengan cara menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Contoh 1 Akan diselesaikan � = . Persamaan diferensial tersebut dapat langsung diintegralkan, yaitu ∫ � = ∫ , � = c, dengan ∈ ℝ. Diketahui � = � maka penyelesaian pada Contoh 1 adalah � = � . Contoh 2 Akan diselesaikan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � = −� + . Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan variabel terpisah � + � = . Faktor integralnya = ∫ = . Persamaan tersebut dikali dengan menjadi � + � = , � = , ∫ � = ∫ , � = + , � = + − . Diketahui � = � maka + = � , + = � , = � − . Penyelesaian pada Contoh 2 adalah � = + � − − . Contoh 3 Akan dicari penyelesaian persamaan diferensial PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � = − �. Karena � adalah fungsi yang bergantung pada dan maka persamaan diferensial parsial tersebut dapat diselesaikan dengan metode variabel terpisah yaitu � � = − , ∫ � � = ∫ − , ln|�| = − + , |�| = − + , |�| = − . Dimisalkan = maka |�| = − , � = − . Untuk nilai konstan yang lain mungkin bervariasi, oleh karena itu penyelesaian persamaan diferensial parsial tersebut adalah � , = − . Diketahui kondisi awal � , = berarti = , = . Jadi, didapat penyelesaiannya yaitu � , = − . Misalkan diketahui nilai awal dari kepadatan lalu lintas konstan yang tidak bergantung pada variabel yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � , = � . Dengan kata lain, kepadatan lalu lintas tetap konstan karena semua kendaraan bergerak dengan kecepatan yang sama. Akibatnya, nilai akhir kepadatan lalu lintas akan tetap konstan seperti nilai awalnya � , = � . Kepadatan lalu lintas yang konstan tersebut merupakan kepadatan di titik ekuilibrium. Jika kepadatan lalu lintas relatif konstan, persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan dengan perturbasi atau usikan, misalkan � , = � + �� , , 3.3.4 dengan � adalah konstan yang cukup kecil dan |�� | ≪ � yang disebut perturbasi kepadatan lalu lintas. Asumsikan nilai awal kepadatan lalu lintas adalah fungsi terhadap diketahui dan mendekati konstan � , sehingga � , = � + � . 3.3.5 Persamaan 3.3.5 juga merupakan perturbasi kepadatan lalu lintas yang nilai awalnya diketahui yaitu � , = sehingga persamaan 3.3.4 dapat disubstitusikan ke dalam persamaan 3.3.3 menjadi � + �� + � � + �� � + �� = , � � + � � + �� � � = , � + � � + �� � = . 3.3.6 Dengan ekspansi deret Taylor diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � � + �� = � � + �� � � + �� � � + �� � � + . Order tingkat tinggi dalam ekspansi deret Taylor diabaikan. Oleh karena itu, didapat � � + �� = � � . Dari ekspansi deret Taylor maka persamaan 3.3.6 menjadi � + � � � = , 3.3.7 atau � + � = 3.3.8 dengan = � ⁄ � . Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan 3.3.8 yang terkait dengan linearisasi masalah lalu lintas. Kondisi awal kepadatan lalu lintas adalah usikan awal kepadatan lalu lintas yang diketahui � , = . Didefinisikan koordinat ruang lain yaitu ′ yang bergerak dengan kecepatan konstan . Diasumsikan dua sistem koordinat dan ′ yang asalnya sama di = lihat Gambar 3.5 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI