Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas

− = ∫ , − , , − − = ∫ , − , − , lim → − − = lim → ∫ , − , − , = ∫ , − , . 3.2.6 Menurut Teorema Fundamental Kalkulus, persaman 3.2.6 menghasilkan = , − , . 3.2.7 Di sini dapat berada di sembarang waktu sehingga notasi dapat digantikan dengan notasi jadi diperoleh = , − , . 3.2.8 Dengan mengkombinasikan antara persamaan 3.2.1 dan 3.2.8 diperoleh ∫ � , = , − , . 3.2.9 Persamaan di atas menunjukkan bahwa tidak ada kendaraan yang masuk atau keluar tanpa melalui batas dan perubahan banyaknya kendaraan hanya terjadi pada batas lalu lintas. Hal ini bukan berarti bahwa banyaknya kendaraan antara = dan = konstan. Jadi, persamaan 3.2.9 disebut hukum konservasi berbentuk integral yang menunjukkan panjang lalu lintasnya berhingga di antara . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Contoh: Misalkan menuju ±∞ sehingga aliran kendaraan menuju nol pada jalan layang yang takhingga panjangnya yaitu lim →±∞ , = Dengan menggunakan persamaan 3.2.9 didapat ∫ � , ∞ −∞ = , atau ∫ � , ∞ −∞ = , dengan adalah konstan. Persamaan tersebut menunjukkan bahwa jumlah kendaraan akan tetap konstan pada sepanjang waktu, tetapi hanya bisa diselesaikan jika kondisi awal jumlah kendaraan adalah atau kondisi awal kepadatan lalu lintas � , diketahui, sehingga: ∫ � , ∞ −∞ = = ∫ � , ∞ −∞ . Hukum konservasi berbentuk integral pada persamaan 3.2.9 disebut hukum konservasi lokal pada posisi setiap jalan. Permasalahan yang diselesaikan dengan tiga cara itu, titik akhir pada ruas jalan adalah = dan = yang merupakan kondisi variabel terikat tambahan. Dari keterangan di atas, persamaan 3.2.9 harus diganti dengan turunan parsial yaitu ∫ � , = , − , . 3.2.10 Diasumsikan = dan = adalah posisi yang tetap pada setiap waktu lihat persamaan 3.2.9. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 1 Perhatikan integral konservasi dari kendaraan dalam interval yang kecil pada jalan layang dari = sampai = + ∆ . Persamaan 3.2.10 menjadi ∫ � , +∆ = , − + ∆ , −∆ ∫ � , +∆ = −∆ , − + ∆ , lim ∆ → −∆ ∫ � , +∆ = lim ∆ → −∆ , − + ∆ , lim ∆ → −∆ ∫ � , +∆ = lim ∆ → , − + ∆ , −∆ 3.2.11 Pada persamaan 3.2.10, ruas kanan adalah definisi turunan dari , terhadap yaitu � � , . Sedangkan, ruas kiri adalah limitnya yang ditunjukkan dengan dua cara, yaitu: a. Integral adalah luas daerah di bawah kurva � , antara = dan = + ∆ . Dengan ∆ yang cukup kecil, maka jumlah kendaraan antara = dan = + ∆ adalah −∆ ∫ � , +∆ ≈ − � , 3.2.12 Oleh karena itu, persamaan 3.2.11 dapat diturunkan menjadi � , + , = . 3.2.13