Definisi 2.6.2
Dipandang persamaan diferensial parsial hiperbolik order satu dalam domain ruang � dan domain waktu
+ =
2.6.1 Persamaan di atas disebut persamaan adveksi linear dengan adalah konstanta yang
menyatakan kecepatan arus. Aproksimasi metode garis pada persamaan 2.6.1 yaitu:
= − −
−
∆ dengan
∆ =
�
. Catatan: Persamaan dapat ditulis sebagai persamaan diferensial biasa jika
persamaan hanya bergantung pada satu variabel bebas .
H. Matriks Jacobian
Diketahui ̅ =
̅ yang terdiri dari buah persamaan dengan ̅ = , , , … ,
yaitu
̅ = [
̅ ̅
.. .
̅ ] ,
2.7.1
atau dapat ditulis sebagai PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
{ =
, , … , ,
= , , … ,
, .
. .
= , , … ,
. 2.7.2
Matriks Jacobian didefinisikan sebagai
� , , … ,
= [
⋱ ]
. 2.7.3
Determinan Jacobian didefiniskan sebagai |�| = |
, , … , , , … ,
|. 2.7.4
I. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.8.1 Leon, 2001
Misalkan
� adalah suatu matriks × . Skalar disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik characteristic value dari
� jika dan hanya jika terdapat
suatu vektor tak nol x, sehingga �x = x. Vektor x disebut vektor eigen atau
vektor karakteristik yang berkorespondensi dengan . Contoh 2.8.1
Tentukan nilai eigen jika diketahui � =
−
dan x
= .
Penyelesaian: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Karena
�x=
− =
= = x.
Dari persamaan ini terlihat bahwa
= adalah nilai eigen dari � dan x merupakan vektor eigen dari . Sesungguhnya, sembarang kelipatan taknol dari vektor eigen x
akan menjadi vektor eigen, karena � � = � � = �� = α � =
� Jadi, sebagai contoh
,
�
juga vektor eigen milik = . Hal ini dapat di lihat dari
− =
= .
Contoh 2.8.2
Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks � =
− Penyelesaian:
Persamaan karakteristiknya adalah | −
− − | = , atau
− − = .
Jadi, nilai-nilai eigen dari � adalah = dan
= − . Untuk mencari vektor eigen yang dimiliki oleh
= , kita harus menentukan ruang nol dari � − �. � − � = −
− Dengan menyelesaikan
� − � � = �, kita mendapatkan
� = ,
�
= ,
�
Jadi semua kelipatan tak nol ,
�
adalah vektor eigen milik dan
{ ,
�
} adalah suatu vektor eigen untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan
. Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen bagi
, kita harus menyelesaikan Pada kasus ini,
{ − ,
�
} adalah basis untuk � + � dan sembarang kelipatan
taknol dari { − ,
�
} adalah vektor eigen milik . Di sini, melambangkan ruang nol.
28
BAB III PENYELESAIAN MODEL ARUS LALU LINTAS
A. Hubungan Kecepatan, Kepadatan, dan Arus Lalu Lintas
Dalam masalah arus lalu lintas, ada tiga variabel dasar lalu lintas yaitu kecepatan kendaraan, kepadatan lalu lintas, dan arus lalu lintas. Untuk
menunjukkan ketiga hubungan variabel tersebut, ada salah satu kemungkinan yang terjadi yaitu situasi lalu lintas yang sederhama. Misalkan, lalu lintas pada jalan yang
sama bergerak dengan kecepatan konstan dan kepadatan lalu lintas konstan
� . Ilustrasi ditunjukan oleh Gambar 3.1.
Gambar 3.1 Lalu lintas kendaraan konstan.
Karena kecepatan setiap kendaraan konstan maka jarak antar kendaraan akan tetap konstan. Oleh karena itu, kepadatan lalu lintas tidak akan berubah seperti
jumlah kendaraan yang diamati oleh pengamat per jamnya. Setelah waktu � jam,
setiap kendaraan bergerak sejauh � , yaitu pergerakan pengemudi dalam
kendaraan akan sama dengan kecepatan kendaraan dikalikan dengan waktu. Jadi, jumlah kendaraan dalam jarak
� adalah banyaknya kendaraan yang diamati oleh pengamat yang melewati posisi pengamat setelah waktu
� jam lihat Gambar 3.2.
Pengamat
Gambar 3.2 Jarak kendaraan yang bergerak dengan kecepatan konstan dalam
waktu � jam.
Misalkan � adalah banyaknya kendaraan per mil dan � adalah jarak
pergerakan kendaraan, maka � � adalah banyaknya kendaraan yang melewati
pengamat setelah waktu � jam. Jumlah kendaraan per jam disebut arus lalu lintas.
Secara matematis arus lalu lintas didefinisikan oleh = �
. 3.1.1
Persamaan tersebut telah diturunkan dari masalah yang telah disederhanakan. Hal ini digunakan untuk menunjukkan hukum dasar dari masalah
lalu lintas bahwa arus lalu lintas sama dengan kepadatan lalu lintas dikalikan dengan kecepatan kendaraan. Jika variabel pada lalu lintas bergantung pada dan
seperti , , � , ,
, maka dapat ditunjukkan bahwa , = � ,
, . 3.1.2
Persamaan 3.1.2 dapat ditunjukkan dengan memisalkan jumlah kendaraan yang melewati
= dengan perbedaan waktu ∆ yang sangat kecil seperti waktu antara dan
+ ∆ . Jika ∆ sangat kecil, maka kendaraan bergerak lambat. � dan adalah fungsi kontinu yang bergantung pada dan , sehingga
� , dan ,
dapat didekati sebagai fungsi konstan dengan nilai = dan = . Perbedaan
� Pengamat
