Linearisasi Model Lalu Lintas

� � + �� = � � + �� � � + �� � � + �� � � + . Order tingkat tinggi dalam ekspansi deret Taylor diabaikan. Oleh karena itu, didapat � � + �� = � � . Dari ekspansi deret Taylor maka persamaan 3.3.6 menjadi � + � � � = , 3.3.7 atau � + � = 3.3.8 dengan = � ⁄ � . Selanjutnya, kita akan menyelesaikan persamaan 3.3.8 yang terkait dengan linearisasi masalah lalu lintas. Kondisi awal kepadatan lalu lintas adalah usikan awal kepadatan lalu lintas yang diketahui � , = . Didefinisikan koordinat ruang lain yaitu ′ yang bergerak dengan kecepatan konstan . Diasumsikan dua sistem koordinat dan ′ yang asalnya sama di = lihat Gambar 3.5 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Gambar 3.5 Kendaraan bergerak dengan kecepatan Setelah waktu , sistem koordinat berpindah pada jarak karena kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan yang diilustrasikan oleh Gambar 3.6. Gambar 3.6 Ilustrasi ′ yang bergerak dengan kecepatan . Oleh karena itu, jika ′ = maka = . Di sisi lain pada ′ , = ′ + atau ′ = − . Persamaan diferensial parsial yang dihasilkan dari linearisasi arus lalu lintas yang bergerak pada sistem koordinat akan diselidiki apa yang terjadi. Sebagai gantinya, penyelesaiannya bergantung pada dan atau ′ dan . Pengubahan variabel yang melibatkan turunan parsial dilakukan untuk memudahkan dalam menjelaskan perbedaan notasi setiap variabel yang digunakan. Variabel ′ dan ′ Bergerak dengan kecepatan = ′ = = = ′ = = ′ ′ dengan ′ = digunakan untuk bergeraknya sistem koordinat. Akibatnya, pengubahan variabel yang digunakan adalah ′ = − , ′ = . Aturan rantai turunan parsial dilakukan untuk menyatakan persamaan diferensial parsial dalam bentuk variabel baru yaitu = ′ ′ + ′ ′ , = ′ + ′ , = ′. dan = ′ ′ + ′ ′ , = ′ − + ′ , = − ′ + ′ . Walaupun = ′ tetapi � � ≠ � � ′ karena hasil tersebut diperoleh dari definisi dua turunan parsial. � � merupakan turunan terhadap waktu pada titik = , sedangkan � � ′ merupakan turunan terhadap waktu terhadap titik ′ yang bergerak dengan kecepatan . Perubahan waktu mungkin berbeda pada kedua sistem tersebut. Hal itu menekankan pada pentingnya memaparkan variabel waktu yang baru ′ , yang menyatakan perbedaan notasi antara titik dan titik ′ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Oleh karena itu, persamaan 3.3.8 pada sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan menjadi − � ′ + � ′ + � ′ = , � ′ = . Persamaan diferensial parsial tersebut mempunyai penyelesaian � = ′ , ∫ � = ∫ ′ , � = konstan. Untuk nilai yang berbeda, nilai � juga kemungkinan tidak konstan tetapi � adalah fungsi terhadap ′ , � = ′ dengan ′ merupakan fungsi yang berubah –ubah terhadap ′ . Variabel aslinya adalah � = − . 3.3.9 Subtitusikan persamaan 3.3.9 ke persamaan 3.3.8. Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh � = − − , � = − , dan � = − − , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � = − − . Sehingga terbukti bahwa persamaan 3.3.8 dipenuhi oleh persamaan 3.3.9. Walaupun demikian, persamaan 3.3.8 melibatkan turunan parsial yang bergantung terhadap dan yang dapat diintegralkan pada sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan . Penyelesaian secara umum persamaan 3.3.8 mengandung fungsi yang berubah-ubah, seperti pada Contoh 3. Penyelesaian umumnya adalah � , = − . Tetapi � , = , sehingga = . Akibatnya, penyelesaian dari persamaan diferensial parsial dipenuhi dengan kondisi awal � , = − , � , = � + − . 3.3.10 Jika kendaraan bergerak dengan kecepatan konstan, maka kepadatan lalu lintas tetap sama. Kepadatan lalu lintas tersebut menyebar seperti gelombang yang disebut gelombang kepadatan lalu lintas dengan kecepatan gelombang . Perlu dingat bahwa kecepatan kendaraan mungkin berbeda dari kecepatan saat kendaraan tersebut bergerak. Sepanjang kurva yang − = konstan, maka kepadatan lalu lintas akan tetap sama. Garis tersebut disebut karakteristik dari persamaan diferensial parsial � + � = . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Dalam kasus ini, karakteristik adalah semua garis lurus dengan kecepatan , dengan = ⁄ . Ilustrasi karakteristik yang bermacam-macam pada diagram ruang dan waktu ditunjukkan pada Gambar 3.7. Masing –masing karakteristik, kepadatan lalu lintas sama dengan nilai kepadatan lalu lintas itu sendiri saat = . Perlu diingat bahwa � akan tetap konstan sepanjang karakteristik, tetapi � ⁄ dan � ⁄ mungkin tidak sama dengan nol yang diilustrasikan pada Gambar 3.8. Gambar 3.7 Karakteristik dari � ⁄ + � ⁄ = . Gambar 3.8 Variasi kepadatan lalu lintas. Berdasarkan ilustrasi di atas � ⁄ mungkin tidak sama dengan nol karena nilai dari � mungkin bervariasi dengan nilai tertentu. Demikian pula, � ⁄ tidak = tertentu tertentu � = � = mungkin nol karena nilai dari � mungkin berubah dengan nilai tertentu. Dalam Gambar 3.7 dan 3.8 diasumsikan yaitu = � � . 3.3.11 Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan diperlihatkan pada gambar 3.9. Kemungkinan, gradien yang positif berarti kepadatan lalu lintas lebih kecil daripada kapasitas jalan yang bersesuaian, dan gradien yang negatif berarti kepadatan lalu lintas lebih besar daripada kapasitas jalan yang bersesuaian. Gradien dikatakan signifikan jika usikan yang diberikan cukup kecil pada kepadatan lalu lintas yang seragam yang bergerak dengan kecepatan konstan yang sama dengan gradiennya seperti pada persamaan 3.3.11. Gelombang kecepatan kendaraan dapat bernilai positif atau negatif. Gambar 3.9 Kurva kepadatan lalu lintas : kapasitas jalan.

D. Gelombang Kepadatan Lalu Lintas

Sebuah lalu lintas dikatakan padat jika nilai kepadatannya lebih besar daripada nilai kepadatan optimal pada kapasitas jalan. Sedangkan, lalu lintas dikatakan tidak padat adalah jika nilai kepadatannya lebih kecil daripada nilai kapasitas � jalan � kepadatan optimal lihat Gambar 3.10. Hal tersebut dapat disimpulkan bahwa lalu lintas padat dimana usikan kepadatan bergerak dengan kecepatan yang bernilai negatif ketika berlawanan arah dengan lalu lintas yang tidak padat, sesuai dengan definisi dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar 3.9. Gambar 3.10 Lalu lintas yang padat dan tidak padat Diasumsikan kepadatan lalu lintas hampir seragam pada situasi lalu lintas yang padat. Kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.11 dimana garis putus-putus mengilustrasikan kondisi awal kepadatan yang mendekati konstan dan titik pada grafik mengilustrasikan minimum relatif atau maksimum relatif dari kepadatannya. Pada kasus sebelumnya, menunjukkan bahwa kepadatan akan tetap konstan jika pengamat bergerak dengan kecepatan bernilai negatif. Akibatnya, kepadatannya konstan sepanjang karakteristik, yang diilustrasikan oleh diagram ruang dan waktu pada Gambar 3.12. padat Tidak padat � Gambar 3.11 Lalu lintas padat yang hampir seragam. Gambar 3.12 Karakteristik � ⁄ + � ⁄ = . Posisi dari maksimum relatif ditandai dengan garis tebal dan minimumnya ditandai dengan garus putus –putus. Misalkan kepadatan awalnya ditunjukkan oleh Gambar 3.13a, yang kemudian setelah waktu � kepadatan bergerak mundur dengan jarak | �|, dengan = � ⁄ � yang ditunjukkan oleh Gambar 3.14b. Gambar 3.13a Kondisi awal kepadatan lalu lintas. � , = = � , = Gambar 3.14b Gelombang kepadatan bergerak mundur. Kepadatan bergerak mundur dengan kecepatan konstan akan meningkat dalam waktu yang kontinu. Gelombang kepadatan pengendara tanpa mengubah bentuknya. Untuk membuat sketsa kepadatan � yang bergantung pada fungsi dan membutuhkan sketsa berdimensi tiga dan hal tersebut tidak selalu mudah untuk digambar. Sebagai contohnya, sumbu horizontal, � sumbu vertikal, dan sumbu yang arahnya ke kertas yang diperoleh dari Gambar 3.14. Kepadatan akan tetap sama pada sepanjang lintasan dengan kecepatan , dengan . Variasi dari kepadatan lalu lintas tampak bergerak mundur walaupun sebenarnya tidak ada kendaraan yang bergerak mundur. Gambar 3.14. Sketsa tiga dimensi �, , . � , = � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

E. Interpretasi Gelombang Lalu Lintas

Dipandang persamaan diferensial parsial untuk masalah arus lalu lintas setelah perturbasi � + � = , 3.5.1 Misalkan kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergerak bukan dari kendaraan yang bergerak di lalu lintas. Posisi dari pengamat ditentukan oleh = . Kepadatan lalu lintas diukur dari pengamat yang bergantung pada waktu yaitu � , . Laju perubahan kepadatan bergantung dari variasi lalu lintas dan pengamat yang bergerak, dengan turunan rantai pada persamaan diferensial parsial maka berlaku � , = � + � . 3.5.2 Suku pertama pada ruas kanan �� � merepresentasikan perubahan kepadatan lalu lintas pada posisi yang tetap dan �� � merepresentasikan perubahan yang sesuai fakta bahwa pengamat bergerak pada daerah dengan kemungkinan kepadatan yang berbeda. Dengan membandingkan antara perubahan kepadatan yang bergerak bersama pengamat seperti pada persamaan 3.5.2 dengan persamaan diferensial parsial untuk perturbasi kepadatan lalu lintas seperti pada persamaan 3.5.1. Hal tersebut akan terlihat jelas jika pengamat bergerak dengan kecepatan , yang berarti jika = 3.5.2 maka, � = . 3.5.3 Jadi, � adalah fungsi yang konstan. Pengamat yang bergerak dengan kecepatan tidak akan mempengaruhi pengukuran pada kepadatannya, seperti pada kseimpulan subbab 3.3. Dengan kata lain, konsep yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah lalu lintas nonlinear, yaitu � + � � = . Persamaan 3.5.3 dapat diperoleh penyelesaian secara aljabar dengan mudah yaitu dengan cara mengintegralkan yang diperoleh � = , dimana konstan. Dari persamaan 3.5.3 didapat � = pada sepanjang = + , dimana dan konstan. Untuk garis lurus yang berbeda misalkan konstan, maka � dapat pula nilai konstan yang berbeda. Jadi, konstan bergantung pada konstan, yaitu = , yang mana adalah fungsi yang berubah –ubah terhadap atau � = − Penyelesaian tersebut identik dengan penyelesaian pada persamaan 3.3.10 yang diperoleh dari transformasi persamaan diferensial parsial untuk sistem koordinat yang bergerak dengan kecepatan .

F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam

Misalkan kondisi awal dari kepadatan lalu lintas bernilai konstan untuk jalan tol yang hampir takterbatas yang diilustrasikan pada Gambar 3.15. Arus lalu lintas yang masuk harus bernilai � � , arusnya bersesuaian dengan kepadatan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI