dan � = untuk
ax
.
Gambar 3.25 Kepadatan lalu lintas saat lampu menyala merah.
Gambar 3.25 belum cukup kuat menjelaskan bahwa kepadatannya belum tentu berada pada daerah ini yang merupakan daerah dengan kendaraan benar
–benar melalui lampu hijau, yaitu
�
ax ′
�
ax ax
. Andaikan kepadatan lalu lintas awalnya bukan merupakan fungsi yang diskontinu
tetapi fungsi yang mulus antara � = dan � = �
dengan nilai jarak ∆ yang
cukup kecil yang dekat dengan lalu lintas lihat Gambar 3.26. Dengan ∆ yang
cukup kecil diharapkan solusi dari permasalah ini akan sama saat ∆ = .
Gambar 3.26 Kepadatan lalu lintas awal yang kontinu
Untuk ∆ ≠ karakteristik dari � = dan � = �
ax
pada diagram ruang diilustrasikan pada Gambarr 3.27 yang menjelaskan bahwa pasti terdapat
= =
ax
� , , = �
ax
�|
�
ax
∆ �
max
karakteristik yang dekat dengan daerah asal. � pada sepanjang garis akan bernilai
konstan = � + .
nilainya sangat kecil yang merupakan posisi dari karakteristik saat =
sehingga dapat diabaikan. Kecepatan �
⁄ akan selalu berada pada nilai– nilai yang bersesuaian antara
� = dan � = �
ax
karena rentang � kontinu antara � =
dan � = �
ax
. Dengan kata lain, kecepatan �
⁄ lebih besar daripada kepadatannya. Kecepatan gelombangnya akan berkurang jika kepadatannya
ditingkatkan. Terdapat nilai dengan kecepatan gelombang nol dan negatif, yang sebagian karakteristiknya ditunjukkan oleh Gambar 3.29. Kemiringan garis lurus
akan berbeda dikarenakan jarak lalu lintas yang berbeda mulai tidak adanya kendaraan yang berdempetan sampai meningkat sesuai perubahan waktu. Lampu
yang berubah dari merah menjadi hiaju menyebabkan lalu lintasnya “menyebar keluar” atau “meluas”.
Gambar 3.27 Diagram ruang dan waktu dengan transisi cepat dari tidak ada
lalu lintas sampai lalu lintas berdempetan.
|∆ |
Jika kepadatan lalu lintas awalnya merupakan fungsi yang diskontinu, sesuai dengan kenyataannya pasti akan didapat kepadatan di daerah yang tidak
diketahui dengan mengasumsikan limit dari masalah kondisi awal kontinu tersebut adalah
∆ → . Sepanjang karakteristiknya � bernilai konstan, = �,
dengan karakteristik yang merupakan garis lurus =
� ⁄
+ . Karakteristiknya tidak bersesuaian dengan
� = dan � = �
ax
yang melalui =
dan
= , disebut karakteristik fanlike pada daerah yang diilustrasikan oleh
Gambar 3.28.
Gambar 3.28 Karaktersitik fanlike
Setiap karakteristik kepadatannya bernilai konstan pada domain ruang dan waktu. Gelombang kepadatan pada titik
, diketahui
� = . 3.8.4
� harus diperoleh dengan menyelesaikan persamaan 3.8.4.
�
merupakan fungsi yang bergatung pada
� dengan � fungsi terhadap dan , walaupun dalam kasus PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ini sebenarnya fungsi terhadap ⁄ di daerah karakteristik fanlike. Kadang–kadang
dalam suatu permasalahan hanya diketahui �
⁄ seperti yang diilustrasikan oleh Gambar 3.29.
Gambar 3.29 Diagram dasar lalu lintas di jalan.
Asumsikan bahwa � meningkat tetapi
� ⁄ menurun. Kepadatan dapat
didefinisikan secara grafis pada posisi di daerah karaktersitik fanlike sebagai berikut, diberikan dan . Persamaan 3.8.4 dapat digunakan untuk menghitung
� ⁄ , yang diposisikan melawan gambar � dengan nilai yang bersesuaian seperti
pada Gambar 3.29. Diagram dasar lalu lintas di jalan dapat digunakan sebagai cara alternatif untuk menentukan kepadatan suatu grafik pada jalan tertentu di daerah
karakteristik fanlike. Diberikan dan . Garis lurus dari titik origin ke titik
, mempunyai kemiringan yang sama dengan
� ⁄ . Jadi, garis lurus harus mempunyai
kemiringan yang sama dengan kurva arus –kepadatan
− . Kepadatan dari
�
max ma
� −�
ax
�|
�
ax
�
kurva − yang kemiringannya sama dengan ⁄ dapat digunakan untuk
memperkirakan kepadatan lalu lintas, seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.30.
Gambar 3.30 Karateristik kepadatan lalu lintas pada daerah fanlike.
Ketika �
⁄ = , terjadi arus yang maksimum. Jadi, posisi dengan kepadatan
maksimum dapat diindikasikan dari gelombang kepadatan yang stasioner atau kecepatan gelombang kepadatannya sama dengan nol. Setelah lampu menyala
merah menjadi hijau, arus maksimum terjadi saat = seperti permasalahan yang
baru saja dibahas. Posisi pengamat pada lalu lintas menunjukkan bahwa hal ini merupakan sebuah percobaan yang sederhana untuk mengukur arus lalu lintas yang
sampai akhirnya kendaraan akan berbaris ketika lampu kembali menyala merah. Akibatnya, ketika lampu menyala hijau, dengan cara yang mudah dapat dihitung
arus lalu lintas di jalan. Perhitungan arus lalu lintas dari kendaraan akan konstan dan sama dengan kemungkinan kapasitas maksimum jalan jika teori ini benar yaitu
= � .
� ,
I. Hubungan Linear Antara Kecepatan dan Kepadatan
Asumsikan hubungan kurva kecepatan dan kepadatan linear, maka � =
ax
�
ax
�
ax
− � =
ax
− �
�
ax
, 3.9.1
Hubungan tersebut memiliki empat sifat yang diilustrasikan pada Gambar 3.31 yaitu
1 �
ax
= , 2
= �
ax
, 3
�
, 4
� ⁄
menurun ketika � meningkat karena
� ⁄
.
Gambar 3.31 Kurva kepadatan
–kecepatan linear
Arus lalu lintas dapat dihitung pada kasus ini yaitu = � =
ax
� − �
�
ax
. 3.9.2
Diagram dasar parabola pada lalu lintas jalan merupakan hasil dari persamaan 3.9.2 yang diilustrasikan pada Gambar 3.31 yang mempunyai kecepatan
gelombang kepadatan, yaitu
max
�
max
� =
ax
− � �
ax
⁄ kepadatan
� Kecepatan
� =
ax
− �
�
ax
. 3.9.3
Hasil dari persamaan 3.9.3 merupakan gelombang kecepatan yang positif dan negatif. Gelombang kecepatan akan berkurang jika kepadatan meningkat, misalnya
� ⁄
. Gelombang kepadatan stasioner akan menyebabkan aliran menjadi maksimum karena kecepatan gelombang kepadatan sama dengan nol. Pada kurva
kecepatan –kepadatan yang linear ini, kepadatan arus lalu lintas akan menjadi
maksimal jika tepat setengah dari kepadatan maksimal, � = �
ax
⁄ dan kecepatannya setengah dari kecepatan maksimum,
�
ax
⁄ =
ax
⁄ . Oleh karena itu, arus lalu lintas maksimumnya adalah
�
ax
= �
ax ax
. Andaikan kecepatan diberikan oleh persamaan 3.9.1. Akan diselesaikan
kepadatan lalu lintas setelah lampu menyala merah menjadi hijau dengan kepadatan awalnya sebagai berikut
� , = {�
ax
jika , jika .
Karakteristik sepanjang � = dan � = �
ax
dalam diagram ruang dan waktu diilustrasikan pada Gambar 3.33. Dalam kasus ini akan dihitung kepadatan dalam
daerah fanlike, −
ax ax
yang karakteristiknya diberikan oleh
� = , yang dimulai dari
= dan = . Kecepatan gelombang kepadatan diberikan oleh persamaan 3.9.3 untuk menyatakan hubungan kepadatan dan kecepatan yang
linear, yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
=
ax
− �
�
ax
, didapat
� = �
ax
−
ax
. 3.9.4
Kepadatan secara linear bergantung pada dan di daerah karakteristik fanlike saat waktu tertentu. Kepadatan saat
= dan waktu setelahnya dengan posisi yang diketahui batas-batasnya pada kepadatan lalu lintas maksimum dan minimum yang
ditunjukkan pada Gambar 3.32 yang berarti bahwa kepadatan kendaraan akan menyebar keluar.
Gambar 3.32 Kepadatan lalu lintas sebelum dan sesudah lampu menjadi hijau.
Misalkan pengamat yang tetap berada pada kepadatan konstan �
ax
, �
ax
⁄ , �
ax
⁄ , �
ax
⁄ , dan 0. Setiap pengamat bergerak dengan kecepatan konstan yang berbeda. Gelombang kecepatan bergantung linear dengan kepadatan
yang ditunjukkan oleh Gambar 3.33.
� , �
ax
� , �
= −
ax
=
ax
Gambar 3.33 Perbedaan kecepatan gelombang kepadatan lalu lintas.
Kecepatan kendaraan diberikan oleh =
, . Ketika
=
ax
⁄ kendaraan bergerak dengan kecepatan pada daerah fanlike
yaitu =
, =
ax
− �
�
ax
. Kendaraan yang berada di belakang lalu lintas akan mulai bergerak yang kecepatan
awalnya nol dan perlahan-lahan akan meningkat. Kecepatan kendaraan bergantung pada posisi dan waktu karena kepadatannya ditentukan oleh persamaan 3.9.4,
� =
ax
+ . 3.9.5
Persamaan 3.9.4 merupakan persamaan diferensial biasa tak homegen tingkat satu yang dapat diselesaikan dengan kondisi awal sebagai berikut
=
ax
, = − . 3.9.6
Salah satu metode untuk menyelesaikannya dengan cara memperhatikan persamaan equidimensional tak homogen,
� , �
max
� , �
max
− =
ax
. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini sama dengan metode
yang digunakan untuk persamaan equidimensional tingkat dua yang penyelesaian homogennya dalam bentuk
= adalah =
⁄
. dengan sembarang konstan. Penyelesaian akan proposional terhadap
jika sisi kanannya juga proposional terhadap
≠ . Penyelesaian yang didapat dengan menggunakan metode substitusi adalah
=
ax
+ .
Penyelesaian umumnya adalah =
ax
+
⁄
. Kondisi awal pada persamaan 3.9.6 untuk menentukan yaitu
− = +
ax ⁄
,
= −
ax ⁄
= −
ax ⁄
. Jadi, posisi kendaraan tersebut ditentukan oleh
=
ax
−
ax ⁄
3.9.7 Kecepatan kendaraannya adalah
=
ax
−
ax ⁄
3.9.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
J. Nilai Kepadatan Awal Tidak Konstan
Misalkan kondisi awal kepadatan � ,
= .
Kepadatan awal yang tidak konstan tersebut dapat juga diselesaikan dengan menggunakan metode karakteristik seperti cara untuk menyelesaikan permasalahan
lalu lintas dengan kepadatan awal konstan. Asumsikan bahwa � =
ax
−
� �
ax
dengan kecepatan gelombang kepadatan menentukan karakteristik sebagai berikut
= � =
ax
− �
�
ax
. Karakteristik pada posisi
= adalah =
ax
− �
�
ax
+ . 3.10.1
Sepanjang kepadatannya konstan maka nilainya akan sama saat = ,
� , = � ,
= .
3.10.2 Diasumsikan karakteristiknya tidak berpotongan seperti yang diilustrasikan oleh
Gambar 3.34.
Gambar 3.34 Karakteristik nonpararel yang tidak berpotongan.
Ada dua cara yang ekivalen dengan menggunakan metode karakteristik untuk menentukan kepadatan lalu lintas terhadap fungsi dan yaitu:
a. Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi terhadap dan
Setiap karakteristik ditandai pada setiap posisinya, . Diberikan dan , akan
dicoba untuk menemukan yang merupakan contoh karakteristik melalui
titik , . Fungsi � digantikan oleh seperti pada persamaan 3.10.2
dengan menjadi persamaan 3.10.1 yang hasil merupakan fungsi terhadap
dan , yaitu =
, . 3.10.3
Secara eksplisit, langkah ini tidak dapat diselesaikan untuk , misalnya
� , =
�
ax
+
� ⁄
. Maka karakteristiknya juga sama diperoleh seperti pada persamaan 3.10.1
yaitu =
ax
− +
� ⁄
+ . Masalah tersebut tidak dapat diselesaikan secara eksplisit dikarenakan
kepadatan suatu titiknya bergantung terhadap ,
� , = � ,
= =
, . 3.10.4
Dengan menyubstitusikan persamaan 3.10.3 ke persamaan 3.10.2 menunjukkan bahwa adanya ketergantungan posisi dan waktu terhadap
kepadatan lalu lintas, seperti pada persamaan 3.10.4. a
Parameterisasi posisi awal sebagai fungsi kepadatan awal PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sebagai fungsi terhadap � dengan menggunakan persamaan
3.10.2, yaitu =
� . 3.10.5
Persamaan 3.10.5 belum tentu dapat diselesaikan secara eksplisit untuk mendapatkan
. Namun, persamaan 3.10.5 dapat disubstitusikan ke persamaan 3.10.1 yang hasilnya bergantung
, , dan �, hal ini
menunjukkan bahwa � merupakan fungsi terhadap dan , seperti yang
diilustrasikan oleh Gambar 3.35. Misalkan
� =
ax
−
� �
ax
dan
� , = {
�
ax
jika , �
ax
− � �
jika �, jika � .
Gambar 3.35 Kepadatan awal lalu lintas.
Karakteristik sesuai persamaan 3.10.1 yang mulai dari kepadatan konstan jika
� atau , karena kecepatan gelombang kepadatan mudah untuk dihitung
�
|
�=
=
ax
dan
�
|
�=�
ax
= −
ax
. Sehingga didapat dua kepadatan yang konstan yaitu
� = { jika
ax
+ �, �
ax
jika −
ax
.
�
ax
= = �
Gambar 3.36 menunjukkan bahwa kepadatan lalu lintas belum ditentukan pada domain ruang dan waktu.
Gambar 3.36 Karakteristik
Oleh karena itu, harus digunakan metode karakteristik yang dijelaskan oleh cara 1 dan 2:
1 ,
Persamaan 3.10.1 dipenuhi oleh karakteristik antara �
dengan � =
�
ax
− � �
. 3.10.6
Jadi, persamaan karakteristiknya adalah =
− � − � + .
3.10.7 Persamaan 3.10.7 menentukan
sebagai fungsi terhadap dan dan akan valid untuk semua
asalkan �, karena
persamaannya termasuk persamaan kuadratik yang lebih mudah menunjukkan
− � dengan = − � + � menjadi
− �
ax
� −
− � + − � −
ax
= . Penyelesaian persamaan kuadratik ini dengan rumus ABC didapat
= � =
= −
ax
=
ax
+ � � = �
ax
� =
− � = ± √ −
ax
� − � −
ax ax
� ⁄
. 3.10.8
Dengan menggunakan interval
ax ax
+ � maka tanda negatif harus dipilih untuk kepadatan lalu lintas sebagai fungsi
terhadap dan dalam daerah yang bersesuaian dengan �, yang menyubstitusikan persamaan 3.10.8 ke persamaan
3.10.6. � ,
= �
ax
� ± √ −
ax
� − � −
ax ax
� ⁄
. 3.10.9
Perlu dicatat bahwa mendekati ujung dari variasi daerah
kepadatan, kepadatan diketahui mendekati konstan. Secara khusus dari persamaan 3.10.9 didapat
Ketika →
ax
, � → .
Ketika → −
ax
, � →
�
ax
� −√ +
ax
� ⁄
ax
� ⁄
= �
ax
. Perlu diperiksa bahwa persamaan 3.10.9 memenuhi kondisi awal
yang diketahui. Hal tersebut tidak jelas penyelesaiannya karena saat → baik pembilang maupun penyebutnya akan cenderung nol.
Teknik yang paling sederhana untuk menentukan limit → pada
persamaan 3.10.9 dengan didekati limitnya pada pembilangnya karena
√ − ≈ − jika didekati → , sehingga untuk interval awal antara
� didapat PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� , → �
ax
� [ −
−
ax
� − � ]
ax
� .
2 �
Dengan menggunakan persamaan 3.10.6 sebagai cara alternatif untuk menentukan
merupakan fungsi terhadap � yaitu
− � = � � �
ax
⁄ atau
= � ± �√� �
ax
⁄ . Tanda kurang harus
digunakan karena � sehingga
= � − �√� �
ax
⁄ = �
− √� �
ax
⁄ .
3.10.10 Perlu dicatat bahwa besar
� bervariasi antara dan �
ax
sedangkan besar
bervariasi antara dan
�. Persamaan 3.10.10 disubstitusikan ke persamaan 3.10.1 sehingga didapat
=
ax
− � �
ax
⁄ + �
− √� �
ax
⁄ .
Dapat dibentuk sebagai persamaan kudratik untuk √� �
ax
⁄ yaitu
√� �
ax
⁄
ax
+ � √� �
ax
⁄ + − � −
ax
= , didapat
√� �
ax
⁄ =
−� + √� −
ax
− � −
ax ax
, dengan memilih tanda positif pada rumus ABC tersebut karena
√� �
ax
⁄ yang kemudian persamaan diperoleh
