Gambar 3.20 Menentukan kepadatan lalu lintas yang akan datang dengan
mengunnakan karakteristik. Jika karakteristiknya sudah ditentukan dan sepanjang karakteristik tersebut
mempunyai kepadatan yang konstan maka kepadatan pada titik , yang
kepadatan dapat aproksimasi dengan perpotongan , yaitu � ,
= � , . Teknik tersebut dinamakan metode karakteristik.
Kecepatan gelombang kepadatan atau �
⁄ menyatakan bahwa pada kecepatan tertentu kepadatan lalu lintas akan tetap sama. Kita akan
mendeskripsikan sifat-sifat dari kecepatan gelombang kepadatan. Asumsikan �
⁄ menurun ketika � meningkat atau kecepatan gelombang kepadatan menurun ketika kepadatan lalu lintas meningkat. Selain itu, akan ditunjukkan
hubungan antara dua kecepatan yaitu kecepatan gelombang kepadatan dan kecepatan kendaraan. Karakteristik kecepatan dapat ditentukan dari kecepatan dan
kepadatan lalu lintas. Karena diketahui = � � maka
� = � � + . Hipotesis awal diketahui bahwa kendaraan bergerak lambat saat kepadatan lalu
lintas meningkat atau �
⁄ , yang diilustrasikan oleh Gambar 3.21.
. , .
Gambar 3.21 Hubungan dan �
� ⁄
.
H. Lalu Lintas dari Lampu Merah ke Hijau
Misalkan kendaraan –kendaraan berhenti pada lalu lintas saat menyala
merah. Posisi tersebut berada pada = . Karena kendaraan berdempetan maka
� = � untuk
. Asumsikan bahwa kendaraan takberhingga banyaknya dan tidak bergerak walaupun sebenarnya barisannya berhingga dan mungkin bisa jadi
sangat panjang kemacetannya. Jika lampu lalu lintas tersebut mengehentikan kendaraan yang cukup panjang, asumsikan pula bahwa
� = untuk , yang kondisi awal kepadatannya diilustrasikan oleh Gambar 3.22.
Gambar 3.22 Distribusi kepatan awal lalu lintas.
Misalkan lampu lalu lintas menyala dari merah menjadi hijau saat = .
Persamaan diferensial parsial diturunkan dari konservasi kendaraan, yaitu
�
= �
� ,
� + �
� = .
3.8.1 Diketahui kondisi awalnya yang merupakn fungsi yang diskontinu
� , = {�
ax
jika jika lainnya
Saat lampu lalu lintas berubah dari merah menjadi hijau maka kendaran akan bergerak tetapi kendaraan yang berada cukup jauh dari lalu lintas juga akan mulai
bergerak sampai kembali berubah menjadi warna merah yang diilustrasikan pada Gambar 3.23. Lalu lintas yang jarang dapat lebih jauh bebas bergerak;
kepadatannya menjadi lebih kecil dan berhubungan dengan penyelesaiannya yang disebut gelombang rarefactive.
Gambar 3.23 Kepadatan lalu lintas setelah lampu merah Gelombang
rarefactive. Persamaan 3.8.1 dapat diselesaikan dengan metode karakteristik yang
telah dibahas pada subbab sebelumnya. Perlu diingat bahwa jika ⁄ =
� ⁄
maka �⁄ = �⁄
+ ⁄
�⁄ = . Jadi, kepadatan lalu lintas
� , konstan sepanjang karakteristik, yang diberikan oleh =
� � = � � + .
3.8.2
= � ,
Kepadatan akan menyebar saat kecepatan �
⁄ . Karena � konstan maka kepadatan juga akan bergerak dengan kecepatan konstan. Karakteristiknya
berbentuk suatu garis lurus pada bidang −
= � � + , 3.8.3
dengan setiap karakteristik yang mungkin mempunyai perbedaan integrasi konstan. Akan dianalisis bahwa perpotongan data awal saat
. Terdapat � ,
= , jadi � = sepanjang setiap garis sehingga = �|
�=
= � + � ′ � |
�=
= =
ax
Kurva karakteristik yang berpotongan pada sumbu pada setiap garis lurus
dengan kecepatan
ax
. Karena karakteristiknya muncul dari = dengan
saat = yaitu
=
ax
+ Karakteristik pertama pada daerah tersebut diawali saat
= yang karenanya =
ax
. Jadi, di bawah daerah kurva kepadatannya bernilai nol;
sehingga tidak ada kendaraan yang melewati daerah tersebut. Pada waktu yang bersamaan jika kendaraan berada cukup jauh dari lalu lintas, maka tidak ada
kendaraan yang melewatinya karena kepadatannya bernilai nol. Pada kenyataannya, andaikan kendaraan seseorang berada pada posisi yang pertama dan
setelah lampu merah berubah menjadi hijau serta kepadatannya bernilai nol maka seseorang tersebut akan bergerak dengan kecepatan
ax
. Seseorang tidak akan mencapai titik dengan
=
ax
⁄ . Akibatnya, tidak ada kendaraan pada posisi
saat =
ax
⁄ .
Kemudian, akan dianalisis karakteristik pada perpotongan data awal untuk dengan kendaraan tetap berada pada posisi kepadatan yang maksimum � =
�
ax
, yang sepanjang karakteristiknya ditentukan oleh persamaan 3.8.2, = �|
�=�
ax
= � + �
′
� |
�=�
ax
= �
ax ′
�
ax
,
dengan �
ax
= sehingga ′ �
ax
= , yang berarti kecepatannya bernilai negatif. Kepadatan menjadi maksimum berarti lalu lintas berada pada keadaan
“berat”. Jadi, karakteristik ini berupa garis lurus paralel dengan kecepatan yang bernilai negatif pada perpotongan dengan sumbu negatif,
= �
ax ′
�
ax
+ .
Kondisi tersebut diilustrasikan pada Gambar 3.24 yang menyatakan bahwa kendaraan masih berdempetan pada daerah yang diindikasikan pada bagian kiri
gambar, �
ax ′
�
ax
.
Gambar 3.24 Konsidi lalu lintas sebelum dan sesudah lampu merah menjadi
hijau.
� = �
ax
� = =
� = � = �
ax
=
ax
= �
ax
�|
�
ax
Kendaraan mulai bergerak dengan beberapa waktu yang berhingga sebelum mulai bergerak sesudah lampu merah menjadi hijau. Teori ini juga dapat digunakan
untuk kendaraan ke- dengan sejumlah waktu yang sama dengan =
− � −�
ax
′ �
ax
dengan � jarak antar kendaraan. Misalkan reaksi pengendara dan waktu percepatan
tidak diperhitungkan yang akan menjadi menarik untuk mengukur berapa lama waktu tunggu pada lampu lalu lintas sebagai posisi kendaraan. Kemudian, akan
diuji apakah waktu tunggu bergantung linear pada posisi kendaraan. Dari data yang ada didapat
′ �
ax ′
�
ax
≈ ∆
∆� = − m. p. h
kendaraan km
= − . km
kendaraan. jam. Hasil tersebut merupakan data yang diramalkan dari percobaan Lincoln Tunnel
dengan mengasumsikan �
ax
= kendaraan per kilometer diperoleh
= �
−�
ax
′ �
ax
= −�
ax
′ �
ax
= . .
Waktu tunggu yang diprediksi untuk setiap kendaaraan yang berada di belakang lalu lintas adalah
= . = . detik.
Permasalahan yang dapat dihitung sejauh ini hanya daerah antara � = dan � =
�
ax
. Untuk memperluas secara total dapat menggunakan metode karakteristik karena hanya ada dua nilai kepadatan lihat Gambar 3.25 yaitu
� = �
ax
untuk �
ax ′
�
ax
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dan � = untuk
ax
.
Gambar 3.25 Kepadatan lalu lintas saat lampu menyala merah.
Gambar 3.25 belum cukup kuat menjelaskan bahwa kepadatannya belum tentu berada pada daerah ini yang merupakan daerah dengan kendaraan benar
–benar melalui lampu hijau, yaitu
�
ax ′
�
ax ax
. Andaikan kepadatan lalu lintas awalnya bukan merupakan fungsi yang diskontinu
tetapi fungsi yang mulus antara � = dan � = �
dengan nilai jarak ∆ yang
cukup kecil yang dekat dengan lalu lintas lihat Gambar 3.26. Dengan ∆ yang
cukup kecil diharapkan solusi dari permasalah ini akan sama saat ∆ = .
Gambar 3.26 Kepadatan lalu lintas awal yang kontinu
Untuk ∆ ≠ karakteristik dari � = dan � = �
ax
pada diagram ruang diilustrasikan pada Gambarr 3.27 yang menjelaskan bahwa pasti terdapat
= =
ax
� , , = �
ax
�|
�
ax
∆ �
max
