� = .
3.5.3 Jadi,
� adalah fungsi yang konstan. Pengamat yang bergerak dengan kecepatan tidak akan mempengaruhi pengukuran pada kepadatannya, seperti pada kseimpulan
subbab 3.3. Dengan kata lain, konsep yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah lalu lintas nonlinear, yaitu
� + �
� = .
Persamaan 3.5.3 dapat diperoleh penyelesaian secara aljabar dengan mudah yaitu dengan cara mengintegralkan yang diperoleh
� = , dimana konstan. Dari persamaan 3.5.3 didapat
� = pada sepanjang = + , dimana dan
konstan. Untuk garis lurus yang berbeda misalkan konstan, maka � dapat pula
nilai konstan yang berbeda. Jadi, konstan bergantung pada konstan, yaitu =
, yang mana adalah fungsi yang berubah –ubah terhadap atau
� = −
Penyelesaian tersebut identik dengan penyelesaian pada persamaan 3.3.10 yang diperoleh dari transformasi persamaan diferensial parsial untuk sistem koordinat
yang bergerak dengan kecepatan .
F. Contoh Arus Lalu Lintas yang Hampir Seragam
Misalkan kondisi awal dari kepadatan lalu lintas bernilai konstan untuk jalan tol yang hampir takterbatas yang diilustrasikan pada Gambar 3.15. Arus lalu
lintas yang masuk harus bernilai �
� , arusnya bersesuaian dengan kepadatan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
yang seragam � sehingga banyaknya kendaraan per jam yang masuk lalu lintas
akan tetap seragam.
Gambar 3.15 Jalan raya yang lebar hampir takterbatas hanya kendaraan yang
masuk saat = .
Perhatikan interval dari jalan raya antara jalan masuk dan titik = untuk
membuktikan pernyataan tersebut dengan menggunakan integral hukum konservasi ∫ � ,
= − , +
, . Karena nilai kepadatan lalu lintas konstan, dan sisi kiri bernilai nol maka arusnya
di = harus sama dengan arus saat masuk
, = , . Tetapi, arus di =
adalah �
� maka , = �
� . Dengan kata lain, arus yang masuk sama dengan arus yang keluar, sehingga jumlah kendaraan akan tetap sama dengan
asumsi bahwa kepadatannya konstan. Disisi lain, misalkan arus dalam dari kendaraan ditentukan untuk kepadatan yang seragam
, = � � +
, 3.6.1
dengan diketahui.
Sehingga, penyelesaian kepadatan lalu lintas dengan menggunakan persamaan diferensial yang sama dengan subab sebelumnya.
Kendaraan masuk
� +
� = .
Persamaan di atas diturunkan dari � , = � + �
, . 3.6.2
Lalu lintas awal diasumsikan seragam, sehingga kondisi awalnya adalah �
, = .
Kasus ini dapat digeneralisasikan juga dalam kepadatan awal yang sedikit berbeda dengan kasus yang serupa. Perlu diingat bahwa kondisi awal tersebut valid
untuk . Kondisi awal tersebut harus dilengkapi dengan kondisi arusnya seperti
pada persamaan 3.6.1, yang disebut kondisi batas karena hal tersebut terjadi pada batas jalan yang melewati jalur cepat saat
= . Penyelesaian umum untuk persamaan diferensial parsial tersebut telah
didapat yaitu �
, = −
, �
, = � + −
. 3.6.3
Dengan menggunakan konsep karakteristik dengan asumsi lampu lalu lintas, misalnya
. Karakteristik tersebut adalah garis − = konstan yang
diilustrasikan pada Gambar 3.16. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.16 Karakteristik yang kepadatannya konstan.
� merupakan kepadatan yang konstan pada sepanjang garis. Hal tersebut dapat dilihat dari Gambar 3.16 yang menunjukkan bahwa daerah yang diarsir adalah nilai
kepadatan � = atau total kepadatannya � = � saat = , sedangkan daerah
yang tidak diarsir adalah keadaan kendaraan yang masuk dalam tingkat yang tidak seragam. Pada daerah tersebut, kepadatan lalu lintas hanya sedikit berbeda dengan
kepadatan yang seragam, seperti pada persamaan 3.6.3. Kepadatan lalu lintas saat , sama dengan kepadatan lalu lintas pada jalan masuk saat waktu ⁄ ,
− = −
− . ⁄ adalah waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak yang berjarak
dengan kecepatan . Oleh karena itu, kepadatan jalan masuk dalam waktu −
⁄ adalah kepadatan dengan jarak mil pada jalan raya dalam waktu . Kepadatan lalu lintas yang masuk dapat ditentukan dari arus lalu lintasnya, dengan
menggunakan persamaan 3.6.1 dan mengasumsikan � mendekati � .
Arus lalu lintas atau � = � +
dapat dinyatakan dengan menggunakan metode deret Taylor yaitu
� = � + ′
′
� + .
Karena =
′
� , maka arus lalu lintas diatas diaproksimasi menjadi � = � +
′ . Jadi, perturbasi arus lalu lintas secara sederhana adalah perturbasi kepadatan
dengan kecepatan dalam waktu tertentu. Dalam kasus ini, perturbasi arus lalu lintas diketahui saat jalan masuk
. Sehingga, =
− , Jika dimisalkan
= − , maka −
= ,
= −
. ∀
Akibatnya, total kepadatan kendaraan yang diberikan oleh persamaan 3.6.3 adalah � , = � +
− ,
jika −
.
Atau dapat disimpulkan menjadi
� , = {� + −
, − .
� , −
. Penyelesaian ini menunjukkan bahwa lalu lintas masuk saat
= yang menyebar dengan kecepatan dan posisi dengan menempuh waktu
⁄ .
G. Metode Karakteristik Lalu Lintas Tidak Seragam
Konservasi kendaraan dan Diagram Dasar Lalu Lintas Jalan pada Gambar 3.9 menghasilkan persamaan diferensial parsial nonlinear order pertama pada lalu
lintas adalah PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
