Metode Volume Hingga Lax–Friedrichs

relaksasi, dan bilangan positif konstan yang merupakan karakteristik kecepatan dari sistem relaksasi dengan syarat − ′ � . Untuk � → , maka = mengakibatkan sistem relaksasi 4.2.2 dapat diaproksimasi menjadi � + � = . 4.2.3 Misalkan domain ruang didiskretisasikan sebanyak berhingga sel, dengan ∆ = + − − , dimana + = ∆ + ∆ dan domain waktu didiskretisasikan sebanyak berhingga langkah waktu, dengan ∆ = + − untuk = , , , …. Selanjutnya, dengan pendekatan dapat dibentuk + = + , dan didefinisikan menjadi = + + − ∆ . 4.2.4 Pendiskretan hukum konservasi persamaan 4.2.2 terhadap domain ruang dan langkah waktu dengan menggunakan metode garis adalah { � + ∆ + − − = , + ∆ � + − � − = − � − , 4.2.5 dengan, = ∆ ∫ � + − = ∆ ∫ � + − + ℎ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI = � + ℎ 4.2.6 Persamaan 4.2.6 merupakan kuantitas rata –rata dengan tingkat keakuratan ℎ , sehinggan sistem persamaan 4.2.5 dapat ditulis menjadi { � + ∆ + − − = , + ∆ � + − � − = − � − � , 4.2.7 Sistem relaksasi pada persamaan 4.2.2 mempuyai dua variabel karakteristik, yang dapat diselesaikan dengan menggunakan penyelesaian metode karakteristik yaitu ± �. 4.2.8 Dengan mengaplikasikan skema upwind order satu didapat { + � + = + � , − � + = − � + . 4.2.9 Penyelesaian � + dan + adalah variabel yang tidak diketahui pada persamaan 4.2.2 didapat { + + � + = + � + − � + = + − � + 4.2.10 sehingga � + = + � − + + � + , � + = � + � + + − + , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � + = � + � + + − + , � + = � + � + + − + , � + = � + � + + − − + , 4.2.11 dan + = + � + + − � + , + = + + − � + + � , + = + + − � + − � , + = + + − � + − � , + = + + − � + − � . 4.2.12 Dengan menyubstitusikan persamaan 4.2.1 dan 4.2.2 ke persamaan 4.2.7 menggunakan pendekatan upwind semi diskret order pertama pada persamaan 4.2.2 yaitu � + ∆ + − − = , � + ∆ [ + + − � + − � ] − [ − + − � − − � ] = , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI � + ∆ + + − � + + � − − − + � − − � = , � + ∆ + − − − � + − � + � − = , � + ∆ + − − − ∆ � + − � + � − = , � + − � ∆ + ∆ + − − − ∆ � + − � + � − = , 4.2.13 dan + ∆ � + − � − = − � − � , + ∆ [ � + + � − − + − ] − [ � − + � − − − − ] = − � − � , + ∆ � + + � − − + + − − � − − � + − − − − = − � − � , + ∆ + − − − − � + − � + � − = − � − � , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI + ∆ + − − − ∆ − � + − � + � − = − � − � , + − ∆ + ∆ + − − − ∆ − � + − � + � − = − � − � . 4.2.14 Jadi, skema sistem relaksasi Jin –Xin pada sistem persamaan 4.2.7 adalah � + = � − ∆ ∆ + − − + ∆ ∆ � + − � + � − , atau � + = � − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − + ∆ ∆ � + − ∆ ∆ � + ∆ ∆ � − , atau � + = − ∆ ∆ � − ∆ ∆ + + ∆ ∆ − + ∆ ∆ � + + ∆ ∆ � − , 4.2.15 dan + = − ∆ ∆ + − − + ∆ ∆ − � + − � + � − − � − � , atau PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI