Persamaan 2.23 dan 2.24 menghasilkan hasil yang final yaitu: ~
λ ~
atau ~
λ
∗
~ 2.25
Dari persamaan 2.22 pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan berbanding lurus dengan perubahan kendala dengan faktor sebesar pengali
Lagrange yaitu λ.
2.6 Utilitas Marjinal
Fungsi utilitas adalah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas kepuasan, kegunaan yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa.
Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya titik jenuh pada
jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.
Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total U dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi
kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marjinal MU
adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marjinal merupakan derivatif
pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan ‰
{ di mana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinal
Š‰ ‰
‹Œ ‹•
. 2.26
Universitas Sumatera Utara
Grafiknya kurva fungsi utilitas diperlihatkan oleh Gambar 2.4.
Gambar 2.4 Grafik Fungsi Utilitas Karena fungsi utilitas total yang nonlinier pada umumnya berbentuk fungsi
kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas marjinal MU
selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total U berada pada posisi puncaknya.
Contoh 2.3:
Utilitas total ‰
{ 90{ 5{ , utilitas marjinalnya adalah
Š‰ ‰ 90 10{
‰ maksimum pada Š‰ 0 sehingga
90 10{ 0 → { 9 maka
‰
i••‘ i’i
90 9 5 9 810 405
405
Universitas Sumatera Utara
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.5.
Gambar 2.5 Grafik ‰ 90{ 5{ dan Š‰ 90 10{
2.7 Produk Marjinal
Produk marjinal MP ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk
marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan
” di mana
” melambangkan jumlah produk total dan adalah jumlah masukan, maka produk marjinal:
Š” ”
‹• ‹
2.27 Karena fungsi produk total yang nonlinier pada umumnya berbentuk
fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat parabolik. Kurva produk marjinal MP selalu mancapai nilai ekstrimnya. Dalam
hal ini, nilai maksimum tepat pada saat kurva produk total P berada pada posisi titik beloknya. Produk total mancapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol.
Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marjinal
Universitas Sumatera Utara
menjadi negatif. Area di mana produk marjinal negatif menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi
jumlah produk total Dumairy, 1996.
Contoh 2.4:
Produksi total ”
9 , produk marjinalnya adalah
Š” ” 18 3
sehingga ”
i••‘ i’i
pada ”
0 pada 6 dengan ”
i••‘ i’i
108 ” berada dititik belok dan Š” maksimum pada ”
Š” ′ 0 yaitu pada 3
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.6.
Gambar 2.6 Grafik ” 9
dan Š” 18 3
Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, optimasi selalu dilakukan untuk memenuhi kebutuhan. Tetapi optimasi yang dilakukan
masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu fungsi optimasi tak
bersyarat dan fungsi optimasi bersyarat. Banyak aplikasi dari pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau
syarat untuk memperoleh suatu solusi optimal di mana syarat tersebut yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan
optimasi bersyarat. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan
solusi yang memuaskan.
Teori optimasi sangat aplikatif pada permasalahan-permasalahan yang menyangkut pengoptimalan, baik kasus maksimasi atau minimasi. Ada banyak
metode optimasi yang berkembang mengikuti perkembangan terutama di bidang industri, perdagangan dan bidang-bidang lain yang juga menggunakan teori
optimasi. Metode pengali Lagrange Multiplier Lagrange adalah sebuah teknik
yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi dengan kendala persamaan. Sesuai namanya, konsep pengali Lagrange dikemukakan oleh Joseph
Louis Lagrange 1736-1813. Inti dari metode pengali Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik ekstrim bebas kendala. Teori
pengali Lagrange digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program nonlinier.
Pada diferensial fungsi majemuk dikenal konsep diferensial parsial. Dalam fungsi majemuk dapat dilakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan
Universitas Sumatera Utara
