BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Optimasi dengan Metode Pengali Lagrange
Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk masalah optimasi yaitu optimasi bersyarat dan optimasi tak bersyarat. Banyak aplikasi dari pemodelan matematika
dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk memperoleh suatu solusi optimal di mana syarat tersebut yang mengoptimumkan
fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Bentuk umum dari fungsi optimasi bersyarat adalah untuk menentukan
, , … , , sehingga mencapai tujuan yaitu :
MaksimumkanMinimumkan ,
, , … , 3.1
dengan kendala , ,
, , …
, , ,
1, 2, … , 3.2
Metode pengali Lagrange merupakan salah satu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim suatu fungsi berkendala, di mana kendalanya
berbentuk persamaan. Metode pengali Lagrange dikembangkan untuk mengatasi masalah optimasi dengan kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian
hingga syarat perlu bagi masalah optimasi tanpa kendala masih bisa diterapkan. Metode pengali Lagrange paling banyak dipakai dengan pertimbangan prinsip
kerjanya sederhana dan mudah dimengerti. Bentuk persoalan dari optimasi fungsi dengan kendala persamaan
dirumuskan sebagai berikut: MaksimumkanMinimumkan
, , , … ,
3.3
Universitas Sumatera Utara
dengan kendala …
, 1, 2, … ,
3.4 Di mana
adalah fungsi yang hendak dioptimumkan fungsi tujuan dan adalah fungsi kendala equality constraint. Untuk menentukan nilai
ekstrim dari persoalan tersebut digunakan pengali Lagrange λ dengan fungsi kendala ke dan persamaan fungsi Lagrangenya:
,λ ∑ λ
3.5 Fungsi baru Lagrange dapat pula dibentuk dengan cara mengurangkan
fungsi yang hendak dioptimumkan terhadap hasil kali pengali Lagrange λ dengan fungsi kendala, hasilnya tetap sama kecuali pada tanda hasil perhitungan λ.
Pengali Lagrange atau λ adalah suatu variabel tak tentu yang hanya bersifat pembantu.
Contoh 3.1:
Tentukan nilai , , dan yang meminimumkan fungsi
, , 4
4 6
16 dengan kendala 15
Penyelesaian: Minimumkan:
, , 4
4 6
16 dengan kendala:
15 Maka fungsi baru Lagrangenya:
, , ,λ 4
4 6
16 λ 15
Syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim: λ 0
Universitas Sumatera Utara
sehingga turunan pertama terhadap setiap variabel adalah sebagai berikut: 2
4 λ
0 → λ 2
4 3.6
8 4
λ 0 → λ
8 4
3.7 2
6 λ 0 → λ 2
6 3.8
λ
15 0 3.9
dari persamaan 3.6 dan 3.7 diperoleh: 2
4 8
4 6
12 2
3.10 dari persamaan 3.6 dan 3.8 diperoleh:
2 4
2 6
substitusi persamaan 3.10 ke persamaan 3.6 sehingga: 2 2
4 2
6 2
6 0 3
substitusi 3 dan persamaan 3.10 ke pesamaan 3.9
15 0 2
3 15 0 3
12 0 4
karena 2 maka
2 4 8.
Universitas Sumatera Utara
Jadi, nilai optimal dari persoalan di atas adalah 8,
4, dan 3
dengan nilai ekstrim , ,
7. Untuk melihat apakah hasil di atas memberikan nilai minimum dari , maka uji
syarat cukup fungsi. Sehingga persamaannya:
,,
11 12
21 22
13 11
23 12
31 32
11 12
33 13
13
,, 0
keterangan:
-
= turunan untuk pada persamaan ke
.
-
= turunan untuk pada persamaan kendala larange ke .
atau ,
2 4
4
8 1
0 1 1
1 2
1 1
, 0
menjadi
2 2
4 1
4
8
1 1
1 1
2
4 4
8
1 1
1
2
1
1
4 1
8
1
1
1
2 2
1 4
1
23
1
1 2
4 4
8 1
2
1
1
4 1
8
1
1
1
2 2
1 4
1
23
1
1 2
4 4
8 1
2 4
12 6
5 4
10
2
5 2
18 2
4
10
2
5 4 36 22
2
2
5 4
10
2
5 36 32
3
2
0 atau
67 √ 9
Karena nilai adalah positif, maka penyelesaian di atas yaitu 8,
4, dan 3 adalah penyelesaian minimum dengan nilai
7.
Universitas Sumatera Utara
3.2 Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi
Kategori