dari persamaan 3.24 dan 3.25 diperoleh: 8
5.000 4=
2.500 → 20.000 20.000=
= Maka
5.000 2.500= 90.000 0
5.000 2.500
90.000 0 7.500
90.000 12
karena = maka = 12.
Sehingga, 4
2= 5 869.
Jadi, kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum adalah 12 unit pakaian dan 12 unit makanan dengan nilai kepuasan
869.
3.3 Produk Marjinal Parsial dan Keseimbangan Produksi
Untuk memproduksi suatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan
sebagainya. Jika jumlah keluaran yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan masukan yang digunakan dilambangkan dengan
-
. 1, 2, … , ; , maka fungsi produkasinya dapat dituliskan dengan notasi
A , , , … ,
. Sebagian dari masukan yang digunakan sudah barang tentu merupakan
masukan tetap, sementara sebagian lainnnya adalah masukan variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua
macam masukan variabel misalkan U dan V, maka fungsi produksinya secara
pasti dapat dituliskan dengan, A
U, V 3.26
Derivatif pertama merupakan produk marjinal parsialnya.
I W
adalah produk marjinal berkenaan dengan barang U
Universitas Sumatera Utara
I X
adalah produk marjinal berkenaan dengan barang V Untuk
P konstanta tertentu, fungsi utilitas A U, V merupakan suatu
persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi penggunaan masukan
U dan V yang menghasilkan keluaran dalam jumlah yang sama.
Keseimbangan produksi adalah suatu keadaan atau tingkat penggunaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian
produksi dengan kombinasi biaya terendah least cost combination. Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan
isoquant. Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam masukan berkenaan dengan harga masing-masing
masukan dan jumlah dana yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli masukan
U dan masukan l adalah sebesar M, serta harga masukan k dan masukan l masing-masing
A
W
dan A
X
, persamaan isocost-nya dapat dituliskan dengan notasi:
B U. A
W
V. A
X
3.27 Tingkat kombinasi penggunaan masukan yang optimum atau least cost
combination dapat dicara dengan metode pengali Lagrange. Dalam hal ini fungsi produksi
A U, V
dimaksimumkan terhadap
fungsi isocost
B U. A
W
V. A
X
. Fungsi tujuan yang hendak dioptimumkan:
A U, V
Fungsi kendala yang dihadapi :
B U. A
W
V. A
X
U. A
W
V. A
X
B 0 Fungsi baru Lagrange :
D U, V U, V
E U. A
W
V. A
X
B 3.28
Syarat perlu agar D U, V maksimum:
D
W
U, V 0 →
W
U, V E. A
W
3.29
Universitas Sumatera Utara
D
X
U, V 0 →
X
U, V E. A
X
3.30 Dari persamaan 3.29 dan 3.30, nilai
U dan nilai V dapat dicari, sehingga nilai A maksimum dapat dihitung.
Selanjutnya: Produksi total
: A
U, V Produksi marjinal barang
U : BA
W W
U, V
I W
3.31 Produksi marjinal barang
V : BA
X X
U, V
I X
3.32 Pengembangan lebih lanjut dari persamaan 3.29 dan 3.30 menghasilkan:
W
U, V E. A
W
0 → E
G
Z
W,X I
Z
X
U, V E. A
X
0 → E
G
[
W,X I
[
Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan:
G
Z
W,X I
Z
G
[
W,X I
[
berakibat
KI
Z
I
Z
KI
[
I
[
3.33 Dapat diartikan pula bahwa produksi optimum dengan biaya terendah akan
tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing-masing masukan terhadap harganya bernilai sama.
Contoh 3.4:
Sebuah perusahaan mempunyai tiga pabrik yang memproduksi barang dagangan yang sama. Jika pabrik A memproduksi satuan, pabrik B memproduksi
= satuan, pabrik C memproduksi satuan, berturut-turut dengan biaya pembuatan
3 200 dolar, =
400 dolar, 2 300 dolar. Jika harus mengisi
permintaan sebanyak 1.100 satuan, tentukan bagaimana produksi tersebut harus dibagikan kepada ketiga pabrik itu agar dicapai biaya pembuatan yang minimum.
Universitas Sumatera Utara
Penyelesaian: Minimumkan
\ , =, 3
200 =
400 2
300 3
= 2
900 dengan kendala
= 1.100
diperoleh fungsi baru Lagrange: 3
= 2
900 E =
1.100
agar minimum: 6
E → E 6 3.34
?
2= E → E 2= 3.35
L
4 E → E 4
3.36
M
= 1.100 →
1.100 = 3.37
dari persamaan 3.34 dan 3.35 diperoleh: 6
2= → = 3 dari persamaan 3.34 dan 3.36 diperoleh:
6 4 →
3 2
dari persamaan 3.37 diperoleh: 1.100 3
3 2
200 Maka
= 600 dan 300.
Jadi agar dicapai biaya pembuatan yang minimum, pabrik A memproduksi 200 satuan, pabrik B memproduksi 600 satuan dan pabrik C memproduksi 300 satuan.
Universitas Sumatera Utara
Contoh 3.5:
Seorang petani mempunyai dua tanaman, ] dan . Biaya untuk memproduksi
unit tanaman ] adalah
1.200 dan biaya untuk memproduksi = unit tanaman adalah 3=
800. Jika petani mempunyai pesanan 1.200 unit. Berapa banyak masing-masing tanaman harus dipoduksi untuk memenuhi pesanan yang
meminimumkan biaya produksi. Penyelesaian:
Minimumkan \ , =
1.200 3=
800 3=
2.000 dengan kendala
= 1.200
diperoleh fungsi baru Lagrange: D , =
3= 2.000 E
= 1.200 agar
D maksimum: D
, = 2
E → E 2 3.38
D
?
, = 6= E → E 6=
3.39 D
M
, = = 1.200 →
1.200 = 3.40
dari persamaan 3.38 dan 3.39 diperoleh: 2
6= 3=
dari persamaan 3.40 diperoleh: 3= 1.200 =
= 300
Maka 900.
Jadi masing-masing tanaman yang harus diproduksi yang meminimumkan biaya produksi adalah
900 dan = 300.
Universitas Sumatera Utara
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN
