2.3 Matriks Hessian
Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari turunan pasial kedua dari suatu fungsi. Misalkan
fungsi dengan variabel yang
memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinu. Matriks Hessian dari ditulis H adalah:
H 1
2 2
2 2
3
4
5
6 4
7 5
4
5
6 4
7 5
⋯
4
5
6 4
7 9
4
5
6 4
5 7
4
5
6 4
5 5
⋯
4
5
6 4
5 9
⋯
4
5
6 4
9 7
⋯
4
5
6 4
9 5
⋱ ⋯ ⋯
4
5
6 4
9 5
= =
= =
2.2
Definisi 2.2:
Jika terdapat suatu matriks berukuran ? , maka principal minor ke di mana
adalah suatu sub matriks dengan ukuran ? yang diperoleh dengan menghapus
baris dan kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut.
Contoh 2.2:
Andaikan A adalah suatu matriks berukuran 3 ? 3 sebagai berikut:
A B 2 6 3
1 5 2 3 4 1
C
maka, principal minor ke-1 adalah [2], [5] dan [1]. Principal minor ke-2 adalah
matriks 2 ? 2 sebagai berikut:
D2 6 1 5E
D2 3 3 1E
D5 2 4 1E
Principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri. Determinan dari suatu principal minor disebut dengan determinan principal.
Universitas Sumatera Utara
Leading principal minor ke dari suatu matriks ? diperoleh dengan
menghapus baris terakhir dan kolom yang bersesuaian. Dari matriks A di
atas, maka leading principal minor ke-1 adalah 2 hapus dua baris dan dua kolom
terakhir. Leading principal minor ke-2 adalah:
D2 6 1 5E
Dengan demikian, leading principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri.
Determinan dari suatu leading principal minor adalah determinan leading
principal. Banyaknya determinan leading principal dari suatu matriks ?
adalah .
Untuk menentukan apakah suatu matriks adalah definit positif, semidefinit positif, definit negatif, semidefinit negatif, atau indefinit dapat dilakukan suatu
pengujian sederhana di mana hanya berlaku jika matriksnya simetris. Uji Matriks Definit Positif
1. Semua elemen diagonal positif.
2. Semua determinan
leading principal positif. Uji Matriks Semidefinit Positif
1. Semua elemen diagonal non negatif.
2. Semua determinan
leading principal non negatif. Suatu matriks dapat dikatakan definit negatif semidefinit negatif, yaitu
dengan melakukan uji negatif dari matriks untuk definit positif semidefinit positif. Jika matriks tersebut memiliki sekurang-kurangnya dua elemen diagonal
yang berlawanan tanda, maka matriks tersebut menjadi indefinit.
Contoh 2.3:
Untuk mendapatkan titik ekstrim dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh sebagai berikut:
, 4
1
Universitas Sumatera Utara
Maka solusi untuk menyelesaikannya tentukan titik ekstrim yang memenuhi syarat sehingga turunan pertama untuk setiap variabel adalah
46 4
7
3 4
2.3
46 4
5
2 4
2 2
2.4 0 atau
2 Kemudian substitusi masing-masing nilai
dan ke persamaan 2.3.
untuk 0, dan
46 4
7
0 diperoleh: 3
4 4
4 0 atau
4 untuk
2, dan
46 4
7
0 diperoleh: 3
4 3 4 0
3 4
IJ 4
3 I
2 3 √3
2 3 √3 atau
2 3 √3
Persamaan 2.3 dan 2.4 dipenuhi oleh titik-titik: 0,0 , 0,4 , L
2 3 √3, 2M , L
2 3 √3, 2M
Untuk mengetahui titik maksimum dan minimum maka digunakan matriks Hessian untuk menyelidikinya sehingga turunan kedua dari adalah:
N N
6
Universitas Sumatera Utara
N N
2 , dan N
N N
N 2 4
Jadi matriks Hessiannya menjadi Q R 6
2 4 2 4
2 S
sehingga diperoleh Q
T6 U, karena matriks Q merupakan matriks Q maka Q
Q R 6 2 4
2 4 2
S
Tabel 2.1 Nilai Matriks Hessian Untuk Masing-Masing Titik Ekstrim ,
Matriks H Q
Q Sifat H
Sifat ,
, 0,0
D 0 4 4 0 E
-16 Tak tentu
Titik belok 1
0,4 D0 4
4 0E -16
Tak tentu Titik belok
1 L
2 3 √3, 2M
V 4√3
4 3 √3
W 4√3 16
Definit positif
Minimum 16
9 √3 1
L 2
3 √3, 2M V
4√3 4
3 √3 W 4√3 16
Definit negatif
Maksimum 16
9 √3 1
Universitas Sumatera Utara
L 2
3 √3, 2M
L 2
3 √3, 2M 0,0
0,4 Grafik
dalam ruang tiga dimensi diperlihatkan oleh Gambar 2.3.
Gambar 2.3 Grafik ,
4 1
2.4 Optimasi
Kategori