2.4.1 Optimasi Tak Bersyarat
Masalah optimasi tak bersyarat merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan-batasan, hanya memiliki fungsi tujuan yang sederhana, yaitu:
Memaksimumkanmeminimumkan: 2.5
untuk semua , , … ,
dan adalah sebuah fungsi yang dapat
didiferensialkan. Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian
∗
merupakan penyelesaian optimal adalah Y
∗ 46
4
Z
0 di
∗
untuk 1,2, … ,
2.6
Teorema Fermat:
Jika mempunyai minimum atau maksimum lokal di
∗
dan jika derivasi pertama dari
memiliki nilai pada titik
∗
,maka Y
∗
0.
Teorema 2.1:
Titik
∗
adalah titik maksimum lokal dari jika dan hanya jika:
i Y
∗
ii H
∗
0 definit negatif atau 1 |Q| 0 untuk
1,2, … , dengan H adalah matriks Hessian
Teorema 2.2:
Titik
∗
adalah titik minimum lokal dari jika dan hanya jika:
i Y
∗
ii H
∗
0 definit positif atau |Q| 0 untuk
1,2, … , dengan H adalah matriks Hessian
Matriks juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua pada proses optimasi tak bersyarat terutama pada fungsi multivariabel lebih dari satu variabel bebas,
yaitu menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan Hessian
Hessian Determinant. Determinan Hessian diturunkan dari matriks
Universitas Sumatera Utara
bujur sangkar di mana elemen-elemennya merupakan turunan kedua parsial. Jika , , … ,
maka matriks Hessiannya mempunyai dimensi n ? n.
Diagonal utama principal diagonal dari matriks Hessian terdiri dari turunan
kedua parsial langsung, sedangkan elemen-elemen di luar diagonal utama merupakan turunan kedua silang.
Jadi penggunaan determinan Hessian untuk uji syarat kedua akan menghasilkan:
1. Maksimum relatif jika
H
∗
definit negatif. 2.
Minimum relatif jika H
∗
definit positif. 3.
Jika kedua kondisi tidak dipenuhi maka tidak diperoleh suatu kesimpulan, apakah fungsi mempunyai maksimum atau minimum.
2.4.2 Optimasi Bersyarat
Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki batasan-batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi
fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Masalah optimasi
bersyarat dengan kendala persamaan merupakan masalah optimasi yang dibatasi dengan batasan-batasan berupa persamaan dengan bentuk umum sebagai berikut:
Memaksimumkanmeminimumkan : 2.7
dengan kendala :
1,2, … , , , … , _
`
Determinan Hessian juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua dari optimasi fungsi dengan kendala persamaan, dinamakan matriks Hessian terbatas
bordered Hessian. Disebut dengan matriks Hessian terbatas karena turunan parsial kedua
dari fungsi Lagrange terhadap dibatasi oleh turunan parsial pertama dari fungsi
Universitas Sumatera Utara
kendala. Matriks Hessian Terbatas adalah matriks yang entri-entrinya adalah turunan parsial kedua dari fungsi Lagrange berikut:
a , , b ,
b ,
Syarat 1 Syarat 2
Na N
Na N
Na Nb 0
N N
N N
N N
N a N
N a N
N N
N a N
N a N
Q
c
d a
a a
a d atau d
a a
a a
d
Q
c
disebut bordered Hessian yaitu determinan Hessian asli yang dibatasi
oleh turunan pertama dari fungsi kendala dengan nol sebagai principal diagonal.
Ordo dari bordered principal minor ditentukan oleh principal minor yang dibatasi.
Determinan Hessian asli adalah ea
a a
a e .
Q
c
Q
c
disebut second bordered principal minor karena principal minor yang dibatasi mempunyai dimensi
2 ? 2. Untuk fungsi dengan n variabel determinan Hessiannya sebagai berikut:
Q
c
f f
… a
a … a
⋮ a
⋮ a
a ⋮
a …
⋱ …
a ⋮
a f
f 2.8
di mana Q
c
Q
c
karena principal minor yang dibatasi berorder n ? n, sehingga:
1. Maksimum relatif jika
Q
c
definit negatif, di mana Q
c
0 atau 1 |Q
c
| 0 untuk
2,3, … , dengan Q
c
adalah matriks Hessian terbatas
bordered Hessian.
Universitas Sumatera Utara
2. Minimum relatif jika
Q
c
definit positif, di mana Q
c
0 atau |Q
c
| 0 untuk
2,3, … , dengan Q
c
adalah matriks Hessian terbatas bordered Hessian.
Uji syarat kedua dengan bordered Hessian dimulai dari
Q
c
bukan Q
c
.
2.5 Metode Pengali Lagrange
Kategori