BAB 2 LANDASAN TEORI
2.1 Pemrograman Non linier
Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam
model matematika yang memuat fungsi tujuan non linier dan fungsi kendala linier atau non linier. Hal ini didasarkan pada penemuan beberapa contoh penerapan
dalam dunia usaha bisnis yang menggunakan asumsi ketaklinieran dalam membuat perencanaan. Bentuk umum dari pemrograman non linier adalah untuk
menentukan , , … ,
, sehingga mencapai tujuan yaitu: Memaksimumkanmeminimumkan :
, , , … ,
2.1 dengan kendala
: , ,
1,2, … , di mana
dan merupakan fungsi-fungsi dengan n variabel keputusan.
2.2 Maksimum dan Minimum
Dalam program non linier tidak selamanya terdapat satu titik maksimum ataupun minimum. Sebuah fungsi dapat memiliki lebih dari satu maksimum ataupun
minimum. Suatu fungsi dikatakan memiliki maksimum lokal maksimum relatif di
jika lebih besar dari sembarang nilai
lainnya dari sekitar , dan dikatakan memiliki minimum lokal minimum relatif di jika
lebih kecil dari sembarang nilai
lain untuk sekitar . Maksimum mutlak maksimum global dari adalah nilai yang paling tinggi dari seluruh nilai-nilai fungsi
tersebut. Dengan kata lain, dikatakan memiliki maksimum mutlak global di jika
untuk semua di , di mana adalah daerah asal domain dari
Universitas Sumatera Utara
dan disebut nilai maksimum pada
. Sebaliknya, minimum mutlak minimum global dari adalah nilai yang paling rendah dari seluruh nilai-nilai
fungsi tersebut. Dengan kata lain, dikatakan memiliki minimum mutlak global di jika
untuk semua di , di mana adalah daerah asal domain dari dan
disebut nilai minimum pada . Jika memiliki maksimum atau minimum lokal di , maka adalah titik kritis . Jika tidak memiliki maksimum
atau minimum dan memiliki kemiringan 0 di , maka adalah titik belok saddle
point Stewart, 1999. Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum kurvanya berbentuk cembung ke atas dan fungsi yang mempunyai titik
minimum kurvanya berbentuk cembung ke bawah, diperlihatkan oleh Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Grafik Maksimum dan Minimum Uji Turunan Pertama
Andaikan adalah titik kritis dari fungsi kontinu .
1. Jika
berubah dari positif ke negatif pada , maka memiliki maksimum lokal pada .
2. Jika
berubah dari negatif ke positif pada , maka memiliki minimum lokal pada .
Universitas Sumatera Utara
3. Jika
tidak berubah tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya pada , maka tidak memiliki maksimum ataupun minimum lokal pada .
Uji Turunan Kedua Andaikan
kontinu dekat . 1.
Jika 0 dan
0, maka memiliki minimum lokal pada . 2.
Jika 0 dan
0, maka memiliki maksimum lokal pada .
Pada kasus suatu fungsi dengan satu variabel bebas nilai ekstrim dapat dilukiskan dalam suatu grafik dengan dua dimensi. Titik maksimum dilukiskan
sebagai puncak suatu bukit dan titik minimum sebagai dasar suatu lembah. Dengan dua variabel bebas, fungsi
, merupakan bidang yang berada dalam ruang berdimensi tiga. Meskipun titik maksimum dilukiskan sebagai
puncak bukit dan titik minimum dilukiskan sebagai dasar lembah, akan tetapi baik bukit maupun lembah mempunyai sifat tiga dimensi.
Definisi 2.1:
Titik ,
dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi jika ,
0 dan ,
0. Definisi 2.1, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrim fungsi dua
variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama dan adanya titik yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol.
Andaikan adalah fungsi dua variabel dari dan sedemikian sehingga dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu. Andaikan pula bahwa
, 0 dan
, 0.
1. ,
dikatakan sebagai nilai maksimum , jika: ,
, ,
0, dan ,
0 atau ,
0. 2.
, dikatakan sebagai nilai minimum , jika:
, ,
, 0, dan
, 0 atau
, 0.
Universitas Sumatera Utara
3. ,
, ,
0, uji gagal dan ,
dikatakan bukan nilai ekstrim dan
, disebut dengan titik pelana.
Pada fungsi multivariabel lebih dari satu variabel bebas, yaitu , , … ,
untuk uji syarat kedua dapat menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan Hessian.
Contoh 2.1:
Tentukan nilai ekstrim dari fungsi 12
45 40
5 pada
∞, ∞
Penyelesaian : Syarat perlu untuk mencari nilai ekstrim yang pertama adalah turunan
pertama dari adalah
0. Maka 60
3 2
0, sehingga diperoleh titik-titik kritis dari
yaitu 0,
1 dan 2.
Turunan kedua dari adalah
60 4 9 4 , sehingga
0 untuk 1 dan
0 untuk 2. Maka
memiliki maksimum di
1 dan minimum di 2. Sehingga 1
12 merupakan nilai maksimum dari
dan 2
11 merupakan minimum dari .
Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.2.
Gambar 2.2 Grafik 12
45 40
5 Maksimum
Minimum Titik Belok
Universitas Sumatera Utara
2.3 Matriks Hessian