Pemrograman Non linier Maksimum dan Minimum

BAB 2 LANDASAN TEORI

2.1 Pemrograman Non linier

Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model matematika yang memuat fungsi tujuan non linier dan fungsi kendala linier atau non linier. Hal ini didasarkan pada penemuan beberapa contoh penerapan dalam dunia usaha bisnis yang menggunakan asumsi ketaklinieran dalam membuat perencanaan. Bentuk umum dari pemrograman non linier adalah untuk menentukan , , … , , sehingga mencapai tujuan yaitu: Memaksimumkanmeminimumkan : , , , … , 2.1 dengan kendala : , , 1,2, … , di mana dan merupakan fungsi-fungsi dengan n variabel keputusan.

2.2 Maksimum dan Minimum

Dalam program non linier tidak selamanya terdapat satu titik maksimum ataupun minimum. Sebuah fungsi dapat memiliki lebih dari satu maksimum ataupun minimum. Suatu fungsi dikatakan memiliki maksimum lokal maksimum relatif di jika lebih besar dari sembarang nilai lainnya dari sekitar , dan dikatakan memiliki minimum lokal minimum relatif di jika lebih kecil dari sembarang nilai lain untuk sekitar . Maksimum mutlak maksimum global dari adalah nilai yang paling tinggi dari seluruh nilai-nilai fungsi tersebut. Dengan kata lain, dikatakan memiliki maksimum mutlak global di jika untuk semua di , di mana adalah daerah asal domain dari Universitas Sumatera Utara dan disebut nilai maksimum pada . Sebaliknya, minimum mutlak minimum global dari adalah nilai yang paling rendah dari seluruh nilai-nilai fungsi tersebut. Dengan kata lain, dikatakan memiliki minimum mutlak global di jika untuk semua di , di mana adalah daerah asal domain dari dan disebut nilai minimum pada . Jika memiliki maksimum atau minimum lokal di , maka adalah titik kritis . Jika tidak memiliki maksimum atau minimum dan memiliki kemiringan 0 di , maka adalah titik belok saddle point Stewart, 1999. Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum kurvanya berbentuk cembung ke atas dan fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk cembung ke bawah, diperlihatkan oleh Gambar 2.1. Gambar 2.1 Grafik Maksimum dan Minimum Uji Turunan Pertama Andaikan adalah titik kritis dari fungsi kontinu . 1. Jika berubah dari positif ke negatif pada , maka memiliki maksimum lokal pada . 2. Jika berubah dari negatif ke positif pada , maka memiliki minimum lokal pada . Universitas Sumatera Utara 3. Jika tidak berubah tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya pada , maka tidak memiliki maksimum ataupun minimum lokal pada . Uji Turunan Kedua Andaikan kontinu dekat . 1. Jika 0 dan 0, maka memiliki minimum lokal pada . 2. Jika 0 dan 0, maka memiliki maksimum lokal pada . Pada kasus suatu fungsi dengan satu variabel bebas nilai ekstrim dapat dilukiskan dalam suatu grafik dengan dua dimensi. Titik maksimum dilukiskan sebagai puncak suatu bukit dan titik minimum sebagai dasar suatu lembah. Dengan dua variabel bebas, fungsi , merupakan bidang yang berada dalam ruang berdimensi tiga. Meskipun titik maksimum dilukiskan sebagai puncak bukit dan titik minimum dilukiskan sebagai dasar lembah, akan tetapi baik bukit maupun lembah mempunyai sifat tiga dimensi. Definisi 2.1: Titik , dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi jika , 0 dan , 0. Definisi 2.1, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrim fungsi dua variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama dan adanya titik yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol. Andaikan adalah fungsi dua variabel dari dan sedemikian sehingga dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu. Andaikan pula bahwa , 0 dan , 0. 1. , dikatakan sebagai nilai maksimum , jika: , , , 0, dan , 0 atau , 0. 2. , dikatakan sebagai nilai minimum , jika: , , , 0, dan , 0 atau , 0. Universitas Sumatera Utara 3. , , , 0, uji gagal dan , dikatakan bukan nilai ekstrim dan , disebut dengan titik pelana. Pada fungsi multivariabel lebih dari satu variabel bebas, yaitu , , … , untuk uji syarat kedua dapat menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan Hessian. Contoh 2.1: Tentukan nilai ekstrim dari fungsi 12 45 40 5 pada ∞, ∞ Penyelesaian : Syarat perlu untuk mencari nilai ekstrim yang pertama adalah turunan pertama dari adalah 0. Maka 60 3 2 0, sehingga diperoleh titik-titik kritis dari yaitu 0, 1 dan 2. Turunan kedua dari adalah 60 4 9 4 , sehingga 0 untuk 1 dan 0 untuk 2. Maka memiliki maksimum di 1 dan minimum di 2. Sehingga 1 12 merupakan nilai maksimum dari dan 2 11 merupakan minimum dari . Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.2. Gambar 2.2 Grafik 12 45 40 5 Maksimum Minimum Titik Belok Universitas Sumatera Utara

2.3 Matriks Hessian