2. Minimum relatif jika
Q
c
definit positif, di mana Q
c
0 atau |Q
c
| 0 untuk
2,3, … , dengan Q
c
adalah matriks Hessian terbatas bordered Hessian.
Uji syarat kedua dengan bordered Hessian dimulai dari
Q
c
bukan Q
c
.
2.5 Metode Pengali Lagrange
Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ekstrim terbatas adalah dengan cara substitusi. Dengan metode substitusi, salah satu variabel bebas
dari persamaan terkendala disubstitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari nilai ekstrimnya. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan
melalui ekstrim bebas fungsi. Namun demikian, metode substitusi tidak selalu membawa hasil, jika batasan-batasannya tidak hanya melibatkan satu persamaan
kendala. Disamping itu, masalah-masalah ekstrim terbatas sering timbul dalam
masalah-masalah nyata, di mana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi. Masalah yang sering timbul dengan metode substitusi adalah tidak mudah untuk
menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange
dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange
menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di
atasi. Metode pengali Lagrange adalah sebuah teknik yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat dengan kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian sehingga syarat perlu untuk masalah optimasi tak
bersyarat masih dapat diterapkan. Sesuai namanya, konsep Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange 1736-1813. Inti dari metode pengali
Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik ekstrim bebas kendala. Teori pengali Lagrange digunakan untuk menangani
Universitas Sumatera Utara
optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Metode pengali Lagrange dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:
a ,λ ∑
λ
i j
2.9 Asumsikan masalah maksimisasi suatu fungsi kontinu dan dapat
diturunkan , , … ,
dengan kendala , , … ,
, di mana juga kontinu dan dapat diturunkan. Kondisi tersebut menyarankan bahwa
dapat dipilih variabel pada kendala dan menyatakan variabel yang lain,
sehingga Q , , … ,
k
. Kemudian disubstitusikan ke fungsi tujuan untuk mendapatkan:
T , , … ,
k
, Q , , … ,
k
U 2.10
Dalam bentuk persamaan 2.10, metode klasik dapat diterapkan karena fungsinya tanpa kendala. Suatu syarat perlu untuk titik ekstrim adalah dengan
menghilangkan semua turunan pertama yaitu
4l 4
Z
0, di mana 1,2, … , 1.
Dengan menggunakan dalil rantai diperoleh:
4l 4
Z
46 4
Z
46 4
9
∙
4n 4
Z
0, di mana 1,2, … , 1
2.11 dari
, , … , , diperoleh:
4o 4
Z
4o 4
9
∙
4n 4
Z
0, di mana 1,2, … , 1
sehingga persamaannya menjadi:
4n 4
Z pq
prZ pq
pr9
,
4o 4
9
s 0 untuk 1,2, … , 1
2.12 substitusi persamaan 2.12 ke persamaan 2.11, sehingga:
N N
N N
N N t
N N
N N
u 0
Universitas Sumatera Utara
4l 4
Z
46 4
Z
46 4
9
v
pq prZ
pq pr9
w 0, 1,2, … , 1
Jika vektor solusi yang diperoleh adalah vektor maksimum, maka
∗
,
∗
, … ,
∗
adalah nilai maksimum. Dengan mengganti
px pr9
pq pr9
b, maka
46 4
Z
b
4o 4
Z
0, di mana 1,2, … , dengan syarat
, , … , .
Teorema 2.3:
Syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala
0, dengan 1,2, … , agar mempunyai maksimumminimum relatif pada titik
∗
adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai
a , , … , , b , b , … , b
i
terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol Luknanto, 2000.
Dengan kata lain, syarat perlu untuk maksimum dan minimum dari dengan
kendala 0 dapat dicapai dengan
Na N
0 dan Na
Nb Jika
y
∗
, b
∗
z adalah titik kritis dari a , b maka
∗
juga merupakan titik kritis dari
dengan kendala . Jadi nilai ekstrim
dengan kendala adalah
∗
.
Teorema 2.4:
Syarat cukup
bagi sebuah
sebuah fungsi
agar mempunyai
minimummaksimum relatif pada titik
∗
adalah jika fungsi kuadrat Q yang didefinisikan sebagai:
{ ∑ ∑
4
5
| 4
}
4
Z
j j
~ ~ 2.13
Dievaluasi pada
∗
harus definit positif atau negatif untuk setiap nilai ~
yang memenuhi semua kendala Luknanto, 2000.
Universitas Sumatera Utara
Syarat cukup sebuah fungsi agar mempunyai minimummaksimum dapat
ditentukan dengan matriks Hessian terbatas. Matriks Hessian Terbatas Bordered
Hessian didefinisikan sebagai berikut: Q
c
R O P P
•
QS
iƒ ? iƒ
2.14
di mana O adalah matriks null berukuran ? ,
P V „
⋯ „ ⋮
⋱ ⋮
„
i
⋯ „
i
W
i? ,
2.15
P
•
adalah transpose dari matriks P, dan
Q 1
2 2
2 3
4
5
| 4
7 5
…
4
5
| 4
7
4
9
⋮ ⋱
⋮
4
5
| 4
9
4
7
…
4
5
| 4
9 5
= =
= 2.16
Syarat perlu agar { ∑ ∑
4
5
| 4
}
4
Z
j j
~ ~ menjadi definit positif atau negatif
untuk setiap variasi nilai ~ adalah setiap akar dari polinomial , yang diperoleh
dari determinan persamaan di bawah ini harus positif atau negatif.
f f
f a
a a
a a
a ⋮
⋮ ⋮
… a … a
⋱ ⋮
⋮ …
i
…
i
⋮ ⋱
⋮ a
a a
… a
i
… …
i
…
i
… …
⋮ ⋮ ⋮
i i
i
⋱ ⋮ ⋮ …
i
⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0
f f
f
2.17
dengan a
4
5
| …
∗
,† 4
}
4
Z
dan
4o
}
…
∗
4
Z
Luknanto, 2000. keterangan:
a
= turunan untuk pada persamaan ke
= turunan untuk pada persamaan kendala larange ke
Universitas Sumatera Utara
~ ~
2.24 Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik, dimisalkan
terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut: Maksimumkan minimumkan
2.18 dengan kendala
Fungsi Lagrangenya adalah a ,λ
λy z
2.19 Syarat perlu untuk penyelesaiannya adalah
4| 4
}
0 untuk ‡ 1,2, … , dan 2.20
4| 4λ
2.21 sehingga persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 menghasilkan:
46 4
}
λ
4o 4
}
0 untuk ‡ 1,2, … , 2.22
0 atau 2.23
dari persamaan 2.22 diperoleh: N
N ~ λ
N N ~
0 untuk ‡ 1,2, … ,
atau ˆ
N N ~
j
λ ˆ N
N ~
j
0 untuk ‡ 1,2, … , atau
ˆ N
N ~
j
λ ˆ
N N ~
j
atau
ˆ N
N ~
j
λ ˆ
N N ~
j
Universitas Sumatera Utara
Persamaan 2.23 dan 2.24 menghasilkan hasil yang final yaitu: ~
λ ~
atau ~
λ
∗
~ 2.25
Dari persamaan 2.22 pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan berbanding lurus dengan perubahan kendala dengan faktor sebesar pengali
Lagrange yaitu λ.
2.6 Utilitas Marjinal
