Ejer. 1-8: Encuentre a el producto punto de los dos vecto- res y b el ángulo entre los dos vectores.
1 2
24;
3 4
5 9i,
6 6j,
4i
45; 0; 90
7 8
15; 0
Ejer. 9-12: Demuestre que los vectores son ortogonales.
9 10
11 4j,
7i 12
Ejer. 13-16: Demuestre que los vectores son paralelos y de- termine si tienen la misma dirección o direcciones opuestas.
13
Opposite
14
Same
15
Same
16
Opposite
b
4, 12
a
6, 18,
b 8, 6
a
2 3
,
1 2
,
b 10i 24j a
5 2
i 6j, b
12 7
i
20 7
j a 3i 5j,
8i 4j 6i 12j 0 4j 7i 0
6i 12j 8i 4j,
3, 6 4, 2 0 4, 1 2, 8 0
4, 2 3, 6,
2, 8 4, 1,
149 5
; 180
1, 2 3, 6,
2,
7 5
10, 7,
3840
5i 4j
37; 5330
14; 16021
2i 7j 8i 3j,
3i 2j 4i j,
29; 1763
4822
2, 3 4, 7,
3, 6 2, 5,
Ejer. 17-20: Determine m tal que los dos vectores sean orto- gonales.
17 18
19 20
Ejer. 21-28: Dado que a 2, 3, b 3, 4, y c 1, 5,
encuentre el número.
21 a
23
b
23
22 a
23
b
23
23
51
24
65
25 26
3.4
27
2.2
28
Ejer. 29-32: Si c representa una fuerza constante, encuentre el trabajo realizado si el punto de aplicación de c se mueve
a lo largo del segmento de recta de P a Q.
29
7
30
44
31
28
Sugerencia: Encuentre un vector
tal que b PQ
l
. b
b
1
, b
2
Q 4, 3
P 2, 1,
c 6i 4j;
Q 4, 7
P 0, 0,
c 10i 12j;
Q 5, 2
P 0, 0,
c 3i 4j;
2
26
comp
c
c
comp
b
a c
comp
b
c
17
2
26 3.33
comp
c
b a b b c
2a b 3c b a b c
b a c
a b a c a
b c
21 10
2i 7j 5mi 3j,
3 8
i 4mj 9i 16mj,
5 6
6 5
9mi 25j 4mi j,
4i 5mj 3i 2j,
614
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
S O L U C I Ó N
Introduzcamos un sistema de coordenadas xy, como se ve en la figura 9. El vector PQ representa la fuerza de la gravedad que actúa vertical-
mente hacia abajo con una magnitud de 100 libras. El vector F correspondien- te es 0i 100j. El punto de aplicación de esta fuerza se mueve a lo largo del
vector PR de magnitud 80. Si
corresponde a a a
1
i a
2
j, entonces, al ob-
servar el triángulo PTR, vemos que
y por lo tanto Aplicando la definición, encontramos que el trabajo realizado por la gravedad
es pie-lb.
El trabajo realizado contra la gravedad es pie-lb.
L
F a 4000 F a
0i 100j
40
2
3i 40j 0 4000 4000
a 40
2
3i 40j.
a
2
80 sen 30° 40, a
1
80 cos 30° 40
2
3 PR
l
8.4
E j e r c i c i o s
Figura 9
y
x P
T R
a
1
, a
2
30 80
Q 0, 100
www.elsolucionario.net
32
36
33 Una fuerza constante de magnitud 4 tiene la misma direc-
ción que j. Encuentre el trabajo realizado si su punto de aplicación se mueve de P0, 0 a Q8, 3.
34 Una fuerza constante de magnitud 10 tiene la misma direc-
ción que i. Encuentre el trabajo realizado si su punto de aplicación se mueve de P0, 1 a Q1, 0.
Ejer. 35-40: Demuestre la propiedad si a y b son vectores y m
es un número real.
35 36
37 38
39 40
41 Tirar de un carro Un niño jala un carro por un terreno a
nivel ejerciendo una fuerza de 20 libras en una jaladera que forma un ángulo de 30° con la horizontal, como se muestra
en la figura. Encuentre el trabajo realizado al tirar del carro 100 pies.
ft-lb
Ejercicio 41
42 Tirar de un carro Consulte el ejercicio 41. Encuentre el tra-
bajo realizado si se jala el carro, con la misma fuerza, 100 pies hacia arriba por un plano inclinado que forma un án-
gulo de 30° con la horizontal, como se ve en la figura.
Ejercicio 42
1000
2
3 1732
a b a b a a b b 0 a 0
m a b a mb
ma b ma b a b b a
a a a
2
Q 6, 1
P 2, 5,
c i 7j;
43 Los rayos del Sol El Sol tiene un radio de 432,000 millas y
su centro está a 93,000,000 de millas del centro de la Tierra. Sean v y w los vectores ilustrados en la figura.
a Exprese v y w en forma de i, j.
b Calcule el ángulo entre v y w.
Ejercicio 43
44 Luz diurna en julio La intensidad I de luz diurna en
wattsm
2
se puede calcular usando la fórmula I ke
c sen f
, donde k y c son constantes positivas y es el ángulo entre
los rayos del Sol y el horizonte. La cantidad de luz diurna que incide en una pared vertical colocada frente al Sol es
igual al componente de los rayos del Sol a lo largo de la horizontal. Si, durante el mes de julio, 30°, k 978 y
c
0.136, calcule la cantidad total de luz diurna que incide en una pared vertical que tiene un área de 160 m
2
.
Ejer. 45-46: Se usan extensamente vectores en gráficas de computadora para hacer sombreado. Cuando incide luz en
una superficie plana, se refleja y el área no debe estar som- breada. Suponga que un rayo entrante de luz está represen-
tado por un vector L y que N es un vector ortogonal a la superficie plana, como se ve en la figura. El rayo de luz re-
flejada puede ser representado por el vector R y se calcula usando la fórmula R 2N ⴢ LN L. Calcule R para los
vectores L y N.
45 Luz reflejada 46 Luz reflejada
Ejercicio 45–46
5 13
,
12 13
N
1 2
2
2,
1 2
2
2 L
12 13
,
5 13
,
4 5
,
3 5
N 0, 1
L
4 5
,
3 5
, Tierra
Sol
v w
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
615
L N
R
www.elsolucionario.net
