gramo-segundo se emplea el newton como unidad de fuerza. Si F es en new- tons y d es en metros, entonces la unidad para W es el newton-metro o joule.
E J E M P L O 6
Hallar el trabajo realizado por una fuerza constante
Encuentre el trabajo realizado al empujar un automóvil por un camino a nivel desde un punto A a otro punto B, a 40 pies de A, cuando se ejerce una fuerza
constante de 90 libras.
S O L U C I Ó N
El problema está ilustrado en la figura 5, donde hemos dibujado el camino como parte de una recta l. Como la fuerza constante es F 90 li-
bras y la distancia que se mueve el automóvil es d 40 pies, el trabajo reali- zado es
Figura 5
L
La fórmula W Fd es muy restrictiva, porque se puede usar sólo si la fuerza se aplica a lo largo de la línea de movimiento. En forma más general,
suponga que un vector a representa una fuerza y que su punto de aplicación se mueve a lo largo de un vector b. Esto se ilustra en la figura 6, donde la fuerza
a se emplea para tirar de un objeto por una trayectoria a nivel de O a B, y
.
Figura 6
Fuerza, a
O Q
B A
b OB
b OB
l
40 Fuerza 90 lb
A B
l
W 9040 3600 pies-lb.
612
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
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El vector a es la suma de los vectores OQ y QA, donde es ortogonal a
b. Como
no contribuye al movimiento horizontal, podemos suponer que el movimiento de O a B es causado sólo por
. Aplicando W Fd, sabemos que el trabajo es el producto de
y . Como la magnitud
obtenemos donde u representa ⬔AOQ. Esto lleva a la siguiente definición.
E J E M P L O 7
Hallar el trabajo realizado por una fuerza constante
La magnitud y dirección de una fuerza constante están dadas por a 2i 5j. Encuentre el trabajo realizado si el punto de aplicación de la fuerza se mueve
del origen al punto P4, 1.
S O L U C I Ó N
La fuerza a y el vector están trazados en la figura 7.
Como b 4, 1 4i j, tenemos, de la definición precedente,
Si, por ejemplo, la unidad de longitud es pies y la magnitud de la fuerza se mide en libras, entonces el trabajo realizado es 14 pies-lb.
L
E J E M P L O 8
Hallar el trabajo realizado contra la atracción gravitacional
Un pequeño carro que pesa 100 libras es empujado hacia arriba por un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal, como se ve en la fi-
gura 8. Encuentre el trabajo realizado contra la atracción gravitacional al em- pujar el carro una distancia de 80 pies.
Figura 8
30
24 51 13.
W a b 2i 5j 4i j
b OP
l
W comp
b
a b a cos b a b,
comp
b
a
OQ
l
b OQ
l
OQ
l
QA
l
QA
l
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
613
Definición de trabajo El trabajo W realizado por una fuerza constante a cuando su punto de apli-
cación se mueve a lo largo de un vector b es W a b.
Figura 7
y
x
a b
O P
4, 1
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Ejer. 1-8: Encuentre a el producto punto de los dos vecto- res y b el ángulo entre los dos vectores.
1 2
24;
3 4
5 9i,
6 6j,
4i
45; 0; 90
7 8
15; 0
Ejer. 9-12: Demuestre que los vectores son ortogonales.
9 10
11 4j,
7i 12
Ejer. 13-16: Demuestre que los vectores son paralelos y de- termine si tienen la misma dirección o direcciones opuestas.
13
Opposite
14
Same
15
Same
16
Opposite
b
4, 12
a
6, 18,
b 8, 6
a
2 3
,
1 2
,
b 10i 24j a
5 2
i 6j, b
12 7
i
20 7
j a 3i 5j,
8i 4j 6i 12j 0 4j 7i 0
6i 12j 8i 4j,
3, 6 4, 2 0 4, 1 2, 8 0
4, 2 3, 6,
2, 8 4, 1,
149 5
; 180
1, 2 3, 6,
2,
7 5
10, 7,
3840
5i 4j
37; 5330
14; 16021
2i 7j 8i 3j,
3i 2j 4i j,
29; 1763
4822
2, 3 4, 7,
3, 6 2, 5,
Ejer. 17-20: Determine m tal que los dos vectores sean orto- gonales.
17 18
19 20
Ejer. 21-28: Dado que a 2, 3, b 3, 4, y c 1, 5,
encuentre el número.
21 a
23
b
23
22 a
23
b
23
23
51
24
65
25 26
3.4
27
2.2
28
Ejer. 29-32: Si c representa una fuerza constante, encuentre el trabajo realizado si el punto de aplicación de c se mueve
a lo largo del segmento de recta de P a Q.
29
7
30
44
31
28
Sugerencia: Encuentre un vector
tal que b PQ
l
. b
b
1
, b
2
Q 4, 3
P 2, 1,
c 6i 4j;
Q 4, 7
P 0, 0,
c 10i 12j;
Q 5, 2
P 0, 0,
c 3i 4j;
2
26
comp
c
c
comp
b
a c
comp
b
c
17
2
26 3.33
comp
c
b a b b c
2a b 3c b a b c
b a c
a b a c a
b c
21 10
2i 7j 5mi 3j,
3 8
i 4mj 9i 16mj,
5 6
6 5
9mi 25j 4mi j,
4i 5mj 3i 2j,
614
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S O L U C I Ó N
Introduzcamos un sistema de coordenadas xy, como se ve en la figura 9. El vector PQ representa la fuerza de la gravedad que actúa vertical-
mente hacia abajo con una magnitud de 100 libras. El vector F correspondien- te es 0i 100j. El punto de aplicación de esta fuerza se mueve a lo largo del
vector PR de magnitud 80. Si
corresponde a a a
1
i a
2
j, entonces, al ob-
servar el triángulo PTR, vemos que
y por lo tanto Aplicando la definición, encontramos que el trabajo realizado por la gravedad
es pie-lb.
El trabajo realizado contra la gravedad es pie-lb.
L
F a 4000 F a
0i 100j
40
2
3i 40j 0 4000 4000
a 40
2
3i 40j.
a
2
80 sen 30° 40, a
1
80 cos 30° 40
2
3 PR
l
8.4
E j e r c i c i o s
Figura 9
y
x P
T R
a
1
, a
2
30 80
Q 0, 100
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