E J E M P L O 3
Expresar un vector como combinación lineal de i y j
Si a 5i j y b 4i 7j, exprese 3a 2b como combinación lineal de i y j.
S O L U C I Ó N
L
Sea u un ángulo en posición estándar, medida desde el eje x positivo al
vector a
a
1
, a
2
a
1
i a
2
j, como se ve en la figura 16. Como
obtenemos las fórmulas siguientes.
Usando estas fórmulas, tenemos
E J E M P L O 4
Expresar la velocidad del viento como vector
Si el viento sopla a 12 mih en la dirección N40°W, exprese su velocidad como vector v.
S O L U C I Ó N
El vector v y el ángulo u 90° 40° 130° están ilustrados
en la figura 17. Usando las fórmulas para componentes horizontales y vertica- les con v
v
1
, v
2
tendremos En consecuencia,
L
E J E M P L O 5
Hallar un vector de dirección y magnitud específicas
Encuentre un vector b en la dirección opuesta de a
5,12 que tiene mag- nitud 6.
7.7i 9.2j. 12 cos 130i 12 sen 130j
v v
1
i v
2
j
v
1
v cos 12 cos 130,
v
2
v sen 12 sen 130. a cos i sen j.
a cos i a sen j a
a
1
, a
2
a cos , a sen
cos a
1
a
y sen
a
2
a
,
7i 17j 15i 3j 8i 14j
3a 2b 3 5i j 24i 7j
8 . 3 V e c t o r e s
599
Fórmulas para componentes horizontales y verticales de
a ⴝ a
1
, a
2
Si el vector a y el ángulo u se definen como dijimos antes, entonces
a
1
a cos
y a
2
a sen .
Figura 16
y
x a
1
, a
2
a
u
Figura 17
y
x u
40 12
v
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S O L U C I Ó N
La magnitud de a está dada por Un vector unitario u en la dirección de a se puede hallar al multiplicar a por
. Por tanto,
La multiplicación de u por 6 nos da un vector de magnitud 6 en la dirección de a, de modo que multiplicaremos u por 6 para obtener el vector deseado b
como se ilustra en la figura 18:
L
E J E M P L O 6
Hallar un vector resultante
Dos fuerzas and
de magnitudes 5.0 kilogramos y 8.0 kilogramos, res- pectivamente, actúan en un punto P. La dirección de
es N20°E y la direc- ción de
es N65°E. Calcule la magnitud y dirección de la resultante .
S O L U C I Ó N
Las fuerzas están representadas geométricamente en la figura 19. Nótese que los ángulos desde el eje x positivo a
y tienen medidas
70° y 25°, respectivamente. Usando las fórmulas para componentes horizon- tales y verticales, obtenemos lo siguiente:
Como ,
En consecuencia, También podemos hallar
usando la ley de los cosenos vea el ejem- plo 3 de la sección 8.2. Como ⬔QPR 45°, se deduce que ⬔PRS 135° y
por tanto
y Si u es el ángulo desde el eje x positivo a la resultante PS, entonces usando
las aproximadas coordenadas 8.9606, 8.0794 de S, obtenemos lo siguiente:
Por tanto, la dirección de es aproximadamente N90° 42°E N48°E.
L
PS
l
tan
1
0.9017 42 tan
8.0794 8.9606
0.9017 PS
l
2
145.6 12.1.
PS
l
2
8.0
2
5.0
2
2 8.05.0 cos 135 145.6
PS
l
PS
l
2
9.0
2
8.1
2
12.1.
8.9606i 8.0794j 9.0i 8.1j.
PS
l
5 cos 70 8 cos 25i 5 sen 70 8 sen 25j
PS
l
PQ
l
PR
l
PR
l
8 cos 25i 8 sen 25j
PQ
l
5 cos 70i 5 sen 70j
PR
l
PQ
l
PS
l
PR
l
PQ
l
PR
l
PQ
l
b 6u 6
5 13
, 12
13 30
13 ,
72 13
u
1
a a
1 13
5, 12 5
13 ,
12 13
. 1
a a
2
5
2
12
2
2
25 144
2
169 13.
600
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Figura 18
y
x 5
12 13
6 1
b
30 13
72 13
,
a 5, 12
5 13
12 13
u ,
Figura 19
y
x 20
65 8.0
5.0 S
P R
Q
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