La demostración de la propiedad 5 es como sigue:
definición de adición definición de múltiplo escalar
propiedad distributiva definición de adición
definición de múltiplo escalar
Las demostraciones de las propiedades restantes son similares y se dejan como ejercicios.
L
La resta de vectores denotada por está definida por a b a b. Si usamos la notación de par ordenado para a y b, entonces b
b
1
,b
2
y obtenemos lo siguiente.
Entonces, para hallar a b, simplemente se restan los componentes de b de los componentes correspondientes de a.
Sustracción de vectores si y
Si a y b son vectores arbitrarios, entonces esto es, a b es el vector que, cuando se suma a b, dará a. Si representamos
a y b por el vector PQ y el vector PR con el mismo punto inicial, como en la figura 13, entonces
representa a a b.
RQ
l
b a b a;
10, 8 9, 6 10 9, 8 6 19, 14
2a 3b 2 5, 4 33, 2
5 3, 4 2 8, 6
a b 5, 4 3, 2
b ⴝ ⴚ3, 2
a ⴝ 5, ⴚ4
ma mb
ma
1
, ma
2
mb
1
, mb
2
ma
1
mb
1
, ma
2
mb
2
ma
1
b
1
, ma
2
b
2
m
a b ma
1
b
1
, a
2
b
2
596
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Definición de resta de vectores a b
a
1
, a
2
b
1
, b
2
a
1
b
1
, a
2
b
2
Veamos algunas de las operaciones con vectores en una calculadora graficadora
TI-834 Plus TI-86
La TI834 Plus no tiene un modo específico de vectores, pero unas lists nos servirán bien.
Visualmente, basta sustituir con llaves la no- tación de cuñas empleada en este texto.
La TI-86 tiene un modo específico de vecto- res, con llaves empleadas en lugar de cuñas
para denotar un vector.
Figura 13
y
x
b a
a b
P Q
R
O
I L U S T R A C I Ó N
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Los vectores especiales i y j se definen como sigue.
Un vector unitario es un vector de magnitud 1. Los vectores i y j son vec-
tores unitarios, como lo es el vector del ejemplo 1.
c
4 5
,
3 5
8 . 3 V e c t o r e s
597
Suma de vectores.
3 2
4 6
4 2
3
El “cuadrado de una lista” regresa una lista formada por los cuadrados de los elementos
de la lista original. Como la magnitud es
“la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados,”
podemos calcular la magnitud de un vector como se ve en la siguiente pantalla. La última
entrada es sólo una combinación de las pri- meras tres entradas.
3 4
ENTER ANS
2nd 2nd
ENTER ANS
2nd 5
䉰 LIST
2nd ENTER
x
2
} 2nd
, {
2nd ENTER
} 2nd
, {
2nd ENTER
䉰 7 veces
ENTRY 2nd
ENTER }
2nd
, {
2nd }
2nd
, {
2nd 3
2 4
6 4
2 3
La TI-86 usa una función especial llamada “norm” para calcular la magnitud de un vec-
tor.
3 4
ENTER ]
2nd
, [
2nd normF3
MATHF3 VECTR
2nd ENTER
] 2nd
, [
2nd ENTER
䉰 7 veces
ENTRY 2nd
ENTER ]
2nd
, [
2nd ]
2nd
, [
2nd
Sustracción de vectores.
Múltiplo escalar de un vector.
Magnitud de un vector.
Definición de y j i
i
1, 0,
j
0, 1
2
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Los vectores i y j sirven para disponer de una manera alternativa de representar vectores. Específicamente, si a
a
1
, a
2
, entonces Este resultado nos da lo siguiente.
Forma
Los vectores correspondientes a i, j y un vector arbitrario a están en la fi- gura 14. Como i y j son vectores unitarios, a
1
i y a
2
j pueden estar representa-
dos por vectores horizontales y verticales de magnitudes y
, respectivamente, como se ilustra en la figura 15. Por esta razón, a
1
recibe el
nombre de componente horizontal y a
2
el de componente vertical del vec- tor a.
Figura 14 Figura 15
El vector suma a
1
i a
2
j es una combinación lineal de i y j. Las reglas
para suma, resta y multiplicación por un escalar m se pueden escribir como sigue, con
:
Estas fórmulas demuestran que las combinaciones lineales de i y j se pueden considerar como sumas algebraicas.
m a
1
i a
2
j ma
1
i ma
2
j
a
1
i a
2
j b
1
i b
2
j a
1
b
1
i a
2
b
2
j
a
1
i a
2
j b
1
i b
2
j a
1
b
1
i a
2
b
2
j b
b
1
, b
2
b
1
i b
2
j
y
x
a
a
1
, a
2
O a
1
i
a
2
j
y
x
a i
j
a
1
, a
2
O
a a
1
i a
2
j a
a
1
, a
2
a
2
a
1
0, 6 0i 6j 6j 3, 4 3i 4j
5, 2 5i 2j
i, j
a
a
1
, 0 0, a
2
a
1
1, 0 a
2
0, 1.
598
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Forma i, j para vectores a
a
1
, a
2
a
1
i a
2
j
I L U S T R A C I Ó N
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E J E M P L O 3
Expresar un vector como combinación lineal de i y j
Si a 5i j y b 4i 7j, exprese 3a 2b como combinación lineal de i y j.
S O L U C I Ó N
L
Sea u un ángulo en posición estándar, medida desde el eje x positivo al
vector a
a
1
, a
2
a
1
i a
2
j, como se ve en la figura 16. Como
obtenemos las fórmulas siguientes.
Usando estas fórmulas, tenemos
E J E M P L O 4
Expresar la velocidad del viento como vector
Si el viento sopla a 12 mih en la dirección N40°W, exprese su velocidad como vector v.
S O L U C I Ó N
El vector v y el ángulo u 90° 40° 130° están ilustrados
en la figura 17. Usando las fórmulas para componentes horizontales y vertica- les con v
v
1
, v
2
tendremos En consecuencia,
L
E J E M P L O 5
Hallar un vector de dirección y magnitud específicas
Encuentre un vector b en la dirección opuesta de a
5,12 que tiene mag- nitud 6.
7.7i 9.2j. 12 cos 130i 12 sen 130j
v v
1
i v
2
j
v
1
v cos 12 cos 130,
v
2
v sen 12 sen 130. a cos i sen j.
a cos i a sen j a
a
1
, a
2
a cos , a sen
cos a
1
a
y sen
a
2
a
,
7i 17j 15i 3j 8i 14j
3a 2b 3 5i j 24i 7j
8 . 3 V e c t o r e s
599
Fórmulas para componentes horizontales y verticales de
a ⴝ a
1
, a
2
Si el vector a y el ángulo u se definen como dijimos antes, entonces
a
1
a cos
y a
2
a sen .
Figura 16
y
x a
1
, a
2
a
u
Figura 17
y
x u
40 12
v
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