entonces, al ob- Presidente de Cengage Learning
32
36
33 Una fuerza constante de magnitud 4 tiene la misma direc-
ción que j. Encuentre el trabajo realizado si su punto de aplicación se mueve de P0, 0 a Q8, 3.
34 Una fuerza constante de magnitud 10 tiene la misma direc-
ción que i. Encuentre el trabajo realizado si su punto de aplicación se mueve de P0, 1 a Q1, 0.
Ejer. 35-40: Demuestre la propiedad si a y b son vectores y m
es un número real.
35 36
37 38
39 40
41 Tirar de un carro Un niño jala un carro por un terreno a
nivel ejerciendo una fuerza de 20 libras en una jaladera que forma un ángulo de 30° con la horizontal, como se muestra
en la figura. Encuentre el trabajo realizado al tirar del carro 100 pies.
ft-lb
Ejercicio 41
42 Tirar de un carro Consulte el ejercicio 41. Encuentre el tra-
bajo realizado si se jala el carro, con la misma fuerza, 100 pies hacia arriba por un plano inclinado que forma un án-
gulo de 30° con la horizontal, como se ve en la figura.
Ejercicio 42
1000
2
3 1732
a b a b a a b b 0 a 0
m a b a mb
ma b ma b a b b a
a a a
2
Q 6, 1
P 2, 5,
c i 7j;
43 Los rayos del Sol El Sol tiene un radio de 432,000 millas y
su centro está a 93,000,000 de millas del centro de la Tierra. Sean v y w los vectores ilustrados en la figura.
a Exprese v y w en forma de i, j.
b Calcule el ángulo entre v y w.
Ejercicio 43
44 Luz diurna en julio La intensidad I de luz diurna en
wattsm
2
se puede calcular usando la fórmula I ke
c sen f
, donde k y c son constantes positivas y es el ángulo entre
los rayos del Sol y el horizonte. La cantidad de luz diurna que incide en una pared vertical colocada frente al Sol es
igual al componente de los rayos del Sol a lo largo de la horizontal. Si, durante el mes de julio, 30°, k 978 y
c
0.136, calcule la cantidad total de luz diurna que incide en una pared vertical que tiene un área de 160 m
2
.
Ejer. 45-46: Se usan extensamente vectores en gráficas de computadora para hacer sombreado. Cuando incide luz en
una superficie plana, se refleja y el área no debe estar som- breada. Suponga que un rayo entrante de luz está represen-
tado por un vector L y que N es un vector ortogonal a la superficie plana, como se ve en la figura. El rayo de luz re-
flejada puede ser representado por el vector R y se calcula usando la fórmula R 2N ⴢ LN L. Calcule R para los
vectores L y N.
45 Luz reflejada 46 Luz reflejada
Ejercicio 45–46
5 13
,
12 13
N
1 2
2
2,
1 2
2
2 L
12 13
,
5 13
,
4 5
,
3 5
N 0, 1
L
4 5
,
3 5
, Tierra
Sol
v w
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
615
L N
R
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En la sección 1.1 representamos números reales geométricamente mediante puntos en una recta de coordenadas. Podemos obtener representaciones geo-
métricas para números complejos usando puntos en un plano de coordenadas. Específicamente, cada número complejo a bi determina un par ordenado
único a, b. El punto correspondiente Pa, b en un plano de coordenadas es la representación geométrica de a bi. Para destacar que estamos asignando
números complejos a puntos en un plano, podemos marcar el punto Pa, b como a bi. Un plano de coordenadas con un número complejo asignado a
cada punto se conoce como plano complejo o Argand en lugar de un plano xy
. El eje x es el eje real y el eje y es el eje imaginario. En la figura 1 en la
página siguiente hemos representado en forma geométrica varios números complejos. Observe que para obtener el punto correspondiente al conjugado
a bi de cualquier número complejo a bi, simplemente lo reflejamos en el
eje real.
616
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejer. 47-48: Se usan vectores en gráficas computarizadas para calcular las longitudes de sombras sobre superficies
planas. La longitud de un objeto puede representarse a veces con un vector a. Si una fuente de luz única brilla sobre
un objeto, entonces la longitud de su sombra en el suelo será igual al valor absoluto del componente del vector a lo largo
de la dirección del suelo, como se ve en la figura. Calcule la longitud de la sombra para el vector a especificado si el
suelo está nivelado.
47 Sombra al nivel del suelo
2.6
48 Sombra al nivel del suelo
3.1
Ejercicios 47-48
Ejer. 49-50: Consulte los ejercicios 47 y 48. Un objeto re- presentado por un vector a se sostiene sobre una superficie
plana inclinada a un ángulo u, como se muestra en la figura. Si una luz está brillando directamente hacia abajo, calcule
la longitud de la sombra a dos lugares decimales para los valores especificados del vector a y u.
49 Sombra en un plano inclinado
24.33
50 Sombra en un plano inclinado 17
a 13.8, 19.4,
12 a
25.7, 3.9,
a a
3.1, 7.9
a
2.6, 4.5
Ejercicio 49–50
51 Determinación de potencia La cantidad de potencia P pro-
ducida por una máquina puede determinarse con la fórmula
donde F es la fuerza en libras ejercida por la máquina y v es la velocidad en piess de un objeto mo-
vido por la misma. Una máquina tira con una fuerza de 2200 libras sobre un cable que forma un ángulo u con la horizon-
tal, moviendo una carreta horizontalmente, como se muestra en la figura. Encuentre la potencia de la máquina si la rapi-
dez de la carreta es 8 piess cuando u 30°.
Ejercicio 51
F v
u Máquina
Carreta P
1 550
F v,
u
a
8.5
Forma trigonométrica para números complejos
www.elsolucionario.net
El valor absoluto de un número real a denotado es la distancia entre
el origen y el punto sobre el eje x que corresponde a a. Así, es natural inter- pretar el valor absoluto de un número complejo como la distancia entre el ori-
gen de un plano complejo y el punto a, b que corresponde a a bi.
E J E M P L O 1
Hallar el valor absoluto de un número complejo
Encuentre a
b
S O L U C I Ó N
Usamos la definición previa: a
b
L
Los puntos correspondientes a todos los números complejos que tienen un valor absoluto fijo k están en un círculo de radio k con centro en el origen del
plano complejo. Por ejemplo, los puntos correspondientes a los números com- plejos z con
están sobre una circunferencia unitaria. Consideremos un número complejo z a bi diferente de cero y su re-
presentación geométrica Pa, b, como se ilustra en la figura 2. Sea u un án- gulo cualquiera en posición estándar cuyo lado terminal se encuentra sobre el
segmento OP y sea . Como
y ,
vemos que a r cos u y b r sen u. Sustituyendo por a y b en z a bi, obtenemos
z a bi r cos r sen i rcos i sen .
sen b r
cos a r
r z
2
a
2
b
2
z 1 3i 0 3i
2
2
3
2
2
9 3 2 6i
2
2
2
6
2
2
40 2
2
10 6.3
3i 2 6i
a
8 . 5 F o r m a t r i g o n o m é t r i c a p a r a n ú m e r o s c o m p l e j o s
617
Definición del valor absoluto de un número complejo
Si es un número complejo, entonces su valor absoluto, deno-
tado por , es
2
a
2
b
2
. a bi
z a bi
Figura 2
z a bi r cos i sen
y
x P
a, b z a bi
r z
u O
Eje imaginario
Eje real
2 3i
2 3i 2 3i
5i 5 i
3 5 i
i i
e 2 i
Figura 1
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Esta expresión se denomina forma trigonométrica o polar para el número complejo a bi. Una abreviatura común es
La forma trigonométrica para z a bi no es única, porque hay un nú- mero ilimitado de opciones diferentes para el ángulo u. Cuando se usa la forma
trigonométrica, el valor absoluto r de z se conoce a menudo como el módulo de z
y un ángulo u asociado con z como un argumento o amplitud de z.
Podemos resumir nuestra exposición como sigue.
La fórmula de Euler, nos da otra forma para el número complejo z a bi, comúnmente llamada
forma exponencial; esto es,
Vea algunos problemas relacionados en el ejercicio 6 de los ejercicios de aná- lisis, al final del capítulo.
E J E M P L O 2
Expresar un número complejo en forma trigonométrica
Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0 u 2p: a
b c
d
S O L U C I Ó N
Empezamos por representar geométricamente cada número complejo y marcar su módulo r y argumento u, como en la figura 3.
2 7i 2 7i
2
2
3 2i 4 4i
z r cos i sen re
i
. cos i sen e
i
, r
cos i sen r cis .
618
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Forma trigonométrica o polar para un número complejo
Sea . Si
y si u es un argumento de z entonces z r
cos i sen r cis . r
z
2
a
2
b
2
z a bi
Figura 3 a
4, 4 4
2 y
x f
z y
x 2
3, 2 4
y
x 2, 7
53 arctan
r arctan
r y
x 53
2, 7
p arctan
r
b c
d
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A continuación sustituimos por r y u en la forma trigonométrica: a
b c
d
L
2
53 cis arctan
7 2
2 7i
2
53 cos
arctan
7 2
i sen
arctan
7 2
2 7i
2
53 cos
arctan
7 2
i sen
arctan
7 2
2
53 cis arctan
7 2
2
2
3 2i 4 cos
11 6
i sen
11 6
4 cis 11
6 4 4i 4
2
2 cos
3 4
i sen
3 4
4
2
2 cis 3
4
8 . 5 F o r m a t r i g o n o m é t r i c a p a r a n ú m e r o s c o m p l e j o s
619
Veamos cómo hallar, en calculadora graficadora, el valor absoluto y el argumento del nú- mero complejo del Ejemplo 2b.
TI-834 Plus TI-86
Operaciones con números complejos.
Asigne a A.
2 3
2
Encuentre el valor absoluto r.
Encuentre el argumento u en modo de grados.
ENTER A
ALPHA 4
䉯 䉯
MATH ENTER
A ALPHA
5 䉯
䉯 MATH
ENTER A
ALPHA STO 䉯
i 2nd
2nd
2
2
3 2i
2 3
2
ENTER A
ALPHA angleF5
ENTER A
ALPHA absF4
CPLX 2nd
ENTER A
STO 䉯 ,
2nd 2
Ahora cambiaremos la forma de usando la función polar. La TI-834 Plus nos
da la forma exponencial re
ui
y la TI-86 nos da la forma magnitud⬔ángulo. Observemos que 30° es equivalente a
el ángulo del ejemplo 2b para 0 u 2p.
ENTER ENTER
䉴 PolF2
MORE A
ALPHA 7
䉯 䉯
MATH A
ALPHA
11 6
2
2
3 2i
2
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Si permitimos valores arbitrarios para u, hay muchas otras formas trigo- nométricas para los números complejos del ejemplo 2. Entonces, para 4
4i en la parte a podríamos usar
Si, por ejemplo, hacemos n 1 y n 1, obtenemos
respectivamente. En general, los argumentos para el mismo número complejo siempre difieren por un múltiplo de 2p.
Si los números complejos se expresan en forma trigonométrica, entonces la multiplicación y división se pueden efectuar como se indica en el siguiente
teorema.
D E M O S T R A C I Ó N
Podemos demostrar 1 como sigue:
La aplicación de las fórmulas de la suma para cos u
1
u
2
y sen u
1
u
2
nos da 1. Dejamos la demostración de 2 como ejercicio.
L
La parte 1 del teorema anterior expresa que el módulo del producto de dos números complejos es el producto de sus módulos y un argumento es la
suma de sus argumentos. Un enunciado análogo se puede hacer para 2.
E J E M P L O 3
Usar formas trigonométricas para hallar productos y cocientes
Si y
, use formas trigonométricas para hallar
a z
1
z
2
y b . Compruebe por métodos algebraicos.
z
1
z
2
z
2
1
2
3i z
1
2
2
3 2i i
sen
1
cos
2
cos
1
sen
2
r
1
r
2
cos
1
cos
2
sen
1
sen
2
z
1
z
2
r
1
cos
1
i sen
1
r
2
cos
2
i sen
2
4
2
2 cis 11
4 y
4
2
2 cis 5
4 ,
3 4
2n para cualquier entero n.
620
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Teorema sobre productos y cocientes de números
complejos
Si las formas trigonométricas para dos números complejos z
1
y z
2
son entonces
1 2
z
1
z
2
r
1
r
2
cos
1 2
i sen
1 2
, z
2
苷 z
1
z
2
r
1
r
2
cos
1 2
i sen
1 2
z
1
r
1
cos
1
i sen
1
y z
2
r
2
cos
2
i sen
2
,
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S O L U C I Ó N
El número complejo está representado geométrica-
mente en la figura 3b. Si usamos en la forma trigonométrica, en-
tonces
El número complejo está representado geométricamente en
la figura 4. Una forma trigonométrica es
a Aplicamos la parte 1 del teorema sobre productos y cocientes de núme- ros complejos:
La figura 5 da una interpretación geométrica del producto z
1
z
2
. Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, tenemos
b Aplicamos la parte 2 del teorema:
La figura 6 da una interpretación geométrica del cociente .
Usando métodos algebraicos para comprobar nuestro resultado, multipli- camos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para
obtener
L
4
2
3 4i 4
2
3 i. 2
2
3 2
2
3 2 6i
1
2
2
3
2
z
1
z
2
2
2
3 2i 1
2
3i 1
2
3i 1
2
3i z
1
z
2
2
2
3 2
i 1
2
2
3 i 2
cos 5
6 i
sen 5
6 z
1
z
2
4 2
cos 6
2 3
i sen
6 2
3 2
2
3 2
2
3 2 6i 0 8i 8i.
z
1
z
2
2
2
3 2i 1
2
3i 8
cos 2
i sen
2 8
0 i 8i z
1
z
2
4 2 cos
6 2
3 i
sen 6
2 3
z
2
1
2
3i 2 cos
2 3
i sen
2 3
. z
2
1
2
3i z
1
2
2
3 2i 4 cos
6 i
sen 6
. 6
2
2
3 2i
8 . 5 F o r m a t r i g o n o m é t r i c a p a r a n ú m e r o s c o m p l e j o s
621
Figura 4
y
x 1,
3 2
i
Figura 5
y
x r
1
r
2
42 8
r
1
4 r
2
2 u
1
u
2
k i q
u
1
k u
2
i
Figura 6
y
x r
1
4 r
2
2 u
1
k u
2
i r
1
r
2
4 2
2 u
1
u
2
k i l
www.elsolucionario.net
Ejer. 1-10: Encuentre el valor absoluto.
1
5
2 3
4 5
8
6
1
7
1
8
15
9 10
15
Ejer. 11-20: Represente geométricamente el número com- plejo.
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
Ejer. 21-46: Exprese el número complejo en forma trigono- métrica con 0 u 2p.
21 22
23 24
25 26
27 28
29 30
31 12
12 cis 0
32 15
15 cis 0
33 7
34 5
35 6i
36 4i
37 38
39 40
41 42
43 44
2
53 cis tan
1
7 2
2
34 cis tan
1
3 5
2 7i 5 3i
2
2
5 cis tan
1
1 2
2
10 cis tan
1
1 3
4 2i 3 i
2
13 cis tan
1
2 3
3 2i
2
5 cis tan
1
1 2
2 i
2 cis 11
6
2
3 i
10 cis 4
3
5 5
2
3 i
4 cis 2
6 cis 2
5 cis
7 cis 6 cis
3 2
6i
20 cis 3
2
20i
10
2
2 cis 3
4
10 10i
4
2
2 cis 5
4
4 4i
6 cis 5
3
3 3
2
3 i
4 cis 6
2
2
3 2i
2
2
2 cis 5
4
2 2i
8 cis 5
6
4
2
3 4i
2 cis 6
2
3 i
2
2 cis 7
4
1 i
4 8i
4 1 2i
2i
1 i
2
3 6i
3i2 i
6 4i
2i 2 3i
3 4i
1 2i
2
3 6i
3 6i 2 6i
3 5i 5 3i
4 2i 15
15i i
500
i
7
8i
2
2
1 i
2
85
6 7i
2
89
5 8i 3 4i
45 46
Ejer. 47-56: Exprese en la forma a bi, donde a y b son nú- meros reales.
47 48
49 50
51 52
5 3i
53 54
55 56
Ejer. 57-66: Use formas trigonométricas para hallar z
1
z
2
y
57
2, i
58 59
60 61
62 63
64 65
66 67
Demuestre 2 del teorema sobre productos y cocientes de números complejos.
68 a Extienda 1 del teorema sobre productos y cocientes
de números complejos a tres números complejos. b
Generalice 1 del teorema a n números complejos.
r
1
r
2
r
n
cis
1 2
n
15 6i,
15 29
6 29
i
z
2
5 2i z
1
3,
15 10i,
15 13
10 13
i
z
2
3 2i z
1
5,
21 35i,
21 34
35 34
i
z
2
3 5i z
1
7,
8 4i,
8 5
4 5
i
z
2
2 i z
1
4,
6,
2 3
z
2
3i z
1
2i,
40,
5 2
z
2
4 z
1
10,
15 15i,
5 3
5 3
i
z
2
3i z
1
5 5i,
10
2
3 10i,
2 5
2
3
2 5
i
z
2
5i z
1
2 2
2
3 i,
4 0i, 1
2
2
3 2
i
z
2
2
3 i z
1
2
3 i, z
2
1 i z
1
1 i,
z
1
z
2
.
1 3i 2 i
2
10 cis tan
1
3
2
5 cis tan
1
1 2
7 2i 5 3i
2
53 cis tan
1
2 7
2
34 cis tan
1
3 5
3 cos
3 2
i sen
3 2
5 cos i sen
6 6
2
3i 3 3
2
3i
12 cos
4 3
i sen
4 3
6 cos
2 3
i sen
2 3
4
2
2 4
2
2i 2
2
2 2
2
2i
8 cos
7 4
i sen
7 4
4 cos
4 i
sen 4
2
10 cis tan
1
3 2 5 cis
tan
1
3 4
2
1 3i 4 3i
622
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
8.5
E j e r c i c i o s
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Ejer. 69-72: La forma trigonométrica de números complejos es utilizada con frecuencia por ingenieros electricistas para
describir la corriente I, el voltaje V y la impedancia Z en cir- cuitos eléctricos con corriente alterna. La impedancia es la
oposición al flujo de corriente en un circuito. Los aparatos eléctricos más comunes operan con 115 volts de corriente
alterna. La relación entre estas tres cantidades es Calcule la cantidad desconocida y exprese la respuesta en
forma rectangular a dos lugares decimales.
69 Hallar voltaje 70 Hallar voltaje
71 Hallar impedancia 72 Hallar corriente
1.50 1.45i
V 163 cis 17
Z 78 cis 61,
11.01 9.24i
V 115 cis 45
I 8 cis 5,
104.59 1195.43i
Z 100 cis 90
I 12 cis 5,
17.21 24.57i
Z 3 cis 20
I 10 cis 35,
I ⴝ V Z.
73 Módulo de impedancia El módulo de la impedancia Z re-
presenta la oposición total al flujo de corriente en un cir- cuito, y se mide en ohms Calcule
si 74 Resistencia y reactancia
El valor absoluto de la parte real de Z representa la resistencia en un circuito eléctrico; el valor ab-
soluto de la parte compleja representa la reactancia. Am- bas cantidades se miden en ohms. Si
e calcule la resistencia y la reactancia.
24.60 ohms; 36.48 ohms
75 Voltaje actual La parte real de V representa el voltaje real en-
tregado a un aparato eléctrico en volts. Aproxime ese voltaje cuando y
70.43 volts
76 Corriente actual La parte real de I representa la corriente real
entregada a un aparato eléctrico, en amperes. Determine esa corriente cuando
y Z 100 cis 17. V
163 cis 43 Z
18 cis 78.
I 4 cis 90
I 5 cis 90,
V 220 cis 34
Z 14 13i,
Z
8 . 6 T e o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s
623
Si z es un número complejo y n es un entero positivo, entonces un número complejo w es la raíz n-ésima de z si w
n
z . Demostraremos que todo núme-
ro complejo diferente de cero tiene raíces n-ésimas diferentes. Como ⺢ está contenida en ⺓, también se deduce que todo número real diferente de cero
tiene n diferentes raíces n-ésimas complejas. Si a es un número real positivo y n 2, entonces ya sabemos que las raíces son
y .
Si, en el teorema sobre productos y cocientes de números complejos, ha- cemos z
1
y z
2
iguales al número complejo z rcos u i sen u, obtenemos
Aplicando el mismo teorema a z
2
y z tendremos o bien,
Aplicando el teorema a z
3
y z, obtenemos En general, tenemos el siguiente resultado, llamado así en honor del matemá-
tico francés Abraham De Moivre 1667-1754. z
4
r
4
cos 4 i sen 4. z
3
r
3
cos 3 i sen 3. z
2
z r
2
r cos 2 i sen 2 ,
r
2
cos 2 i sen 2. z
2
r r cos i sen
2
a
2
a
Teorema de De Moivre Para todo entero n
rcos i sen
n
r
n
cos n i sen n.
8.6
Teorema de De Moivre y las raíces
n-ésimas de números complejos
www.elsolucionario.net
Usaremos sólo enteros positivos para n en ejemplos y ejercicios que com- prendan el teorema de De Moivre. No obstante, el teorema se cumple por com-
pleto para n 0 y n negativo si usamos las respectivas definiciones de exponente de número real, es decir, z
1 y , donde z es un número
complejo diferente de cero y n es un entero positivo.
E J E M P L O 1
Usar el teorema de De Moivre
Use el teorema de De Moivre para cambiar 1 i
20
a la forma a bi, donde a
y b son números reales.
S O L U C I Ó N
Sería tedioso cambiar 1 i
20
usando métodos algebraicos. Por tanto, introduzcamos una forma trigonométrica por 1 i. Consultando la
figura 1, vemos que
Ahora aplicamos el teorema de De Moivre:
El número 1024 es de la forma a bi con a 1024 y b 0.
L
Si un número complejo z diferente de cero tiene una raíz n-ésima w, en- tonces w
n
z . Si las formas trigonométricas para w y z son
entonces, aplicando el teorema de De Moivre a w
n
z tendremos
Si dos números complejos son iguales, entonces también son iguales sus valores absolutos. En consecuencia, s
n
r y como s y r son no negativos,
. Sus- tituyendo s
n
por r en la última ecuación mostrada y dividiendo ambos lados entre s
n
, obtenemos Como los argumentos de números complejos iguales difieren por un múltiplo
de 2p, hay un entero k tal que na u 2pk. Dividiendo ambos lados de la última ecuación entre n, vemos que
Sustituyendo en la forma trigonométrica por w vea ∗
nos dará la fórmula w
2
n
r cos
2k n
i sen
2k n
. 2k
n para algún entero k.
cos n i sen n cos i sen . s
2
n
r s
n
cos n i sen n rcos i sen . w s
cos i sen y z r
cos i sen , 2
10
cos 5 i sen 5 2
10
1 0i 1024 1 i
20
2
12 20
cos 20
4 i
sen 20
4 1 i
2
2 cos
4 i
sen 4
. z
n
1 z
n
624
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Figura 1
y
x 2
d 1, 1
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Si sustituimos k 0, 1, . . . , n 1 sucesivamente, obtenemos n diferentes ra- íces n-ésimas de z. Ningún otro valor de k producirá una nueva raíz n-ésima.
Por ejemplo, si k n, obtenemos el ángulo , o
, que nos da la misma raíz n-ésima que k 0. Del mismo modo, k n 1 da la
misma raíz n-ésima que k 1 y así sucesivamente. Lo mismo es cierto para valores negativos de k. Hemos demostrado el siguiente teorema.
Las raíces n-ésimas de z en este teorema tienen todas ellas valor absoluto y por lo tanto sus representaciones geométricas se encuentran en una circun-
ferencia de radio con centro en O. Además, están igualmente espacia-
das en esta circunferencia dado que la diferencia en los argumentos de sucesi- vas raíces n-ésimas es
or .
E J E M P L O 2
Hallar las raíces cuartas de un número complejo
a Encuentre las cuatro raíces cuartas de b Represente las raíces geométricamente.
S O L U C I Ó N
a La representación geométrica de se muestra en la figura 2.
Introduciendo forma trigonométrica, tenemos
Usando el teorema sobre raíces n-ésimas con n 4 y observando que 2, encontramos que las raíces cuartas son
continúa w
k
2 cos
240° 360°k 4
i sen
240° 360°k 4
2
4
16 8 8
2
3i 16 cos 240° i sen 240°.
8 8
2
3i 8 8
2
3i 360°
n 2
n
2
n
r
2
n
r n 2
2nn
8 . 6 T e o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s
625
Teorema de las raíces n-ésimas
Si z rcos u i sen u es cualquier número complejo diferente de cero y si n es cualquier entero positivo, entonces z tiene exactamente n raíces
n- ésimas diferentes w
, w
1
,…,w
n 1
. Estas raíces, para u en radianes, son
o bien, lo que es equivalente, para u en grados,
donde .
k 0, 1, . . . , n 1
w
k
2
n
r cos
360°k n
i sen
360°k n
, w
k
2
n
r cos
2k n
i sen
2k n
Figura 2
y x
16 240
8, 8 3
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para , Esta fórmula se puede escribir como
Sustituyendo 0, 1, 2 y 3 por k en 60° 90°k nos da las cuatro raíces cuar- tas:
b Por los comentarios que preceden este ejemplo, todas las raíces se en- cuentran en una circunferencia de radio
con centro en O. La primera raíz, w
, tiene un argumento de 60° y las raíces sucesivas están separadas 90° como se ve en la figura 3.
El caso especial en el que z 1 es de particular interés. Las n raíces n-
ésimas distintas de 1 se llaman las raíces n-ésimas de la unidad. En par- ticular, si n 3, llamamos a estas raíces las raíces cúbicas de la unidad.
E J E M P L O 3
Hallar las raíces cúbicas de la unidad
Encuentre las tres raíces cúbicas de la unidad.
S O L U C I Ó N
Escribiendo 1 1cos 0 i sen 0 y usando el teorema sobre raíces nésimas con n 3, obtenemos
360° 4
2
4
16 2 w
3
2 cos 330° i sen 330°
2
3 i w
2
2 cos 240° i sen 240° 1
2
3i w
1
2 cos 150° i sen 150°
2
3 i w
2 cos 60° i sen 60° 1
2
3i w
k
2 cos 60° 90°k i sen 60° 90°k.
k 0, 1, 2, 3
626
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Figura 3
x y
60 90
90 90
90 w
1
w
w
2
w
3
2
Las calculadoras TI-834 Plus y TI-86 tienen la capacidad de tomar una raíz de un nú- mero complejo. A continuación encontramos una raíz cuarta de
como en el ejemplo 2a. La TI-86 también puede hallar las otras tres raíces vea ejemplo 5.
TI-834 Plus TI-86
8 8
3 8
8 3
4 1
4 ENTER
C ALPHA
ENTER C
ALPHA 5
MATH ENTER
C STO 䉯
ENTER C
ALPHA STO 䉯
2nd
,
i 2nd
2nd
8 8
2
3 i,
Hallar una raíz de un número complejo.
2 2
L
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para k 0, 1, 2. Sustituyendo por k tendremos las tres raíces:
L
E J E M P L O 4
Hallar las raíces sextas de un número real
a Encuentre las seis raíces sextas de 1. b Represente las raíces geométricamente.
S O L U C I Ó N
a Escribiendo 1 1cos p i sen p y usando el teorema sobre raíces n-
ésimas con n 6, encontramos que las raíces sextas de 1 están dadas por
Para k 0, 1, 2, 3, 4, 5. Sustituyendo 0, 1, 2, 3, 4, 5 por k obtenemos las seis raíces sextas de 1:
b Como , los puntos que representan las raíces de 1 están todos
en la circunferencia unitaria que se muestra en la figura 4. Además, están igualmente espaciados en esta circunferencia en radianes o sea 60°.
L
Observe que hallar las raíces n-ésimas de un número complejo c, como hi- cimos en los ejemplos 2-4, es equivalente a hallar todas las soluciones de la
ecuación
Usaremos este concepto en el siguiente ejemplo así como en los ejercicios 23–30. x
n
c ,
o bien x
n
c 0.
2
6
1 1 w
5
cos 11
6 i
sen 11
6
2
3 2
1 2
i w
4
cos 3
2 i
sen 3
2 i
w
3
cos 7
6 i
sen 7
6
2
3 2
1 2
i w
2
cos 5
6 i
sen 5
6
2
3 2
1 2
i w
1
cos 2
i sen
2 i
w cos
6 i
sen 6
2
3 2
1 2
i w
k
1 cos
2k 6
i sen
2k 6
w
2
cos 4
3 i
sen 4
3 1
2
2
3 2
i w
1
cos 2
3 i
sen 2
3 1
2
2
3 2
i w
cos 0 i sen 0 1 w
k
1 cos
2k 3
i sen
2k 3
8 . 6 T e o r e m a d e D e M o i v r e y l a s r a í c e s n - é s i m a s d e n ú m e r o s c o m p l e j o s
627
Figura 4
w
1
y
x k
w
w
5
w
4
w
3
w
2
1
3
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628
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A E J E M P L O 5
Hallar raíces resolviendo una ecuación con polinomios
Encuentre las cuatro raíces cuartas de .
S O L U C I Ó N
Sea .
Si x es cualquier raíz cuarta de c, entonces x
4
c y en-
tonces x
4
c 0. El lado izquierdo de la última ecuación es un polinomio de cuarto grado
con coeficientes 1, 0, 0, 0, c. Usaremos la función de resolución de polinomios para hallar las raíces cuartas de c.
Usando la función Poly de la TI-86
Fije el número de lugares decimales a 3.
Guarde en C.
8 8
3
Declare el orden del polinomio.
4
Introduzca los coeficientes.
1
Encuentre las soluciones. Comparando estas soluciones con las halladas en el
Ejemplo 2a, tenemos
x
4
w
3
2
3 i. x
3
w 1
2
3 i x
2
w
2
1
2
3 i x
1
w
1
2
3 i
SOLVEF5 C
ALPHA 䉮
䉮 䉮
䉮 ENTER
POLY 2nd
ENTER C
STO 䉯 2nd
,
8 8
2
3 i
QUIT 2nd
ENTER 䉯
4 veces 䉮
MODE 2nd
c 8 8
2
3 i 8 8
2
3 i
2
L
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Ejer. 1-12: Use el teorema de De Moivre para cambiar el nú- mero complejo dado a la forma a ⴙ bi, donde a y b son nú-
meros reales. 1
2
64
3
32i
4
16
5
8
6 7
8
9 10
11 12
32,768i
13 Encuentre las dos raíces cuadradas de
14 Encuentre las dos raíces cuadradas de 9i.
15 Encuentre las cuatro raíces cuartas de
16 Encuentre las cuatro raíces cuartas de
2
3 i , 1
2
3i
8 8
2
3 i.
2
4
2 2
2
4
18 2
i ,
2
4
18 2
2
4
2 2
i
1
2
3 i.
3
2
2 2
3
2
2 2
i
1 2
2
6
1 2
2
2i
1
2
3 i. 2 2i
10
64
2
3 64i
2
3 i
7
1 2
2
3 2
i
1 2
1 2
2
3i
2
3 2
1 2
i
50
2
3 2
1 2
i
20
2
2 2
2
2 2
i
1 2
2
2
1 2
2
2i
2
2 2
2
2 2
i
25
2
2 2
2
2 2
i
15
16 16
2
3i
1
2
3 i
5
1
2
3 i
3
1 i
8
1 i
10
1 i
12
972 972i
3 3i
5
17 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27i.
18 Encuentre las tres raíces cúbicas de 64i.
Ejer. 19-22: Encuentre las raíces indicadas y represéntelas geométricamente.
19 Las seis raíces sextas de la unidad.
20 Las ocho raíces octavas de la unidad.
21 Las cinco raíces quintas de 1 i.
22 Las cinco raíces quintas de
Ejer. 23-30: Encuentre las soluciones de la ecuación.
23 24
25 26
27 28
29 30
31 Use la fórmula de Euler para demostrar el teorema de De
Moivre. x
4
81 0 x
5
243 0
2
2
3 2i, 4i 2i,
2
3 i
x
3
64i 0 x
3
8i 0
2i,
2
3 i,
2
3 i
x
5
1 0 x
6
64 0
2, 1
2
3i, 1
2
3i 2, 2i
x
6
64 0 x
4
16 0
2
3 i
C a p í t u l o 8 E j e r c i c i o s d e r e p a s o
629
Ejer. 1-4: Encuentre los valores exactos de las partes res- tantes del triángulo ABC.
1 2
3 4
cos
1
7 8
, cos
1
11 16
, cos
1
1 4
c 4
b 3,
a 2,
75, a 50
2
6, c 50 1
2
3
b 100
45, 60,
60, 90, b 4; 120, 30, b 2
c 2
a 2
2
3, 30,
a
2
43, cos
1
4 43
2
43 , cos
1
5 86
2
43
c 7
b 6,
60,
Ejer. 5-8: Calcule las partes restantes del triángulo ABC.
5 6
7 8
42, 87, 51
c 43
b 55,
a 37,
24, 41, b 10.1
c 7.3
a 4.6,
115,
1910, 13720, b 258
a 152
c 125,
2330,
38, a 8.0, c 13
b 12
75, 67,
C A P Í T U L O 8 E J E R C I C I O S D E R E P A S O 8.6
E j e r c i c i o s
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Ejer. 9–10: Aproxime el área del triángulo ABC al 0.1 de unidad cuadrada más cercana.
9
290
10
10.9
11 Si
y trace los vectores corres-
pondientes a a
b c
2a d
12 Si
y encuentre el vector o número
correspondiente a a
b c
d 13 Rumbo de un barco
Un barco navega con rapidez de 14
mih en la dirección S50°E. Exprese su velocidad v como vector.
14 Las magnitudes y direcciones de dos fuerzas son 72 lb,
S60°E y 46 lb, N74°E, respectivamente. Calcule la magni- tud y dirección de la fuerza resultante.
15 Encuentre un vector que tiene la dirección opuesta de a
8i – 6j y dos veces la magnitud.
16 Encuentre un vector de magnitud 4 que tenga la misma di-
rección que a
3, 7. 17
Si a
a
1
, a
2
, r x, y, y c 0, describa el conjunto de
todos los puntos Px, y tales que 18
Si a y b son vectores con el mismo punto inicial y el án- gulo u entre ellos, demuestre que
19 Rapidez y dirección del viento Un avión vuela en la direc-
ción 80° con una velocidad relativa de 400 mih. Su veloci- dad absoluta y rumbo verdadero son 390 mih y 90°,
respectivamente. Calcule la dirección y rapidez del viento. 20
Si a 2, 3 y b 1, 4, encuentre:
a a ⴢ b
b el ángulo entre a y b
c comp
a
b
21 Si a 6i – 2j y b i 3j, encuentre:
a 2a – 3b ⴢ a
b el ángulo entre a y a b
c comp
a
a b a b
2
a
2
b
2
2
a b cos . r a c.
2
29
2
17 1.26
2
40 6.32
a b a b
8i 13j 12i 19j
2a 3b 4a b
b 4i j, a 2i 5j
1 2
b a b
a b b
2, 8,
a
4, 5 c
10 b
7, a
4, c
30 b
20, 75,
22 Una fuerza constante tiene la magnitud y dirección del vec-
tor a 7i 4j. Encuentre el trabajo realizado cuando el punto de aplicación de a se mueve a lo largo del eje x de
P 5, 0 a Q3, 0.
Ejer. 23-28: Exprese el número complejo en forma trigono- métrica con 0 u 2p.
23 24
25 17
26 12i
27 28
Ejer. 29-30: Exprese en la forma a ⴙ bi, donde a y b son nú- meros reales.
29 30
Ejer. 31-32: Use formas trigonométricas para hallar z
1
z
2
y
31 32
Ejer. 33-36: Use el teorema de De Moivre para cambiar el número complejo dado a la forma a ⴙ bi, donde a y b son
números reales.
33
512i
34
i
35 36
37 Encuentre las tres raíces cúbicas de 27.
38 Sea
a Hállese
b Hállense las tres raíces cúbicas de z.
with
39 Encuentre las soluciones de la ecuación
with
40 Pista para patinetas Una pista para una carrera de patine-
tas consta de un tramo de 200 metros cuesta abajo y 150 metros a nivel. El ángulo de elevación del punto de partida
de la carrera desde la línea de meta es 27.4°. ¿Qué ángulo forma la colina con la horizontal?
0, 72, 144, 216, 288 2 cis
x
5
32 0.
100, 220, 340
2
3
2 cis 2
24
z
24
. z
1
2
3 i.
3,
3 2
3 2
2
3i 2
19
2
19
2
3i 972 972i
2 2
2
3 i
10
3 3i
5
2
2 2
2
2 2
i
30
2
3 i
9
4
2
2i, 2
2
2
z
2
1 i z
1
2
2
2 2
2
2 i,
12 12
2
3i,
3 2
z
2
2
2
3 2i z
1
3
2
3 3i,
z
1
z
2
.
12 5i 10
2
3 10i
13 cis tan
1
5 12
20 cos
11 6
i sen
11 6
2
41 cis tan
1
5 4
10 cis 7
6
4 5i 5
2
3 5i
12 cis 3
2 17 cis
4 cis 5
3 10
2
2 cis 3
4
2 2
2
3 i 10 10i
630
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
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41 Distancias a planetas Las distancias entre la Tierra y los
planetas cercanos se puede calcular usando el ángulo de fase a, como se ve en la figura. Suponga que la distancia
entre la Tierra y el Sol es de 93,000,000 de millas y la dis- tancia entre Venus y el Sol es de 67,000,000 de millas.
Calcule la distancia entre la Tierra y Venus al millón de mi- llas más cercano cuando a 34°.
Ejercicio 41
42 Altura de un rascacielos Si un rascacielos se ve desde lo
alto de un edificio de 50 pies, el ángulo de elevación es 59°. Si se ve desde el nivel de la calle, el ángulo de elevación es
62° vea la figura.
a Use la ley de los senos para calcular la distancia más
corta entre las cimas de los dos edificios. b
Calcule la altura del rascacielos.
Ejercicio 42
50 62
59 Sol
Venus
Tierra a
43 Distancias entre ciudades Las comunidades de playa de
San Clemente y Long Beach están a 41 millas entre sí, a lo largo de un tramo relativamente recto de costa. En la figura
se muestra el triángulo formado por las dos ciudades y la población de Avalon en la esquina sudeste de la isla de
Santa Catalina. Se tiene que los ángulos ALS y ASL miden 66.4° y 47.2°, respectivamente.
a Calcule la distancia de Avalon a cada una de las dos
ciudades. b
Calcule la distancia más corta de Avalon a la costa.
Ejercicio 43
44 Topografía Un topógrafo desea hallar la distancia entre dos
puntos inaccesibles A y B. Como se muestra en la figura, se seleccionan dos puntos C y D desde los cuales es posible
ver A y B. La distancia CD y los ángulos ACD, ACB, BDC
y BDA se miden a continuación. Si pies,
y calcule la distancia AB.
Ejercicio 44
45 Contacto por radio Dos jóvenes con radios de comunica-
ción están en el cruce de dos caminos que se encuentran a un ángulo de 105° vea la figura en la página siguiente.
Una de ellas empieza a caminar en dirección al norte por un camino a razón de 5 millash; al mismo tiempo, la otra ca-
mina al este por el otro camino al mismo paso. Si cada radio tiene un alcance de 10 millas, ¿cuánto tiempo mantendrán
comunicación las jóvenes? A
B
D C
⬔ BDA
100, ⬔
BDC 125
⬔ ACB
92, 115,
⬔ ACD
CD 120
A L
S 66.4
47.2
C a p í t u l o 8 E j e r c i c i o s d e r e p a s o
631
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Ejercicio 45
46 Diseño robótico En la figura se muestra un diseño para un
brazo robótico con dos piezas movibles. Las dimensiones se seleccionan para emular un brazo humano. El brazo supe-
rior AC y el brazo inferior CP giran los ángulos u
1
y u
2
, res- pectivamente, para sujetar un objeto en el punto Px, y.
a Demuestre que
b Encuentre dA, P, y luego use la parte a y la ley de
los cosenos para demostrar que
c Si y
calcule
158
Ejercicio 46
2
.
1
135, y
4, x
25, 1 cos
2 1
x
2
y 26
2
578 .
⬔ ACP
180
2 1
. 105
10 mi 47 Esfuerzos de rescate
Un niño está atrapado a 45 pies bajo la superficie en el tiro de una mina abandonada que se in-
clina con un ángulo de 78° respecto a la horizontal. Se ha de cavar un túnel de rescate de 50 pies desde la abertura del tiro
vea la figura.
a ¿A qué ángulo u debe cavarse el túnel?
b Si el túnel se puede cavar a razón de 3 piesh, ¿cuántas
horas tardarán en llegar al niño?
Ejercicio 47
48 Diseño de un avión caza a reacción En la figura se muestra
el plano para la parte superior del ala de un avión caza. a
Calcule el ángulo f. b
Calcule el área del cuadrilátero ABCD. c
Si el fuselaje es de 5.8 pies de ancho, calcule la enver- gadura de las alas
Ejercicio 48
CC .
50
45 78
u
632
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
A B
C
C D
136 5.8
17.2 22.9
5.7
16 f
y
x 17
u
2
u
1
26 A
C P
x, y 17
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1 Fórmula de Mollweide La siguiente ecuación, llamada fór-
mula de Mollweide , se usa a veces para comprobar solucio-
nes a triángulos porque contiene todos los ángulos y todos los lados:
a Use la ley de los senos para demostrar que
b Use una fórmula de suma a producto y fórmula de án-
gulo doble para verificar la fórmula de Mollweide. 2
Use la forma trigonométrica de un número complejo para demostrar que
donde n es un entero positivo. 3
Analice las similitudes algebraicas y geométricas de las ra- íces cúbicas de cualquier número real positivo a.
4 Suponga que dos vectores v y w tienen el mismo punto ini-
cial, que el ángulo entre ellos es u y que v 苷 mw m es un número real.
a ¿Cuál es la interpretación geométrica de v w?
b ¿Cómo se puede hallar
5 Una aproximación vectorial a las leyes de los senos y los co- senos
a De la figura vemos que c b a. Use componentes
horizontales y verticales para escribir c en términos de i y j.
Ejercicio 5
y
x g
?