Si consideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su gráfica en un plano xy. Como el dominio de f es el conjunto de
enteros positivos, los únicos puntos sobre la gráfica son
donde a
n
es el n-ésimo término de la sucesión como se muestra en la figura 1. A veces usamos la gráfica de una sucesión para ilustrar el comportamiento del
n -ésimo término a
n
cuando n aumenta sin límite.
Figura 1
Gráfica de una sucesión
De la definición de igualdad de funciones vemos que una sucesión
es igual a una sucesión
si y sólo si a
k
b
k
para todo entero positivo k. Otra notación para una sucesión con n-ésimo término a
n
es {a
n
}. Por ejemplo, la sucesión {2
n
} tiene n-ésimo término a
n
2
n
. Usando notación de sucesión, escribimos esta sucesión como sigue:
Por definición, la sucesión {2
n
} es la función f con fn 2
n
para todo entero positivo n.
E J E M P L O 1
Hallar términos de una sucesión
Haga una lista de los primeros cuatro términos y el décimo término de cada sucesión:
a b
c d
S O L U C I Ó N
Para hallar los primeros cuatro términos, sustituimos, sucesi- vamente, n 1, 2, 3, y 4 en la fórmula para a
n
. El décimo término se encuen- tra si se sustituye 10 por n; si hacemos esto y simplificamos tendremos lo
siguiente: 4
1
n 1
n
2
3n 1 2 0.1
n
n n
1 2
1
, 2
2
, 2
3
, . . . , 2
n
, . . . b
1
, b
2
, b
3
, . . . , b
n
, . . . a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . .
y
1 2
3 4
5 n
1, a
1
3, a
3
4, a
4
n, a
n
2, a
2
x
1, a
1
, 2, a
2
, 3, a
3
, . . . , n, a
n
, . . . ,
1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
733
continúa
www.elsolucionario.net
E J E M P L O 2
Graficar una sucesión
Grafique la sucesión del ejemplo 1a, es decir, n
n 1
.
734
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
La TI-834 Plus tiene un modo especial de sucesión que no tiene la TI-86. El uso de es- te modo se explica al final de esta sección. Por ahora, consideraremos métodos genéricos que
aplican a ambas calculadoras. Para generar una sucesión, usamos el comando
seqexpression, variable, begin, end, increment. Si se omite increment, el valor por default es 1. Generemos los primeros cuatro términos de
la sucesión del ejemplo 1a.
TI-834 Plus TI-86
Generar la sucesión.
1 1
1 4
1 4
Convertir a fracciones.
Nota: El menú mostrado en la figura aparece sólo después de introducir el comando de su-
cesión.
ENTER FracF1
MORE MISCF5
MATH 2nd
ENTER 1
MATH ENTER
, ,
x-VAR ENTER
, ,
X,T,,n
,
x-VAR x-VAR
,
X,T,,n X,T,,n
seqF3 MORE
OPSF5 LIST
2nd 5
䉯 LIST
2nd
Sucesión n
-ésimo término a
n
Primeros cuatro términos Décimo término
a b
2.1, 2.01, 2.001, 2.0001 2.000 000 000 1
c d
4 4, 4, 4, 4
4 4
100 29
1 2
, 4
5 ,
9 8
, 16
11 1
n 1
n
2
3n 1 1
n 1
n
2
3n 1 2
0.1
n
2 0.1
n
10 11
1 2
, 2
3 ,
3 4
, 4
5 n
n 1
n n
1
L
www.elsolucionario.net
1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
735
Haremos uso de list para graficar la sucesión del ejemplo 2. Una demostración de gra- ficar en modo de sucesión en la TI-834 Plus aparece al final de la sección.
TI-834 Plus TI-86
Guarde los primeros n enteros positivos en una lista los valores de dominio.
1 4
1 4
Guarde los primeros n términos de una segunda lista los valores de imagen.
1 1
,
x-VAR x-VAR
,
X,T,,n X,T,,n
seqF3 MORE
OPSF5 LIST
2nd 5
䉯 LIST
2nd ENTER
xStatF2 NAMESF3
LIST 2nd
STO ENTER
L1 2nd
STO
, ,
x-VAR
,
x-VAR
, ,
X,T,,n
,
X,T,,n seqF3
MORE OPSF5
LIST 2nd
5 䉯
LIST 2nd
䉯 䉯
continúa
S O L U C I Ó N
Los valores de dominio son Los valores del rango son
o bien, lo que es equivalente,
En la figura 2 se ilustra una gráfica de los pares ordenados .
Figura 2
L
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1,
q 2,
s 3,
4, R
x 1
10,
10 11
n, nn 1 1
2 ,
2 3
, 3
4 , . . . ,
n n
1 , . . .
1 1 1
, 2
2 1 ,
3 3 1
, . . . , n
n 1
, . . . 1, 2, 3, . . . , n, . . .
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Para algunas sucesiones expresamos el primer término a
1
, junto con una regla para obtener cualquier término a
k 1
del término precedente a
k
siem-
pre que k
1. Decimos que este enunciado es una definición recursiva y se dice que la sucesión está definida recursivamente.
E J E M P L O 3
Hallar términos de una sucesión definida en forma recursiva
Encuentre los primeros cuatro términos y el n-ésimo término de la sucesión in- finita definida en forma recursiva como sigue:
S O L U C I Ó N
Los primeros cuatro términos son
enunciado
k 3
a
4
2a
3
2 2 2 3 2
3
3 24.
k 2
a
3
2a
2
2 2 3 2
2
3 12
k 1
a
2
2a
1
2 3 6 a
1
3 a
1
3, a
k 1
2a
k
para k
1
736
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
1 4
1 4
Conecte Stat Plot 1.
Fije una pantalla de por
y grafique.
Observe que nuestro método es fácilmente adaptable para hallar 50 términos de la sucesión en lugar de 4.
0.2, 1, 0.2 1, 5
ENTER PLOT1F1
PLOTF3 STAT
2nd ENTER
1 STAT PLOT
2nd ENTER
yStatF3 NAMESF3
LIST 2nd
STO ENTER
L2 2nd
STO
, ,
x-VAR
, ,
X,T,,n 䉯
䉯
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Hemos escrito los términos como productos para obtener algún conocimiento de la naturaleza del n-ésimo término. Continuando, obtenemos a
5
2
4
3, a
6
2
5
3, y, en general, para todo entero positivo n.
a
n
2
n 1
3
1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
737
Podemos generar los términos de una sucesión definida en forma recursiva al guardar primero un valor semilla o inicial en una variable. A continuación, escribimos nuestra defi-
nición recursiva en términos de esa variable y luego guardamos el resultado a la misma varia- ble. Podemos usar cualquier variable en la calculadora, pero la más fácil es la ubicación ANS
porque el último resultado calculado se guarda ahí automáticamente. Líneas más abajo apa- recen dos ejemplos para generar los términos del ejemplo 3, uno para la variable X y uno pa-
ra la ubicación ANS. Las secuencias de tecleo dadas son para la TI-834 Plus; sólo sustituya
por para la TI-86. Las funciones de repetición de la TI-834 Plus se expli-
can al final de esta sección. Para generar una sucesión definida en forma recursiva usando la variable X, use
3 2
Para generar una sucesión definida en forma recursiva usando ANS, use
3 2
ENTER ENTER
ANS 2nd
ENTER ENTER
ENTER X,T,,n
STO X,T,,n
ENTER X,T,,n
STO X,T,,n
x-VAR 䉯
Si se conocen sólo los primeros términos de una sucesión infinita, enton- ces es imposible predecir términos adicionales. Por ejemplo, si nos dan 3, 6,
9, . . . y nos piden hallar el cuarto término, no podríamos continuar sin más in- formación. La sucesión infinita con n-ésimo término
tiene como sus primeros cuatro términos a 3, 6, 9 y 120. Es posible descri- bir sucesiones en las que los primeros tres términos sean 3, 6 y 9 y el cuarto tér-
mino sea cualquier número dado. Esto demuestra que cuando trabajamos con una sucesión infinita es esencial tener información específica acerca del n-ési-
a
n
3n 1 n
3
2 n
2
3 n
L
䉯
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mo término o un esquema general para obtener cada término a partir del pre- cedente. Vea un problema conexo en el ejercicio 1 del capítulo 10 de ejerci-
cios de análisis. A veces necesitamos hallar la suma de muchos términos de una sucesión
infinita. Para expresar con facilidad tales sumas, usamos notación de suma. Dada una sucesión infinita
el símbolo representa la suma de los primeros m términos, como sigue.
m k
1
a
k
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . . ,
738
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
Notación de suma
m k
1
a
k
a
1
a
2
a
3
a
m
Para hallar la suma del ejemplo 4 en una calculadora graficadora, simplemente sumamos una sucesión.
TI-834 Plus TI-86
Genere la sucesión.
3 3
1 4
1 4
ENTER
, ,
x-VAR ENTER
, ,
X,T,,n
,
x-VAR x
2
x-VAR
,
X,T,,n x
2
X,T,,n seqF3
MORE OPSF5
LIST 2nd
5 䉯
LIST 2nd
La letra griega mayúscula sigma, , indica una suma y el símbolo a
k
represen-
ta al k-ésimo término. La letra k es el índice de la suma o la variable de la suma y los números 1 y m indican los valores mínimo y máximo de la varia-
ble de la suma, respectivamente.
E J E M P L O 4
Evaluar una suma
Encuentre la suma .
S O L U C I Ó N
En este caso, a
k
k
2
k 3. Para hallar la suma, simplemen- te sustituimos, en sucesión, los enteros 1, 2, 3 y 4 por k y sumamos los térmi-
nos resultantes:
L
2 4 0 16 10
4 k
1
k
2
k 3 1
2
1 3 2
2
2 3 3
2
3 3 4
2
4 3
4 k
1
k
2
k 3
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La letra que usemos para la variable de la suma no tiene importancia. Pa- ra ilustrar, si j es la variable de la suma, entonces
que es la misma suma que . Como un ejemplo específico, la suma del
ejemplo 4 se puede escribir
Si n es un entero positivo, entonces la suma de los primeros n términos de una sucesión infinita estará denotada por S
n
. Por ejemplo, dada la sucesión in- finita
y, en general,
Nótese que también podemos escribir
y, para toda n
1, S
n
S
n 1
a
n
. S
4
S
3
a
4
S
3
S
2
a
3
S
2
S
1
a
2
S
1
a
1
S
n n
k 1
a
k
a
1
a
2
a
n
. S
4
a
1
a
2
a
3
a
4
S
3
a
1
a
2
a
3
S
2
a
1
a
2
S
1
a
1
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . . ,
4 j
1
j
2
j 3.
m k
1
a
k m
j 1
a
j
a
1
a
2
a
3
a
m
,
1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
739
Encuentre la suma de la sucesión.
ENTER ANS
2nd ENTER
ANS 2nd
sumF1 MORE
OPSF5 LIST
2nd 5
䉰 LIST
2nd
www.elsolucionario.net
El número real S
n
se llama n-ésima suma parcial de la sucesión infinita
y la sucesión
se llama sucesión de sumas parciales. Las sucesiones de sumas parciales son importantes en el estudio de series infinitas, un tema de cálculo. Estudiaremos
algunos tipos especiales de series infinitas en la sección 10.3.
E J E M P L O 5
Hallar los términos de una sucesión de sumas parciales
Encontremos los primeros cuatro términos y el n-ésimo término de la sucesión de sumas parciales asociada con la sucesión
de enteros posi- tivos.
S O L U C I Ó N
Si hacemos a
n
n , entonces los primeros cuatro términos de la
sucesión de sumas parciales son
La n-ésima suma parcial S
n
esto es, la suma de se puede escri-
bir en cualquiera de las formas siguientes:
La suma de términos correspondientes en cada lado de estas ecuaciones nos da
Como la expresión n 1 aparece n veces en el lado derecho de la últi- ma ecuación, vemos que
L
2S
n
n n 1 o bien, lo que es equivalente, S
n
n n 1
2 .
1 2
S
n
n n 1 n 2 3
n 2 n 1 n 3
S
n
1 2 1, 2, 3, . . . , n
S
4
S
3
a
4
6 4 10. S
3
S
2
a
3
3 3 6 S
2
S
1
a
2
1 2 3 S
1
a
1
1 1, 2, 3, . . . , n, . . .
S
1
, S
2
, S
3
, . . . , S
n
, . . . a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . . ,
740
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
Para hallar los términos de la sucesión de sumas parciales del ejemplo 5 en una calcula- dora graficadora, usamos la función de suma acumulativa.
TI-834 Plus TI-86
Genere la sucesión.
1 4
1 4
ENTER ENTER
, ,
x-VAR
,
x-VAR
, ,
X,T,,n
,
X,T,,n seqF3
MORE OPSF5
LIST 2nd
5 䉯
LIST 2nd
n veces
2S
n
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1.
www.elsolucionario.net
Si a
k
es la misma para todo entero positivo k, por ejemplo a
k
c para un
número real c, entonces
Hemos demostrado la propiedad 1 del teorema siguiente. c c c c nc.
n k
1
a
k
a
1
a
2
a
3
a
n
1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
741
Encuentre los términos de la sucesión de sumas parciales.
Para graficar la sucesión de sumas parciales, podríamos guardar los primeros n enteros posi- tivos y la suma acumulativa en dos listas y luego graficarlos, como se demuestra en el inser-
to de calculadora que sigue al ejemplo 2.
ENTER ANS
2nd cSumF3
ENTER ANS
2nd MORE
MORE OPSF5
LIST 2nd
6 䉯
LIST 2nd
Teorema sobre la suma de una constante
1 2
n km
c n m 1c
n k
1
c nc
Para demostrar la propiedad 2, podemos escribir
reste los primeros términos de la suma
de n términos use la propiedad 1 para cada suma
factorice c simplifique
Suma de una constante
10 k
1
10 10
4 k
1
7 4 7 28 n m 1c.
n m 1c nc
m 1c
m 1
n km
c
n k
1
c
m 1
k 1
c
I L U S T R A C I Ó N
continúa
www.elsolucionario.net
Como se muestra en la propiedad 2 del teorema anterior, el dominio de la variable de la suma no tiene que empezar con 1. Por ejemplo,
Como otra variación, si el primer término de una sucesión infinita es a , como
en entonces podemos considerar sumas de la forma
que es la suma de los primeros n 1 términos de la sucesión. Si la variable de la suma no aparece en el término a
k
, entonces todo el tér- mino
puede ser considerado una constante. Por ejemplo,
porque j no aparece en el término a
k
. La notación de la suma se puede usar para denotar polinomios. Así, si
entonces
El siguiente teorema acerca de sumas tiene numerosos usos. f
x
n k
a
k
x
k
. f
x a a
1
x a
2
x
2
a
n
x
n
,
n j
1
a
k
n a
k
,
n k
a
k
a a
1
a
2
a
n
, a
, a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . . ,
8 k
4
a
k
a
4
a
5
a
6
a
7
a
8
.
20 k
10
5 20 10 15 115 55
8 k
3
9 8 3 19 69 54
742
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
Teorema sobre sumas Si
y son sucesiones infinitas, entonces
para todo entero positivo n,
1 2
3
para todo número real c
n k
1
ca
k
c
n k
1
a
k n
k 1
a
k
b
k n
k 1
a
k n
k 1
b
k n
k 1
a
k
b
k n
k 1
a
k n
k 1
b
k
b
1
, b
2
, . . . , b
n
, . . . a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . .
www.elsolucionario.net
P R U E B A S
Para demostrar la fórmula 1, primero escribimos
Usando las propiedades conmutativa y asociativa de números reales muchas veces, podemos reacomodar los términos del lado derecho para obtener
Para una demostración de la fórmula 3, tenemos
La demostración de la fórmula 2 se deja como ejercicio.
L
c
n k
1
a
k
. c
a
1
a
2
a
3
a
n n
k 1
ca
k
ca
1
ca
2
ca
3
ca
n n
k 1
a
k n
k 1
b
k
.
n k
1
a
k
b
k
a
1
a
2
a
3
a
n
b
1
b
2
b
3
b
n n
k 1
a
k
b
k
a
1
b
1
a
2
b
2
a
3
b
3
a
n
b
n
.
1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
743
Uso del modo de sucesión de la TI-834 Plus
Presione y use las teclas del cursor para destacar
Seq y Dot. Desactive Stat Plot 1.
Introduzca la sucesión del ejemplo 1a,
1
Nota: unMín se puede dejar en blanco.
Escriba la sucesión.
1 4
Escriba un término específico.
3 ENTER
1 MATH
u 2nd
ENTER 1
MATH
,
u 2nd
QUIT 2nd
X,T,,n X,T,,n
Y
n n
1 .
MODE
Listas y gráficas de una sucesión.
continúa
www.elsolucionario.net
744
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
Ajuste las variables de ventana para graficar los primeros cua- tro términos de la sucesión.
1 4
1 1
1 5
1 .2
1 .2
Grafique la sucesión al pulsar . Pulse
y las te- clas de izquierda y derecha del cursor para ver los valores de la
sucesión.
En forma repetitiva defina la sucesión del ejemplo 3, para
2 1
3
Escriba los primeros cuatro términos de la sucesión.
1 4
Podemos graficar una sucesión de sumas parciales al definir que u es la sucesión de términos y v es la suma de esa sucesión.
Demostraremos con la sucesión del ejemplo 5, es decir, a
n
n .
1 1
1 1
䉮 䉮
,
X,T,,n
, ,
X,T,,n
,
u 2nd
5 䉯
LIST 2nd
5 䉰
LIST 2nd
䉮 䉮
X,T,,n CLEAR
Y ENTER
,
u 2nd
QUIT 2nd
ENTER ENTER
X,T,,n u
2nd CLEAR
Y
k 1.
a
k 1
2a
k
a
1
3,
TRACE GRAPH
䉮 䉮
䉮 䉮
䉮 䉮
䉮 䉮
䉮 WINDOW
Generar una sucesión definida en forma
repetitiva.
Graficar una sucesión de sumas parciales.
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1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
745
Ajuste las variables de ventana para graficar los primeros cua- tro términos de las sucesiones.
1 4
1 1
1 5
1 1
11 1
Grafique la sucesión y la sucesión de sumas parciales al pulsar . Nótese que la primera suma parcial es igual al primer
término de la sucesión.
GRAPH 䉮
䉮 䉮
䉮 䉮
䉮 䉮
䉮 䉮
WINDOW
sumas parciales
a
n
n
10.1
E j e r c i c i o s
Ejer. 1-16: Encuentre los primeros cuatro términos y el oc- tavo término de la sucesión.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 es el número de posiciones decimales
16 es el número de enteros positivos menores que .
n
3
a
n
0.1
n
a
n
n 1n 2n 3 2
n
n
2
2 1
n 1
0.1
n 1
1 1
n 1
1
n
6 2n
2
n 1
1
n 1
n 7
2n 4 0.1
n
2 0.1
n
2
2 9
10 1
n 3n 2
n
2
1 3
5n 2 12 3n
Ejer. 17-20: Grafique la sucesión.
17 18
19 20
Ejer. 21-28: Encuentre los primeros cinco términos de la sucesión infinita definida en forma repetitiva.
21 22
23 24
25 26
27 28
a
1
2, a
k 1
a
k 1k
a
1
2, a
k 1
a
k k
a
1
3, a
k 1
1 a
k
a
1
5, a
k 1
ka
k
a
1
128, a
k 1
1 4
a
k
a
1
3, a
k 1
a
2 k
a
1
5, a
k 1
7 2a
k
a
1
2, a
k 1
3a
k
5 1
n
2n 1 1
n 1
n
2
1 n
1
2
n
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Ejer. 29-32: Encuentre los primeros cuatro términos de la sucesión de sumas parciales para la sucesión dada.
29 30
31 32
Ejer. 33-48: Encuentre la suma.
33 34
35 36
37 38
39 40
41 42
43 44
45 46
47 48
49 Demuestre la fórmula 2 del teorema sobre sumas.
50 Extienda la fórmula 1 del teorema sobre sumas a
51 Considere la sucesión definida en forma recursiva por
, para
Describa lo que ocurre a los términos de la sucesión cuando k aumenta.
52 Se pueden obtener aproximaciones a p a partir de la suce-
sión
Use la tecla para tan.
TAN
x
1
3, x
k 1
x
k
tan x
k
. k
1. a
k 1
2
a
k
a
1
5
n k
1
a
k
b
k
c
k
.
5 k
3j 2
7 j
1
1 2
k
2 428
k 137
2.1
571 k
253
1 3
1000 k
1
5
100 k
1
100
4 k
3 2
k 5
k 1
3
k 1
6 k
1
3 k
1
6 k
3
k 5
k 1
4 k
k 1k 3
5 k
k k 2
10 k
1
1 1
k 4
k 1
k
2
5
6 k
1
10 3k
5 k
1
2k 7 1
n
12
n
1
n
n
12
1n
2
3
1 2
n
746
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
a Encuentre los primeros cinco términos de esta suce-
sión. b
¿Qué ocurre a los términos de la sucesión cuando x
1
6? 53 Sucesión de Bode
La sucesión de Bode, definida por a
1
0.4, a
k
0.13 2
k 2
4 para
k 2,
se puede usar para calcular distancias de planetas desde el Sol. Estas distancias se miden en unidades astronómicas,
con 1 UA 93,000,000 de millas. Por ejemplo, el tercer término corresponde a la Tierra y el quinto término al pla-
neta menor Ceres. Calcule los primeros cinco términos de la sucesión.
54 Crecimiento de bacterias El número de bacterias en cierto
cultivo es inicialmente de 500 y se duplica cada día. a
Encuentre el número de bacterias presente después de un día, dos días y tres días.
b Encuentre una fórmula para el número de bacterias
presente después de n días. 55 La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci está de- finida en forma recursiva por
a
1
1, a
2
1, a
k 1
a
k
a
k 1
para k
2. a
Encuentre los primeros diez términos de la sucesión. b
Los términos de la sucesión dan cada vez
mejores aproximaciones a , la razón de oro. Calcule los primeros diez términos de esta sucesión.
56 La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci puede estar definida por la fórmula
Encuentre los primeros ocho términos y demuestre que concuerdan con los hallados usando la definición del ejer-
cicio 55. 57 Niveles de cloro
A veces se agrega cloro a las piscinas pa- ra controlar microorganismos. Si el nivel de cloro sube por
encima de 3 ppm partes por millón, los nadadores experi- mentarán ardor de ojos e incomodidad en la piel. Si el ni-
vel cae por debajo de 1 ppm, hay la posibilidad de que el agua se ponga verde debido a la gran cantidad de algas. El
cloro debe agregarse al agua de las piscinas a intervalos re- gulares. Si no se agrega cloro a una piscina durante un pe-
riodo de 24 horas, alrededor del 20 del cloro se disipará en la atmósfera y el 80 continuará en el agua.
a
n
1
2
5 1
2
5 2
n
1
2
5 1
2
5 2
n
. r
k
a
k 1
a
k
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1 0 . 1 S u c e s i o n e s i n f i n i t a s y n o t a c i ó n d e s u m a
747
a Determine una sucesión recursiva a
n
que exprese la cantidad de cloro presente después de n días si la pis-
cina tiene a ppm de cloro inicialmente y no se agrega
cloro. b
Si una piscina tiene 7 ppm de cloro inicialmente, cons- truya una tabla para determinar el primer día en el que
el nivel de cloro caerá por debajo de 3 ppm.
58 Niveles de cloro Consulte el ejercicio 57. Suponga que una
piscina tiene 2 ppm de cloro inicialmente y 0.5 ppm de clo- ro se agregan a la piscina al final de cada día.
a Encuentre una sucesión recursiva a
n
que exprese la cantidad de cloro presente después de n días.
b Determine la cantidad de cloro en la piscina después
de 15 días y después de un largo tiempo. c
Calcule la cantidad de cloro que es necesario agregar diariamente para estabilizar el nivel de cloro de la pis-
cina en 1.5 ppm.
59 Costos de palos de golf Una empresa fabricante de palos de
golf vende palos llamados driver que lanzan la pelota a mayor distancia como sigue:
Encuentre una función C definida por partes que especifi- que el costo total por n palos. Trace una gráfica de C.
60 Costo de reproductores de DVD Un mayorista de aparatos
electrónicos vende reproductores de DVD en 20 cada uno por las primeras 4 unidades. Todas las unidades que pasen
de 4 se venden en 17 cada una. Encuentre una función C definida por partes que especifique el costo total de n repro-
ductores. Trace una gráfica de C.
Ejer. 61-62: Algunas calculadoras usan un algoritmo simi- lar al siguiente para calcular
para un número real po- sitivo N: Sea
y encuentre aproximaciones sucesivas x
2
, x
3
, . . . usando
hasta obtener la precisión deseada. Use este método para calcular el radical a una precisión de seis lugares decimales.
61 62
2
18
2
5
x
2
ⴝ
1 2
x
1
ⴙ
N x
1
, x
3
ⴝ
1 2
x
2
ⴙ
N x
2
, . . . x
1
ⴝ N 2
2
N
63 La ecuación
tiene una raíz cercana a 2. Para calcular esta raíz, reescriba la ecuación como
. Sea x
1
2 y encuentre aproximaciones su- cesivas x
2
,x
3
, . . . usando las fórmulas hasta obtener una precisión de cuatro lugares decimales.
64 La ecuación
tiene una raíz cercana a 0. Use un procedimiento similar al del ejercicio 63 para
calcular esta raíz a una precisión de cuatro lugares decima- les.
Ejer. 65-66: a Demuestre que f toma valores positivos y negativos en el intervalo [1, 2]. b Use el método del ejerci-
cio 63, con x
1
1.5, para calcular un cero de f a una preci- sión de dos lugares decimales.
65 66
Sugerencia: Despejar x en log x.
Ejer. 67-70: Para el n-ésimo término dado a
n
f n de una
sucesión, use la gráfica de y fx en el intervalo [1, 100] para verificar que cuando n aumenta sin límite, a
n
se apro- xima a algún número real c.
67 68
69 70
Ejer. 71-74: Grafique la sucesión a
k
definida en forma re- cursiva en el modo de punto para k 1, 2, 3, . . . , 20 al de-
terminar el valor de k a lo largo del eje x y el valor de a
k
a lo largo del eje y. Trace la gráfica para determinar la míni-
ma k tal que a
k
100.
71 72
73 74
75 Población de insectos La sucesión definida por
se usa en el estudio del crecimiento de poblaciones de in- sectos. La constante c recibe el nombre de factor de Mal-
a
k 1
ca
k
1 a
k
a
1
1, a
k
0.2a
2 k
1
1.5 a
1
7.25, a
k
0.1a
2 k
1
2 a
1
6, a
k
1.05a
k 1
4 a
1
0.25, a
k
1.7a
k 1
0.5 a
n
2.1
n
1
1n
a
n
1 n
1n
a
n
n
1n
a
n
1 1
n 1
2n
2 n
f x log x 10
x
f x x 2 log x
2x 1
x
4
x 2
x
2
1 3
2
3
x
1
2, x
3
1 3
2
3
x
2
2, . . .
x
1 3
2
3
x 2
1 3
2
3
x x 2 0
Número de cabeza 1–4
5–9 10
Costo por palo
89.95 87.95
85.95
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748
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
portante, y c se puede interpretar como el grado de fertili- dad de los insectos.
a Haga conjeturas acerca de la forma en que c afecta la
población de insectos si 0 c 1. b
Pruebe su conjetura usando varios valores para c. thus. Suponga que 1000a
k
es igual al número de insectos después de k intervalos. Si inicialmente a
1
0.25, descri- ba el comportamiento de la población de insectos para ca-
da valor de c. a
b c
76 Población de insectos Consulte el ejercicio 75. El factor c
de Malthus afecta la población a
k
de insectos en forma im- c
2.75 c
1.5 c
0.5
10.2
Sucesiones aritméticas
I L U S T R A C I Ó N
En esta sección y la siguiente consideramos dos tipos especiales de sucesio- nes: aritméticas y geométricas. El primer tipo se puede definir como sigue.
Observe que la diferencia común d es la diferencia de cualesquier dos tér- minos sucesivos de una sucesión aritmética.
Sucesión aritmética y diferencia común
diferencia común diferencia común
E J E M P L O 1
Demostrar que una sucesión es aritmética
Demuestre que la sucesión es aritmética y encuentre la diferencia común.
S O L U C I Ó N
Si , entonces para todo entero positivo k,
En consecuencia, la sucesión dada es aritmética con diferencia común 3.
L
3k 3 2 3k 2 3. a
k 1
a
k
3k 1 2 3k 2 a
n
3n 2 1, 4, 7, 10, . . . , 3n 2, . . .
7 10 17
17, 10, 3, 4, . . . , 24 7n, . . .
5 2
3
3, 2, 7, 12, . . . , 5n 8, . . .
Definición de sucesión aritmética
Una sucesión a
1
, a
2
,…,a
n
,… es una sucesión aritmética si hay un número
real d tal que para todo entero positivo k, a
k 1
a
k
d .
El número d a
k 1
a
k
se denomina diferencia común de la sucesión.
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