S O L U C I Ó N
La magnitud de a está dada por Un vector unitario u en la dirección de a se puede hallar al multiplicar a por
. Por tanto,
La multiplicación de u por 6 nos da un vector de magnitud 6 en la dirección de a, de modo que multiplicaremos u por 6 para obtener el vector deseado b
como se ilustra en la figura 18:
L
E J E M P L O 6
Hallar un vector resultante
Dos fuerzas and
de magnitudes 5.0 kilogramos y 8.0 kilogramos, res- pectivamente, actúan en un punto P. La dirección de
es N20°E y la direc- ción de
es N65°E. Calcule la magnitud y dirección de la resultante .
S O L U C I Ó N
Las fuerzas están representadas geométricamente en la figura 19. Nótese que los ángulos desde el eje x positivo a
y tienen medidas
70° y 25°, respectivamente. Usando las fórmulas para componentes horizon- tales y verticales, obtenemos lo siguiente:
Como ,
En consecuencia, También podemos hallar
usando la ley de los cosenos vea el ejem- plo 3 de la sección 8.2. Como ⬔QPR 45°, se deduce que ⬔PRS 135° y
por tanto
y Si u es el ángulo desde el eje x positivo a la resultante PS, entonces usando
las aproximadas coordenadas 8.9606, 8.0794 de S, obtenemos lo siguiente:
Por tanto, la dirección de es aproximadamente N90° 42°E N48°E.
L
PS
l
tan
1
0.9017 42 tan
8.0794 8.9606
0.9017 PS
l
2
145.6 12.1.
PS
l
2
8.0
2
5.0
2
2 8.05.0 cos 135 145.6
PS
l
PS
l
2
9.0
2
8.1
2
12.1.
8.9606i 8.0794j 9.0i 8.1j.
PS
l
5 cos 70 8 cos 25i 5 sen 70 8 sen 25j
PS
l
PQ
l
PR
l
PR
l
8 cos 25i 8 sen 25j
PQ
l
5 cos 70i 5 sen 70j
PR
l
PQ
l
PS
l
PR
l
PQ
l
PR
l
PQ
l
b 6u 6
5 13
, 12
13 30
13 ,
72 13
u
1
a a
1 13
5, 12 5
13 ,
12 13
. 1
a a
2
5
2
12
2
2
25 144
2
169 13.
600
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Figura 18
y
x 5
12 13
6 1
b
30 13
72 13
,
a 5, 12
5 13
12 13
u ,
Figura 19
y
x 20
65 8.0
5.0 S
P R
Q
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Ejer. 1-6: Encuentre a b, a b, 4a 5b, 4a 5b, y a .
1 2
3 4
5 6
Ejer. 7-10: Trace los vectores correspondientes a a, b, a b, 2a y 3b.
7 8
9 10
Ejer. 11-16: Use componentes para expresar la suma o dife- rencia como múltiplo escalar de uno de los vectores a, b, c,
d, e o f que se muestran en la figura.
11 12
13
f
14
e
15 16
2f
e c
1 2
e
b d f b
b e
3d
c d
b
a b
y
x 2
1 2
1
1 1
a b
c
d e
f b
2, 0 a
2, 0,
b
2, 3
a
4, 6,
b i 3j a 5i 2j,
b i 5j a 3i 2j,
6i 2j, 0i 0j, 27i 9j, 3i j,
2
10
b 3i j a 3i j,
4i 3j, 2i 7j, 19i 17j, 11i 33j,
2
5
b 3i 5j a i 2j,
4, 8, 16, 8, 10, 32, 70, 32,
2
164
b 6, 0
a 2 5, 4,
15, 6, 1, 2, 68, 28, 12, 12,
2
53
b 4 2, 1
a 7, 2,
0, 9, 4, 3, 2, 39, 18, 9,
2
40
b
2, 3
a
2, 6,
3, 1, 1, 7, 13, 8, 3, 32,
2
13
b 1, 4
a 2, 3,
Ejer. 17-26: Si y m y n
son números reales, demuestre la propiedad expresada.
17 18
19 20
21 22
23 24
25 26
27
Si v a, b, demuestre que la magnitud de 2v es el doble
de la magnitud de v.
28 Si v
a, b, y k es cualquier número real, demuestre que
la magnitud de kv es por la magnitud de v.
Ejer. 29-36: Encuentre la magnitud del vector a y el mínimo ángulo u positivo desde el eje x positivo al vector OP que co-
rresponde a a. 29
30
4;
31 32
5; 10;
33 34
35 36
Ejer. 37-40: Los vectores a y b representan dos fuerzas que actúan en el mismo punto, y u es el mínimo ángulo positivo
entre a y b. Calcule la magnitud de la fuerza resultante. 37
102 lb
38
10.1 lb
39
7.2 lb
40
28.3 lb
150
b 50 lb, a 30 lb,
120
b 8.0 lb, a 2.0 lb,
60
b 6.2 lb, a 5.5 lb,
45 b 70 lb,
a 40 lb,
2
13; tan
1
3 2
2 18;
3 2
a 2i 3j a 18j
10
2
2; 7
4
2
41; tan
1
5 4
a 10i 10j a 4i 5j
2
a
0, 10
a
5, 0
4 3
3
2
2; 7
4
a 2, 2
2
3
a 3, 3
k m
a b ma mb a b a b
ma ma 0a 0 m0
1a a mna mna nma
m na ma na a
a 0 a 0 a
a b c a b c
c ⴝ c
1
, c
2
, b ⴝ
b
1
, b
2
, a ⴝ
a
1
, a
2
,
8 . 3 V e c t o r e s
601
8.3
E j e r c i c i o s
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Ejer. 41-44: Las magnitudes y direcciones de dos fuerzas que actúan en un punto P están dadas en a y b. Calcule
la magnitud y dirección del vector resultante. 41 a
90 lb, N75W
b 60 lb,
S5E
89 lb; S66W
42 a 20 lb,
S17W b
50 lb, N82W
57 lb; S78W
43 a 6.0 lb, 110
b 2.0 lb, 215
5.8 lb; 129
44 a 70 lb,
320 b
40 lb, 30
92 lb; 344
Ejer. 45-48: Calcule los componentes horizontales y vertica- les del vector que se describe.
45 Lanzar un balón de futbol Un “mariscal de campo” lanza
un balón de futbol con una rapidez de 50 piess a un ángulo de 35° con la horizontal.
46 Tirar de un trineo Un niño tira de un trineo en un campo ne-
vado ejerciendo una fuerza de 20 libras en un ángulo de 40° con la horizontal.
47 Músculo del bíceps El músculo del bíceps, al soportar el an-
tebrazo y un peso sostenido en la mano, ejerce una fuerza de 20 libras. Como se ve en la figura, el músculo forma un
ángulo de 108° con el antebrazo.
Ejercicio 47
48 Aproximación de un avión a reacción Un avión a reacción
se aproxima a una pista en un ángulo de 7.5° con la hori- zontal, volando a una velocidad de 160 mih.
Ejer. 49-52 Encuentre un vector unitario que tenga a la misma dirección que el vector a y b la dirección opuesta al
vector a. 49
50 51
52
0, 1; 0, 1 2
2
29 ,
5
2
29 ;
2
2
29 ,
5
2
29
a
0, 6
a
2, 5
5
2
34
i
3
2
34
j
8 17
i
15 17
j;
8 17
i
15 17
j
a 5i 3j a 8i 15j
108 53
Encuentre un vector que tenga la misma dirección que 6, 3 y
a el doble de magnitud
b la mitad de la magnitud
54
Encuentre un vector que tenga la dirección opuesta de 8i 5j y
a tres veces la magnitud
b un tercio de la magnitud
55 Encuentre un vector de magnitud 6 que tenga la dirección
opuesta de a 4i 7j.
56 Encuentre un vector de magnitud 4 que tenga la dirección
opuesta de a
2, 5.
Ejer. 57-60: Si las fuerzas F
1
, F
2
, . . . , F
n
actúan en un punto P
, la fuerza F neta o resultante es la suma F
1
F
2
ⴢ ⴢ ⴢ
F
n
. Si F 0, se dice que las fuerzas están en equilibrio. Las fuerzas dadas actúan en el origen O de un plano xy.
a Encuentre la fuerza neta F. b Encuentre una fuerza adicional G tal que ocurra equili-
brio.
57 58
none needed
59
F 5.86, 1.13; G F 5.86, 1.13
y
x 6
4
F
1
F
2
130 120
F 0, 0;
F
3
3, 4 F
2
0, 3, F
1
3, 1,
F 7, 2; G F 7, 2
F
3
5, 2 F
2
2, 3, F
1
4, 3,
602
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
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60
61 Fuerza de un remolcador Dos remolcadores están tirando
de un gran barco hacia puerto, como se muestra en la figura. El mayor de ellos ejerce una fuerza de 4000 libras en su
cable y el remolcador más pequeño ejerce una fuerza de 3200 libras en su cable. Si el barco ha de moverse en la línea
recta l, calcule el ángulo u que el remolcador más grande debe formar con l.
Ejercicio 61
62 Simulación de la atracción gravitacional En la figura se
muestra un sencillo aparato que se puede usar para simular condiciones de atracción gravitacional en otros planetas.
Una cuerda está atada a un astronauta que maniobra en un plano inclinado que forma un ángulo de u grados con la
horizontal.
a Si el astronauta pesa 160 libras, encuentre los compo-
nentes x y y de la fuerza hacia abajo vea los ejes en la figura.
b El componente y de la parte a es el peso del astro-
nauta con respecto al plano inclinado. El astronauta pe- saría 27 libras en la Luna y 60 libras en Marte. Calcule
los ángulos u al 0.01° más cercano para que el apa- rato de plano inclinado simule caminar en estas super-
ficies. 30
u l
F 4.06, 9.78; G F 4.06, 9.78
y
x 7
8
F
1
F
2
F
3
70 50
80 5
Ejercicio 62
63 Curso de un avión y rapidez en tierra Un avión con veloci-
dad relativa de 200 mih está volando en la dirección 50° y un viento de 40 mih está soplando directamente del oeste.
Como se ve en la figura, estos datos pueden ser representa- dos por vectores p y w de magnitudes 200 y 40, respectiva-
mente. La dirección de la resultante p w da el curso verdadero del avión con respecto al suelo y la magnitud
es la rapidez del avión en tierra. Calcule el curso verdadero y la rapidez en tierra.
Ejercicio 63
64 Curso de un avión y rapidez en tierra Consulte el ejercicio
63. Un avión está volando en la dirección 140° con una ve- locidad relativa de 500 mih y un viento de 30 mih está so-
plando en la dirección 65°. Calcule el curso verdadero y rapidez en tierra del avión.
50
w p
p w p w
160 u
y
x
8 . 3 V e c t o r e s
603
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65 Curso de un avión y rapidez en tierra El piloto de un avión
desea mantener un curso verdadero en la dirección 250° con una rapidez en tierra de 400 mih, cuando el viento está so-
plando directamente al norte a 50 mih. Calcule la velocidad relativa necesaria y el rumbo de la brújula.
66 Dirección y rapidez del viento Un avión está volando en la
dirección 20° con una velocidad relativa de 300 mih. Su ve- locidad absoluta y curso verdadero son 350 mih y 30°, res-
pectivamente. Calcule la dirección y rapidez del viento.
67 Navegación de un bote de remos La corriente de un río
se mueve directamente del oeste a razón de 1.5 piess. Una persona que rema en un bote a razón de 4 piess en aguas en
calma desea remar directamente del norte para cruzar el río. Calcule, al grado más cercano, la dirección en la que la per-
sona debe remar.
68 Navegación en bote de motor Para que un bote de motor
que se mueve a una rapidez de 30 mih, navegue directa- mente al norte para cruzar un río, debe dirigirse a un punto
que tiene el rumbo N15°E. Si la corriente se mueve directa- mente al oeste, calcule la rapidez a la que se mueve.
69 Flujo de aguas subterráneas Contaminantes de aguas sub-
terráneas pueden entrar al agua potable de una comunidad cuando se mueven a través de piedra porosa y entran al acuí-
fero. Si las aguas subterráneas se mueven con velocidad v
1
por la interfase entre un tipo de roca y un segundo tipo de roca, su velocidad cambia a v
2
y tanto la dirección como la rapidez de flujo se pueden obtener con la fórmula
donde los ángulos u
1
y u
2
son como se muestra en la figura. Para piedra arenisca,
; para piedra cali- za,
3.8 cm al día. Si calcule los vectores
v
1
y v
2
en forma de i, j.
Ejercicio 69
Piedra arenisca
v
1
u
1
u
2
v
2
Piedra caliza
1
30,
v
2
v
1
8.2 cm al día
v
1
v
2
tan
1
tan
2
, 70 Flujo de aguas subterráneas
Consulte el ejercicio 69. Aguas subterráneas contaminadas se mueven por
arena fangosa con una dirección de flujo u
1
y rapidez en
dada por el vector v
1
20i 82j.
Cuando el flujo entra a una región de arena limpia, su rapidez aumenta a 725
. Encuentre la nueva dirección de flujo al calcular u
2
.
71 Movimiento robótico Los vectores son útiles para describir
el movimiento de robots. a
El brazo de robot que se ilustra en la primera figura puede girar en las conexiones P y Q articuladas. El
brazo superior, representado por a, mide 15 pulgadas de largo y el antebrazo incluyendo la mano, represen-
tado por b, mide 17 pulgadas de largo. Calcule las coordenadas del punto R en la mano al usar a b.
Ejercicio 71a
b Si el brazo superior gira 85° y el antebrazo gira otros
35°, como se ilustra en la segunda figura, calcule las nuevas coordenadas de R al usar c d.
Ejercicio71b
24.57, 18.10
P
a b
40 Q
R cm
al día cm
al día
604
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
P
c d
40 Q
R 35
85
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El producto punto de dos vectores tiene numerosas aplicaciones. Empe- cemos con una definición algebraica.
El símbolo a b se lee “a punto b”. También nos referimos al producto punto como el producto escalar o el producto interior. Observe que a b es
un número real y no un vector, como se ilustra en el ejemplo siguiente.
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
605
72 Movimiento robótico Consulte el ejercicio 71
.
a Suponga que a la articulación de la muñeca del brazo
del robot se le permite girar en la conexión S y el bra- zo se coloca como se muestra en la primera figura. El
brazo superior tiene una longitud de 15 pulgadas; el an- tebrazo, sin la mano, tiene una longitud de 10 pulgadas
y la mano tiene una longitud de 7 pulgadas. Calcule las coordenadas de R usando a b c.
Ejercicio 72a
b Suponga que el brazo superior del robot se gira 75° y
luego el antebrazo se gira 80° y finalmente la mano se gira otros 40°, como se ve en la segunda figura.
Calcule las nuevas coordenadas de R usando d e f
P
a b
50 Q
R S
c
20.57, 24.51
Ejercicio 72b
73 Fuerzas en Stonehenge Consulte el ejercicio 25 de la sec-
ción 6.2. En la construcción de Stonehenge, se emplearon grupos de 550 personas para subir bloques de 99,000 libras
por rampas inclinadas a 9°. Haciendo caso omiso de la fric- ción, determine la fuerza con la que cada persona tuvo que
contribuir para subir la piedra por la rampa.
28.2
Ejercicio 73
9 550 personas
lb person
75
d e
f
80 40
P Q
S R
8.4
Producto punto
Definición de producto punto
Sea y . El
producto punto de a y b, denotado por a b, es
a b a
1
, a
2
b
1
, b
2
a
1
b
1
a
2
b
2
.
b b
1
, b
2
b
1
i b
2
j a
a
1
, a
2
a
i
i a
2
j
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E J E M P L O 1
Hallar el producto punto de dos vectores
Encuentre a b. a
, b
,
S O L U C I Ó N
a b
L
4i 6j 3i 7j 43 67 12 42 30
5, 3 2, 6 52 36 10 18 8
b 3i 7j a 4i 6j
b 2, 6
a 5, 3
606
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Busquemos el producto punto del ejemplo 1a en una calculadora de gráficas.
TI-834 Plus TI-86
Hallar un producto punto.
El producto de las listas {a
1
, a
2
} y {b
1
, b
2
} es la lista {a
1
b
1
, a
2
b
2
}. Sumar estos elementos nos da el producto punto.
5 3
2 6
ENTER ANS
2nd 5
䉰 LIST
2nd ENTER
} 2nd
, {
2nd }
2nd
, {
2nd
La TI-86 tiene una función punto que acepta dos vectores y ejecuta su producto punto.
5 3
2 6
ENTER ]
2nd
, [
2nd
, ]
2nd
, [
2nd dotF4
MATHF3 VECTR
2nd
Propiedades del producto punto Si a, b y c son vectores y m es un número real, entonces
1 2
3 4
5 0 a 0
ma b ma b a mb a
b c a b a c a b b a
a a a
2
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D E M O S T R A C I Ó N
La demostración de cada propiedad se sigue de la definición del producto punto y las propiedades de números reales. Por tanto, si
, y c
c
1
, c
2
, entonces
definición de suma definición de producto
punto propiedades de números
reales definición de producto
punto
que demuestra la propiedad 3. Las demostraciones de las propiedades restan- tes se dejan como ejercicios.
L
Cualesquier dos vectores diferentes de cero a a
1
, a
2
y b b
1
, b
2
pueden estar representados en un plano de coordenadas por segmentos de recta dirigidos del origen O a los puntos Aa
1
, a
2
y Bb
1
, b
2
, respectivamente. El
ángulo u entre a y b es, por definición, ⬔AOB vea la figura 1. Nótese que 0 u p y que u 0 si a y b tienen la misma dirección o u p si a y b
tienen direcciones opuestas.
Figura 1
Los vectores a y b de la figura 1 son paralelos si y sólo si se encuentran en la misma recta que pasa por el origen. En este caso, b ma para algún nú-
mero real m. Los vectores son ortogonales si y sólo si se encuentran en líneas mutuamente perpendiculares que pasen por el origen. Suponemos que el vec-
tor cero 0 es paralelo y ortogonal a todo vector a.
El siguiente teorema muestra la estrecha relación entre el ángulo entre dos vectores y el producto punto de éstos.
y
x A
a
1
, a
2
B b
1
, b
2
a b
O u
a b a c,
a
1
b
1
a
2
b
2
a
1
c
1
a
2
c
2
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a b c a
1
, a
2
b
1
c
1
, b
2
c
2
b
b
1
, b
2
a
a
1
, a
2
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
607
Definición de vectores paralelos y ortogonales
Sea u el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero. 1 a y b son paralelos si u 0 o u p.
2 a y b son ortogonales si .
2
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D E M O S T R A C I Ó N
Si a y b no son paralelos, tenemos una situación seme-
jante a la ilustrada en la figura 1. Entonces podemos aplicar la ley de los cosenos al triángulo AOB. Como las longitudes de los tres lados del triángulo
son , , y
, Usando la fórmula de la distancia y la definición de la magnitud de un vector,
obtenemos
que se reduce a Dividiendo entre 2 ambos lados de la última ecuación, tendremos
que es equivalente a lo que deseábamos demostrar, porque el lado izquierdo es a b.
Si a y b son paralelos, entonces sus ángulos u 0 o u p y por lo tanto b ma para algún número real m con m 0 si u 0 y m 0 si u p. Po-
demos demostrar, usando propiedades del producto punto, que y en consecuencia el teorema es verdadero para todos los vec-
tores a y b diferentes de cero.
L
E J E M P L O 2
Hallar el ángulo entre dos vectores
Encuentre el ángulo entre a 4, 3 y b 1, 2.
S O L U C I Ó N
Los vectores están trazados en la figura 2. Aplicamos el teorema precedente:
En consecuencia,
L
arccos 2
2
5 25
100.3°. cos
a b a b
41 32
2
16 9
2
1 4 2
5
2
5 , o
2
2
5 25
a ma cos a
ma
a
1
b
1
a
2
b
2
a b cos ,
2a
1
b
1
2a
2
b
2
2
a b cos .
b
1
a
1 2
b
2
a
2 2
a
2 1
a
2 2
b
2 1
b
2 2
2 a b cos ,
dA, B
2
a
2
b
2
2
a b cos .
d A, B
b a
608
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Teorema sobre el producto punto
Si u es el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces a b
a b cos .
Figura 2
y
x
a b
u
Teorema del coseno del ángulo entre vectores
Si u es el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero, entonces
cos
a b a b
.
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E J E M P L O 3
Demostrar que dos vectores son paralelos
Sea y
b 2i 12j. a Demuestre que a y b son paralelos.
b Encuentre el escalar m tal que b ma.
S O L U C I Ó N
a Por definición, los vectores a y b son paralelos si y sólo si el ángulo u entre ellos es 0 o p. Como
concluimos que u arccos1 p.
b Como a y b son paralelos, hay un escalar m tal que b ma; esto es, Si igualamos los coeficientes de i y de j tendremos
Por tanto, m 4; es decir, b 4a. Observe que a y b tienen direcciones opuestas, porque m 0.
L
Usando la fórmula , junto con el hecho que dos
vectores son ortogonales si y sólo si el ángulo entre ellos es o uno de los
dos vectores es 0, nos da el siguiente resultado.
E J E M P L O 4
Demostrar que dos vectores son ortogonales
Demuestre que el par de vectores es ortogonal: a i, j
b 2i 3j, 6i 4j
S O L U C I Ó N
Podemos usar el teorema sobre vectores ortogonales para com- probar ortogonalidad al demostrar que el producto punto de cada par es cero:
a b
L
2i 3j 6i 4j 26 34 12 12 0 i j
1, 0 0, 1 10 01 0 0 0 2
a b
a b cos
2
1 2
m y
12 3m.
2i 12j m
1 2
i 3j
1 2
m i 3mj.
cos 苷
a b a b
苷
1 2
2 312
1 4
9 4 144
苷 37
37 苷
1,
a
1 2
i 3j
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
609
Teorema sobre vectores ortogonales
Dos vectores a y b son ortogonales si y sólo si a ⴢ b 0.
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El significado geométrico de la definición anterior con u agudo u obtuso se ilustra en la figura 3, donde los ejes x y y no se muestran.
Si el ángulo u es agudo, entonces, como en la figura 3a, podemos for- mar un triángulo recto al construir un segmento de recta AQ perpendicular a la
recta l que pase por O y B. Nótese que tiene la misma dirección que
. Al observar la parte a de la figura, vemos que
Si u es obtuso, entonces, como en la figura 3b, de nuevo construimos AQ perpendicular a l. En este caso, la dirección de
es opuesta a la de y
como cos u es negativo,
1 Si , entonces
a es ortogonal a b y comp
b
a 0. 2 Si u 0, entonces a tiene la misma dirección que b y
. 3 Si u p, entonces a y b tienen direcciones opuestas y
La exposición anterior demuestra que el componente de a a lo largo de b puede hallarse al proyectar el punto extremo de a en la recta l que contenga a
b. Por esta razón, a veces se conoce como proyección de a en b y
está denotado por proy
b
a. La siguiente fórmula muestra cómo calcular esta
proyección sin conocer el ángulo u.
a cos
comp
b
a a
comp
b
a a
2 cos
d O, Q
a
o bien, lo que es equivalente,
a cos dO, Q.
OB
l
OQ
l
cos d
O, Q
a
o bien, lo que es equivalente,
a cos dO, Q.
OB
l
OQ
l
610
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
Definición de comp
b
a Sea u el ángulo entre dos vectores a y b diferentes de cero. El componente
de a a lo largo de b, denotado por comp
b
a, está dado por
comp
b
a a cos .
Figura 3 a
comp
b
a a cos
a b
A B
O Q
l u
a cos u
0
u
b
B O
Q l
a
A
a cos u 0
b
casos especiales para el
componente de
a a lo largo de b
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P R U E B A
Si u es el ángulo entre a y b, entonces, del teorema sobre el pro-
ducto punto, Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre
tendremos
L
E J E M P L O 5
Hallar los componentes de un vector a lo largo de otro
Si c 10i 4j y d 3i 2j, encuentre comp
d
c y comp
c
d e ilustre gráfi-
camente estos números.
S O L U C I Ó N
Los vectores c y d y los componentes deseados están ilustrados
en la figura 4. Usamos la fórmula para comp
b
a, como sigue:
L
Concluiremos esta sección con una aplicación física del producto punto. Primero examinemos brevemente el concepto científico de trabajo.
Una fuerza puede ser considerada como la entidad física que se usa para
describir un empuje o tracción sobre un objeto. Por ejemplo, es necesaria una fuerza para empujar o jalar un objeto a lo largo de un plano horizontal, para
levantar un objeto del suelo o para mover una partícula cargada en un campo electromagnético. Con frecuencia, las fuerzas se miden en libras. Si un objeto
pesa 10 libras, entonces, por definición, la fuerza necesaria para levantarlo o sostenerlo levantado es de 10 libras. Una fuerza de este tipo es una fuerza
constante, porque su magnitud no cambia mientras permanece aplicada al ob- jeto dado.
Si una fuerza constante F se aplica a un objeto, moviéndolo una distancia d
en la dirección de la fuerza, entonces, por definición, el trabajo W es
Si F se mide en libras y d en pies, entonces las unidades para W son pies-li- bras. En el sistema cgs centímetro-gramo-segundo se emplea una dina como
la unidad de fuerza. Si F se expresa en dinas y d en centímetros, entonces la unidad para W es la dina-centímetro o erg. En el sistema mks metro-kilo-
W Fd .
comp
c
d d c
c
310 24
2
10
2
4
2
22
2
116 2.04
comp
d
c c d
d
103 42
2
3
2
2
2
22
2
13 6.10
a b b
a cos comp
b
a. b
a b a b cos .
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
611
Fórmula para comp
b
a Si a y b son vectores diferentes de cero, entonces
comp
b
a a b
b
.
Figura 4
y
x
c
d
comp
d
c
comp
c
d
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