Ejer. 13-24: Exprese en términos de notación de suma. Las respuestas no son únicas.
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25 Encuentre el décimo término y la suma de los primeros diez
términos de la sucesión aritmética cuyos primeros dos tér- minos son
y 3. 26
Encuentre la suma de los primeros ocho términos de la su- cesión aritmética en la que el cuarto término es 9 y la dife-
rencia común es 5.
27 Los términos quinto y treceavo de una sucesión aritmética
son 5 y 77, respectivamente. Encuentre el primer término y el décimo término.
28 Encuentre el número de términos de la sucesión aritmética
con a
1
1, d 5 y S 342. 29
Inserte cuatro medias aritméticas entre 20 y 10. 30
Encuentre el décimo término de la sucesión geométrica cu- yos primeros dos términos son y .
31 Si una sucesión geométrica tiene 3 y 0.3 como sus térmi-
nos tercero y cuarto, respectivamente, encuentre el octavo término.
32 Dada una sucesión geométrica con a
3
16 y a
7
625, en- cuentre a
8
. 33
Encuentre la media geométrica de 4 y 8. 34
En cierta sucesión geométrica, el octavo término es 100 y la razón común es
. Encuentre el primer término. 35
Dada una sucesión aritmética tal que S
12
402 y a
12
50, encuentre a
1
y d. 36
Dada una sucesión geométrica tal que y
, en- cuentre a
1
y S
5
.
Ejer. 37-40: Evalúe.
37 38
39 40
41 Encuentre la suma de la serie geométrica infinita
42 Encuentre el número racional cuya representación decimal
es .
Ejer. 43-47: Demuestre que el enunciado es verdadero para todo entero positivo n.
43 44
45
46
47 3 es un factor de
. 48
Demuestre que n
2
3 2
n
para todo entero positivo n
5. n
3
2n n
n 1n 2 3
1 2 2 3 3 4 n n 1
n 2n 1
1 1 3
1 3 5
1 5 7
1 2n 12n 1
2
2
4
2
6
2
2n
2
2n 2n 1n 1
3 2 5 8
3n 1 n
3n 1 2
6.274 1
2 5
4 25
8 125
.
8 k
1
1 2
2
k 10
k 1
2
k
1 2
10 k
1
6
1 2
k
15 k
1
5k 2 r
3 2
a
5
1 16
3 2
1 4
1 8
4
2
3 1 x
x
2
2 x
3
3 x
n
n 1
x
2
2 x
4
4 x
6
6 1
n
x
2n
2n a
a
1
x
3
a
2
x
6
a
20
x
60
a a
1
x
4
a
2
x
8
a
25
x
100
1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
100 95 90 85 80
1 4
2 9
3 14
4 19
1 2
2 5
3 8
4 11
1 1 2 3
1 2 3 4
1 3 4 5
1 98 99 100
1 1 2
1 2 3
1 3 4
1 99 100
4 2 1
1 2
1 4
1 8
3 6 9 12 15
C a p í t u l o 1 0 E j e r c i c i o s d e r e p a s o
811
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Ejer. 49-50: Encuentre el mínimo entero positivo j para el cual el enunciado es verdadero. Use el principio extendido
de inducción matemática para demostrar que la fórmula es verdadera para todo entero mayor a j.
49 50
Ejer. 51-52: Use el teorema del binomio para expandir y simplificar la expresión.
51 52
Ejer. 53-56: Sin expandir por completo, encuentre ellos términos indicados en la expansión de la expresión.
53 54
55 56
57 Materiales de construcción Piezas de madera de
10 pies de largo se han de cortar en cinco secciones para for- mar materiales de construcción para niños; las longitudes de
los cinco bloques han de formar una sucesión aritmética. a
Demuestre que la diferencia d en longitudes debe ser menor a 1 pie.
b Si el bloque más pequeño ha de tener una longitud de 6
pulgadas, encuentre las longitudes de las otras cuatro piezas.
58 Construcción de una escalera Una escalera se ha de cons-
truir con 16 barrotes cuyas longitudes disminuyen uniforme- mente de 20 pulgadas en la base a 16 pulgadas en el otro
extremo. Encuentre la longitud total del material necesario para los barrotes.
59 En la primera figura se muestra una curva de rectas inte-
rrumpidas obtenida al tomar dos lados adyacentes de un cuadrado, cada uno de longitud s
n
, decreciendo la longitud del lado en un factor f con 0 f 1 y formando dos lados
de un cuadrado más pequeño, cada uno de longitud s
n 1
f s
n
. El proceso se repite entonces hasta el infinito. Si s
1
1 en la segunda figura, exprese la longitud de la resultante cur-
va de recta infinita interrumpida en términos de f.
Ejercicio 59
60 Las leyes conmutativa y asociativa de la adición garantizan
que la suma de los enteros del 1 al 10 es independiente del orden en el que los números se sumen. ¿En cuántas formas
diferentes se pueden sumar estos enteros?
61 Selección de cartas a
¿De cuántas formas se pueden seleccionar 13 cartas de una baraja?
b ¿De cuántas formas se pueden seleccionar 13 cartas pa-
ra obtener cinco espadas, tres corazones, tres bastos y dos diamantes?
62 ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con
los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 si las repeticiones a
no se permiten? b
se permiten? 63 Selección de preguntas de examen
a Si un estudiante debe contestar 8 de 12 preguntas sobre
un examen, ¿cuántas selecciones diferentes de pregun- tas son posibles?
b ¿Cuántas selecciones son posibles si las primeras tres
preguntas deben ser contestadas? 64 Distribuciones de colores
Si seis discos negros, cinco rojos, cuatro blancos y dos verdes se han de acomodar en
una fila, ¿cuál es el número de posibles distribuciones de co- lores?
65 Si OE son 8 a 5, encuentre
y .
66 Lanzar monedas al aire Encuentre la probabilidad de que
las monedas se igualen si a
dos muchachos lanzan cada uno una moneda b
tres muchachos lanzan cada uno una moneda 67 Dar cartas
Si cuatro cartas se dan de una baraja, encuentre la probabilidad de que
a las cuatro cartas sean del mismo color
b las cartas dadas sean alternadas rojo-negro-rojo-negro
68 Probabilidades de participar en una rifa Si 1000 boletos se
venden para una rifa, encuentre la probabilidad de ganar si una persona compra
a 1 boleto
b 10 boletos
c 50 boletos
69 Lanzar monedas al aire Si cuatro monedas se lanzan al aire,
encuentre la probabilidad y las posibilidades de obtener una cara y tres cruces.
P E
O E
s
n
s
n 1
s
n
s
n 1
s
1
s
3
s
2
s
1
s
3
s
2
2 2 2c
3
5c
2 10
; término que no contiene c 4x
2
y
7
; término que contiene x
10
y
3
1 2
c
2 9
; sexto término
x
25
2x
35 20
; primeros tres términos 2x y
3 4
x
2
3y
6
10
n
n
n
2
n
n
812
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
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70 Examen de verdadero o falso Un examen contiene seis pre-
guntas de verdadero o falso; al menos cuatro respuestas co- rrectas se requieren para una calificación aprobatoria. Si un
estudiante adivina en cada respuesta, ¿cuál es la probabili- dad de
a aprobar?
b no aprobar?
71 Probabilidades en dados y cartas Si se lanza un solo dado y
luego se saca una carta de una baraja, ¿cuál es la probabili- dad de obtener
a un 6 en el dado y el rey de corazones?
b un 6 en el dado o el rey de corazones?
72 Demografía poblacional En una población de 5000 perso-
nas, 1000 tienen más de 60 años de edad y 2000 son muje- res. Se sabe que 40 de las mujeres tienen más de 60 años
de edad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esco- gida al azar de esa ciudad sea mujer o que tenga más de 60
años?
73 Movimiento en backgammon En el juego de backgammon,
a los jugadores se les permite mover sus fichas el mismo nú- mero de espacios que la suma de los puntos en dos dados,
pero, si se tira un doble esto es, ambos dados muestran el mismo número de puntos, entonces los jugadores pueden
mover sus fichas dos veces la suma de los puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador pueda mover sus fichas al
menos 10 espacios en un tiro dado?
74 Juegos en una serie Dos equipos de beisbol igualmente
acoplados están jugando una serie de partidos. El primer equipo en ganar cuatro juegos gana la serie. Encuentre el nú-
mero esperado de partidos de la serie.
C a p í t u l o 1 0 E j e r c i c i o s d e a n á l i s i s
813
1 Una pregunta de examen contiene cuatro términos de una
sucesión como 2, 4, 6 y 8 y pide el quinto término. Demues- tre que el quinto término puede ser cualquier número real a
al hallar el n-ésimo término de una sucesión que tiene 2, 4, 6, 8 y a como sus primeros cinco términos.
2 Determine si
debe sustituirse con o
en n
para que el enunciado sea verdadero cuando n
j, donde j es el mínimo entero positivo para el cual el enunciado es
verdadero. Encuentre j.
Ejer. 3-4: a Use el método de los ejercicios 37 y 38 de la sec- ción 10.4 para hallar una fórmula para la suma. b Verifi-
que que la fórmula hallada en la parte a es verdadera para toda n.
3 4
5 Determine el máximo factorial que su calculadora pueda
calcular. Algunos valores comunes son 69 y 449. Especu- le en cuanto a por qué estos números son los máximos valo-
res que su calculadora pueda calcular.
6 Encuentre una relación entre los coeficientes de la expan-
sión de a b
n
y el número de subconjuntos distintos de un conjunto de n elementos.
7 Rebote de pelota Cuando una pelota se deja caer de una
altura de h pies, llega al suelo en segundos. La pe-
lota rebota a una altura de d pies en segundos. Si
una pelota de caucho se deja caer de una altura de 10 pies y rebota a la mitad de su altura después de cada caída,
¿durante aproximadamente cuántos segundos viaja la pe- lota?
8 Torneo de tragamonedas Un torneo de tragamonedas se lle-
vará a cabo durante un mes de 30 días, ocho horas al día, con 36 participantes por hora. La estructura del premio es como
sigue:
2
d 4
2
h 4
2
3
4
3
6
3
2n
3
1
4
2
4
3
4
n
4
ln n
3
Lugar 1o.
2o. 3o.
4o. 5o.
Premio 4000
2000 1500 1000 800
Lugar
6o. 7o.
8o. 9o.
10o.
Premio 600
500 400
300 200
Lugar 11o.–
51o.– 101o.– 301o.– 50o.
100o. 300o.
500o.
Premio 100
75 50
25
C A P Í T U L O 1 0 E J E R C I C I O S D E A N Á L I S I S
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También hay un premio diario otorgado como sigue: 250 para el primero, 100 para el segundo y 50 para el tercero.
¿Cuánto esperaría pagar una persona por una cuota de entra- da si el torneo ha de ser limpio sin trampas?
9 Dinero de un premio Suponga que el décimo premio de un
torneo de 1600 será de 100 y cada lugar debe valor aproxi- madamente 10 más que el siguiente premio. Analice la
distribución realista de valores de premio si se redondean al más cercano centavo, dólar, cinco dólares y diez dólares.
10 Capa final en pizzas Un restaurante de pizzas patrocina un
anuncio que dice que dio un total de 1,048,576 formas posi- bles de ordenar 2 pizzas, con hasta 5 capas finales en cada
una. Analice la forma en que la empresa calculó el número de posibles formas de ordenar una pizza y determine cuán-
tas capas finales existen.
11 Powerball El powerball es un popular juego de lotería en
muchos estados norteamericanos. El jugador selecciona cin- co enteros del 1 al 55 y un entero del 1 al 42. Estos números
corresponden a cinco bolas blancas y una roja de powerball sacada por la Asociación de Lotería de Estados. Para ganar
el premio mayor, el jugador debe igualar los seis números. Los premios para todos los aciertos se indican en la tabla si-
guiente.
a ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio mayor?
b ¿Cuál es la probabilidad de ganar cualquier premio?
c ¿Cuál es el valor esperado del juego sin premio mayor?
d ¿Cuánto necesita valer el premio mayor para que esta
lotería sea considerada limpia sin trampas? 12 Confusión de probabilidad y posibilidades
Analice el si- guiente enunciado: “Hay un 20 de probabilidad de que un
solicitante hombre sea admitido, pero las posibilidades son tres veces más favorables para una solicitante mujer.” ¿Cuál
es la probabilidad de que una solicitante mujer sea admi- tida?
13 Sea
en
y analice el resultado. 14
Investigue las sumas parciales de
y analícelas. 15 a
Examine las siguientes identidades para tan nx en tér- minos de tan x:
Usando un patrón formado por las tres identidades, pre- diga una identidad para tan 5x en términos de tan x.
b A continuación aparecen identidades para cos 2x y
sen 2x:
Escriba identidades similares para cos 3x y sen 3x y lue- go cos 4x y sen 4x. Use un patrón para predecir identi-
dades para cos 5x y sen 5x. sen 2x
2 cos x sen x cos 2x 1 cos
2
x 1 sen
2
x tan 4x 苷
4 tan x 4 tan
3
x 1 6 tan
2
x tan
4
x tan 3x 苷
3 tan x tan
3
x 1 3 tan
2
x tan 2x 苷
2 tan x 1 tan
2
x
n
1
n
3
32
2
3n2
2 3n 1
1 3n 2
a b
n n
k
n k
a
nk
b
k
a 0 y b 1
814
C A P Í T U L O 1 0 S U C E S I O N E S , S E R I E S Y P R O B A B I L I D A D
Acierto Premio
5 blancas y roja premio mayor
5 blancas 200,000
4 blancas y roja 10,000
4 blancas 100
3 blancas y roja 100
3 blancas 7
2 blancas y roja 7
1 blanca y roja 4
sólo roja 3
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La geometría plana incluye el estudio de figuras, por ejemplo rectas, cir- cunferencias y triángulos, que se encuentren en un plano. Los teoremas se
demuestran por razonamiento en forma deductiva a partir de ciertos postu- lados. En geometría analítica, las figuras geométricas planas se investigan
cuando se introducen sistemas de coordenadas y luego se usan ecuaciones y fórmulas. Si el estudio de la geometría analítica se resumiera por medio
de un enunciado, quizá lo siguiente sería apropiado: Dada una ecuación, encuentre su gráfica y, a la inversa, dada una gráfica, encuentre su ecua-
ción. En este capítulo aplicaremos métodos coordenados a varias figuras planas básicas.
11.1 Parábolas 11.2 Elipses
11.3 Hipérbolas 11.4 Curvas planas
y ecuaciones paramétricas
11.5 Coordenadas polares 11.6 Ecuaciones polares
de cónicas 11.1 Parábolas
11.2 Elipses 11.3 Hipérbolas
11.4 Curvas planas y ecuaciones
paramétricas 11.5 Coordenadas polares
11.6 Ecuaciones polares de cónicas
11
Temas de geometría analítica
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Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, pueden obtenerse cuando con un plano se hace un corte a un cono circular recto de doble rama. Al va-
riar la posición del plano, obtenemos una circunferencia, una elipse, una pa- rábola
o una hipérbola, como se ilustra en la figura 1.
Figura 1 a
Circunferencia
b
Elipse
c
Parábola
d
Hipérbola
Se obtienen cónicas degeneradas si el plano corta el cono en sólo un punto o a lo largo de una o dos rectas que se encuentren en el cono. Las sec-
ciones cónicas fueron estudiadas ampliamente por los antiguos griegos, quie- nes descubrieron propiedades que hacen posible que expresemos sus
definiciones en términos de puntos y rectas, como lo hacemos en nuestra ex- posición.
De nuestro trabajo en la sección 3.6, si a 0, la gráfica de y ax
2
bx c
es una parábola con un eje vertical. A continuación expresamos una de- finición general de una parábola y deducimos ecuaciones para parábolas que
tienen un eje vertical o un eje horizontal.
l
816
C A P Í T U L O 1 1 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
11.1
Parábolas
Definición de una parábola Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano equidistantes
de un punto fijo F el foco y una recta fija l la directriz que está en el plano.
Supondremos que F no está en l, porque esto resultaría en una recta. Si P es un punto del plano y
es el punto en l determinado por una recta que pasa P
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por P que es perpendicular a l vea figura 2, entonces, por la definición ante- rior, P está en la parábola si y sólo si las distancias
y son igua-
les. El eje de la parábola es la recta que pasa por F que es perpendicular a la directriz. El vértice de la parábola es el punto V sobre el eje situado a media
distancia entre F y l. El vértice es el punto en la parábola más cercano a la di- rectriz.
Para obtener una ecuación sencilla para una parábola, coloque el eje y a lo largo del eje de la parábola, con el origen en el vértice V, como se ve en la
figura 3. En este caso, el foco F tiene coordenadas 0, p para algún número real p 0 y la ecuación de la directriz es y p. La figura muestra el caso
p 0. Por la fórmula de la distancia, un punto Px, y está en la gráfica de la
parábola si y sólo si , es decir, si
Elevamos al cuadrado ambos lados y simplificamos:
Una ecuación equivalente para la parábola es
Hemos demostrado que las coordenadas de todo punto x, y sobre la pa- rábola satisfacen x
2
4py. Inversamente, si x, y es una solución de x
2
4py, entonces al invertir los pasos previos vemos que el punto x, y está sobre la
parábola. Si p
0, la parábola abre hacia arriba, como en la figura 3. Si p 0, la
parábola abre hacia abajo. La gráfica es simétrica con respecto al eje y, porque la sustitución de –x por x no cambia la ecuación x
2
4py. Si intercambiamos los papeles de x y y, obtenemos
o bien, lo que es igual, Ésta es la ecuación de una parábola con vértice en el origen, foco Fp, 0 y
abre a la derecha si p
0 o a la izquierda si p 0. La ecuación de la direc- triz es x p.
Por comodidad nos referimos a “la parábola x
2
4py” o y
2
4px en lugar de “la parábola con ecuación x
2
4py” o y
2
4px. La tabla siguiente resume nuestra exposición.
x 1
4p y
2
. y
2
4px y
1 4p
x
2
. x
2
4py x
2
y
2
2py p
2
y
2
2py p
2
x
2
y p
2
y p
2
2
x 0
2
y p
2
2
x x
2
y p
2
. d
P, P d
P, F d
P, P d
P, F
1 1 . 1 P a r á b o l a s
817
Figura 2
P
V Eje
Directriz F
P l
Figura 3
P x, y
V P
x, p y p
F 0, p
x
2
4py y
x
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Vemos de la tabla que para cualquier número real a diferente de cero, la
gráfica de la ecuación estándar y ax
2
o x ay
2
es una parábola con vértice V
0, 0. Además, a 1 4p o, lo que es equivalente, , donde
es la distancia entre el foco F y el vértice V. Para hallar la directriz l, recuerde que l está también a una distancia
de V.
E J E M P L O 1
Hallar el foco y directriz de una parábola
Encuentre el foco y directriz de la parábola y trace su gráfica.
S O L U C I Ó N
La ecuación tiene la forma , con
. Al igual que en la tabla anterior,
y por tanto p
1 4a
1 4
1 6
1
4 6
3 2
. a
1 4p
a
1 6
y ax
2
y
1 6
x
2
p p
p 1
4a
818
C A P Í T U L O 1 1 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
Parábolas con vértice V0, 0
Ecuación, foco, directriz Gráfica para p 0
Gráfica para p 0
o Foco:
Directriz:
o Foco:
Directriz: x p F
p, 0 x
1 4p
y
2
y
2
4px y p
F 0, p
y 1
4p x
2
x
2
4py y
x F
V p
p y
x F
V
y
x F
V p
p y
x F
V
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Así, la parábola abre hacia abajo y tiene foco , como se ilustra en la
figura 4. La directriz es la recta horizontal , que es una distancia arriba
de V, como se muestra en la figura.
L
E J E M P L O 2
Hallar una ecuación de la parábola que satisfaga condiciones prescritas
a Encuentre la ecuación de la parábola que tenga vértice en el origen, abra a la derecha y pase por el punto P7, 3.
b Encuentre el foco de la parábola
S O L U C I Ó N
a La parábola está trazada en la figura 5. Una ecuación de una parábola con vértice en el origen, que abre a la derecha, tiene la forma x ay
2
para cual- quier número a. Si P7, 3 está sobre la gráfica, entonces podemos sustituir
7 por x y 3 por y para hallar a:
o En consecuencia, la ecuación para la parábola es
. b El foco está a una distancia p a la derecha del vértice. Como
, te- nemos
Por tanto, el foco tiene coordenadas .
L
Si tomamos una ecuación estándar de una parábola de la forma x
2
4py y sustituimos x con x h y y con y k, entonces
∗ De nuestra discusión de traslaciones en la sección 3.5, reconocemos que la
gráfica de la segunda ecuación puede obtenerse de la gráfica de la primera ecuación al desplazarla h unidades a la derecha y k unidades hacia arriba, con
ello moviendo el vértice de 0, 0 a h, k. Si elevamos al cuadrado el lado iz- quierdo de
∗ y simplificamos, tendremos una ecuación de la forma y ax
2
bx c , donde a, b y c son números reales.
Del mismo modo, si empezamos con y k
2
4px h, se puede es- cribir en la forma x ay
2
by c . En la tabla siguiente, Vh, k ha sido co-
locado en el primer cuadrante, pero la información dada en la columna de la extrema izquierda se cumple cualquiera que sea la posición de V.
x
2
4py se convierte en x h
2
4p y k.
9 28
, 0 p
1 4a
1 4
7 9
9 28
. a
7 9
x
7 9
y
2
a
7 9
7 a 3
2
,
3 2
y
3 2
F 0,
3 2
1 1 . 1 P a r á b o l a s
819
Figura 4
y
x y
w F
0, w
y Zx
2
Figura 5
y
x P
7, 3
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E J E M P L O 3
Trazar una parábola con un eje horizontal
Trace la gráfica de 2x y
2
8y 22.
S O L U C I Ó N
La ecuación puede escribirse en la forma mostrada en la se- gunda fila de la tabla anterior, x ay
2
by c , de modo que vemos de la
tabla que la gráfica es una parábola con un eje horizontal. Primero escribimos la ecuación dada como
y luego completamos el cuadrado al sumar a ambos lados:
y 4
2
2 x 3
y
2
8y 16 2x 6
1 2
8
2
16 y
2
8y 2x 22
820
C A P Í T U L O 1 1 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
Parábolas con vértice Vh, k
Ecuación, foco, directriz Gráfica para p 0
Gráfica para p 0
o donde
Foco: Directriz:
o donde
Foco: Directriz: x h p
F h p, k
p 1
4a x ay
2
by c ,
y k
2
4p x h
y k p F
h, k p p
1 4a
y ax
2
bx c ,
x h
2
4p y k
y
x F
p V
h, k p
y
x F
V h, k
y
x F
p V
h, k p
y
x F
V h, k
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Al consultar la última gráfica, vemos que h 3, k 4 y 4p 2 o bien, lo que es equivalente,
. Esto nos da lo siguiente.
La parábola está trazada en la figura 6.
L
E J E M P L O 4
Hallar una ecuación de una parábola dados su vértice y directriz
Una parábola tiene vértice V4, 2 y directriz y 5. Exprese la ecuación de la parábola en la forma
.
S O L U C I Ó N
El vértice y directriz se muestran en la figura 7. Las líneas inte- rrumpidas indican una posible posición para la parábola. La última tabla mues-
tra que una ecuación de la parábola es
con h 4 y k 2 y con p igual a 3 negativo, porque V está 3 unidades de- bajo de
la directriz. Esto nos da La última ecuación puede expresarse en la forma y ax
2
bx c , como
sigue:
L
Una propiedad importante está asociada con una recta tangente a la pará- bola. Una recta tangente a una parábola es una recta que tiene exactamente
un punto en común con la parábola pero no la cruza. Suponga que l es la recta tangente en un punto Px
1
, y
1
sobre la gráfica de y
2
4px y sea F el foco. Como en la figura 8, denotemos con a el ángulo entre l y el segmento de recta
FP y denotemos con b el ángulo entre l y la semirrecta horizontal indicada con
punto extremo P. Se puede demostrar que a b. Esta propiedad reflexiva tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo, la forma del espejo de un faro se
obtiene al hacer girar una parábola alrededor de su eje. Esta superficie tridi- mensional resultante se dice estar generada por la parábola y se llama para-
boloide. El foco del paraboloide es el mismo que el foco de la parábola generadora. Si una fuente de luz se coloca en F, entonces, por una ley de fí-
sica el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia, un haz de luz se reflejará a lo largo de una recta paralela al eje vea la figura 9a. El mismo
principio se usa en la construcción de espejos para telescopios u hornos sola- res, un haz de luz dirigido hacia el espejo parabólico y paralelo al eje se refle-
y
1 12
x
2 2
3
x
2 3
12y x
2
8x 8 x
2
8x 16 12y 24 x 4
2
12 y 2.
x h
2
4p y k,
y ax
2
bx c La directriz es x h p 3
1 2
, o bien x
5 2
. El foco es F
h p, k F 3
1 2
, 4 , o bien F
7 2
, 4 .
El vértice V h, k es V3, 4.
p
1 2
1 1 . 1 P a r á b o l a s
821
Figura 6
y
x
2x y
2
8y 22 V
3, 4 F
r, 4
Figura 7
y
x y
5 V
4, 2
Figura 8
F p, 0
y
2
4px y
x b
a P
x
1
, y
1
l
Q
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jará en el foco vea la figura 9b. Las antenas para sistemas de radar, te- lescopios de radio y micrófonos de campo que se emplean en juegos de fútbol
también hacen uso de esta propiedad.
E J E M P L O 5
Localizar el foco de una antena satelital de TV
El interior de una antena satelital de TV es un disco con forma de un para- boloide finito que tiene 12 pies de diámetro y 2 pies de profundidad,
como se muestra en la figura 10. Encuentre la distancia del centro del disco al foco.
Figura 10 Figura 11
S O L U C I Ó N
La parábola generadora está trazada en un plano xy en la figura 11, donde hemos tomado el vértice de la parábola en el origen y su eje a lo
largo del eje x. Una ecuación de la parábola es y
2
4px, donde p es la distan- cia requerida del centro del disco al foco. Como el punto 2, 6 está en la pa-
rábola, obtenemos
L
En el siguiente ejemplo usamos una aplicación gráfica para trazar la gráfica de una parábola con eje horizontal
E J E M P L O 6
Graficar semiparábolas
Grafique x y
2
2y 4.
S O L U C I Ó N
La gráfica es una parábola con eje horizontal. Como y no es una función de x, de la ecuación despejaremos y y obtendremos dos ecuaciones en
forma muy semejante a como hicimos con circunferencia en el ejemplo 11 de la sección 3.2. Empezamos por despejar y de la ecuación equivalente
y
2
2y 4 x 0 6
2
4p 2, o bien
p
36 8
4.5 ft.
y
x 2, 6
12 2
822
C A P Í T U L O 1 1 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
Figura 9 a
Espejo de un reflector
Fuente de luz Rayos de luz
b
Espejo de telescopio
Ocular Rayos de luz
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en términos de x usando la fórmula cuadrática, con a 1, b 2 y c 4 x:
fórmula cuadrática simplificar
factorizar ; simplificar
La última ecuación, , representa la mitad superior de la
parábola y la mitad inferior
. Observe que y 1 es el eje de la parábola.
A continuación, hacemos las asignaciones
Ahora graficamos Y
1
y Y
2
para obtener una imagen semejante a la figura 12.
L
Y
1
1
2
x 5 y
Y
2
1
2
x 5.
y 1
2
x 5
y 1
2
x 5
y 1
2
x 5
2
4
1
2
x 5
2
2
20 4x 2
y 2
2
2
2
4 14 x
2 1
1 1 . 1 P a r á b o l a s
823
Figura 12
[6, 6] por [5, 3]
11.1
E j e r c i c i o s
Ejer. 1-12: Hallar el vértice, foco y directriz de la parábola. Trace su gráfica, mostrando el foco y la directriz.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
Ejer. 13-18: Hallar una ecuación para la parábola mostrada en la figura.
13 14
y
x F
V y
x V
F y
2
4y 2x 4 0 x
2
20y 10 y
2
14y 4x 45 0
y x
2
4x 2 y 1
2
12 x 2
y 2
2
1 4
x 3 x 3
2
1 2
y 1 x 2
2
8 y 1
x
2
3y 2y
2
3x 20x y
2
8y x
2
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824
C A P Í T U L O 1 1 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
15 16
17 18
Ejer. 19-30: Encuentre la ecuación de la parábola que satis- faga las condiciones dadas.
19 Foco ,
directriz 20
Foco , directriz
21 Foco ,
directriz 22
Foco , directriz
23 Vértice ,
directriz 24
Vértice , directriz
25 Vértice foco
26 Vértice ,
foco 27
Vértice en el origen, simétrica con el eje y y que pasa por el punto 2, 3
28 Vértice en el origen, simétrica con el eje y y que pasa por el
punto 6, 3 29
Vértice V3, 5, eje paralelo al eje x y que pasa por el punto 5, 9
30 Vértice V3, 2, eje paralelo al eje x e intersección en 1 con
el eje y.
Ejer. 31-34: Encuentre la ecuación para el conjunto de pun- tos en un plano xy que sean equidistantes del punto P y la
recta l.
31 ;
l :
32 ;
l :
33 ; l:
34 ; l:
Ejer. 35-38: Encuentre la ecuación para la mitad indicada de la parábola.
35 Mitad inferior de y 1
2
x 3
36 Mitad superior de y 2
2
x 4
37 Mitad derecha de x 1
2
y 4
38 Mitad izquierda de x 3
2
y 2
Ejer. 39-40: Encuentre la ecuación para la parábola que tiene un eje vertical y pasa por los puntos dados.
39 ,
, 40
, ,
Ejer. 41-42: Encuentre la ecuación para la parábola que tiene un eje horizontal y pasa por los puntos dados.
41 ,
, 42
, ,
43 Espejo de telescopio El espejo para un telescopio reflector
tiene la forma de un paraboloide finito de 8 pulgadas de diámetro y 1 pulgada de profundidad. ¿A qué distancia del
centro del espejo se colectará la luz entrante?
Ejercicio 43
R 12, 1
Q 6, 2
P 2, 1
R 5, 1
Q 11, 2
P 1, 1
R 2, 14
Q 1, 7
P 3, 1
R 1, 6
Q 2, 3
P 2, 5
y 4
P 5, 2
x 2
P 6, 3
x 1
P 7, 0
y 3
P 0, 5
F 1, 0
V 1, 2
F 4, 0
V 1, 0
y 5
V 2, 3
x 2
V 3, 5
y 1
F 3, 2
y 2
F 6, 4
y 4
F 0, 4
x 2
F 2, 0
y
x F
2, 1 x
3 y
x F
3, 2 y
1 P
V 3, 2
y
x V
2, 3 P
2, 2 y
x
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1 1 . 1 P a r á b o l a s
825
44 Disco de antena El disco de una antena satelital tiene la
forma de un paraboloide que mide 10 pies de diámetro en el extremo abierto y tiene 3 pies de profundidad. ¿A qué dis-
tancia del centro del disco debe colocarse el receptor para recibir la máxima intensidad de ondas de sonido?
45 Reflector de un proyector El reflector de un proyector eléc-
trico tiene la forma de un paraboloide, con la fuente de luz en el foco. Si el reflector mide 3 pies de diámetro en la aber-
tura y 1 pie de profundidad, ¿dónde está el foco?
46 Espejo de una linterna El espejo de una linterna tiene la
forma de un paraboloide de 4 pulgadas de diámetro y de pulgada de profundidad, como se ve en la figura. ¿Dónde
debe colocarse el foco para que los rayos de luz emitidos sean paralelos al eje del paraboloide?
Ejercicio 46
47 Disco receptor Un disco receptor de sonido, que se emplea
en eventos deportivos al aire libre, está construido en forma de paraboloide con su foco a 5 pulgadas del vértice. Deter-
mine el ancho del disco si la profundidad ha de ser de 2 pies.
48 Disco receptor Trabaje el ejercicio 47 si el receptor está a 9
pulgadas del vértice. 49 Reflector parabólico
a La longitud focal del paraboloide finito de la figura es
la distancia p entre su vértice y foco. Exprese p en tér- minos de r y h.
b Un reflector se va a construir con una longitud focal de
10 pies y una profundidad de 5 pies. Encuentre el radio del reflector.
Ejercicio 49
50 Parábolas confocales La parábola y 4px p tiene su
foco en el origen y su eje a lo largo del eje x. Al asignar di- ferentes valores a p, obtenemos una familia de parábolas
confocales, como se ve en la figura. Estas familias se pre- sentan en el estudio de la electricidad y el magnetismo. De-
muestre que hay exactamente dos parábolas en la familia que pasan por un punto dado Px
1
, y
1
si y
1
0.
Ejercicio 50
51 Radiotelescopio de Jodrell Bank Un radiotelescopio tiene la
forma de un paraboloide de revolución, con longitud focal p y diámetro de base 2a. De cálculo, el área superficial S dis-
ponible para recolectar ondas de radio es
Uno de los radiotelescopios más grandes, situado en Jodrell Bank, Cheshire, Inglaterra, tiene diámetro de 250 pies y lon-
gitud focal de 75 pies. Calcule S a los mil pies cuadrados más cercanos.
52 Trayectoria de satélite Un satélite se desplazará en una tra-
yectoria parabólica cercana a un planeta, su velocidad v en metros por segundo satisface la ecuación
, donde r es la distancia en metros entre el satélite y el centro
del planeta y k es una constante positiva. El planeta estará si- tuado en el foco de la parábola y el satélite pasará una vez
por el planeta. Suponga que un satélite está diseñado para seguir una trayectoria parabólica y pasará a no más de
58,000 millas de Marte, como se ve en la figura de la página siguiente.
v
2
2k r
S 8p
2
3 1
a
2
4p
2 32
1 .
y
x
h
r
3 4
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826
C A P Í T U L O 1 1 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
Ejercicio 52
a Determine una ecuación de la forma x ay
2
que des- criba su trayectoria de vuelo.
b Para Marte, k 4.28 10
13
. Calcule la máxima velo- cidad del satélite.
c Encuentre la velocidad del satélite cuando su coorde-
nada y sea de 100,000 millas.
Ejer. 53-54: Grafique la ecuación
53 54
Ejer. 55-56: Grafique las parábolas en el mismo plano de coordenadas y calcule los puntos de intersección.
55 ;
56 ; x 0.6y
2
1.7y 1.1 y
2.1x
2
0.1x 1.2 x y
2
1 y x
2
2.1x 1 x
2y
2
3y 7 x y
2
2y 5 y
x
Marte 58,000 millas
Una elipse se puede definir como sigue.
Podemos construir una elipse en papel como sigue: inserte dos tachuelas en el papel en cualesquier puntos F y
y sujete los extremos de una cuerda a las tachuelas. Después de enrollar la cuerda en un lápiz y tensarla, como en
el punto P de la figura 1, mueva el lápiz manteniendo tensa la cuerda. La suma de las distancias
y es la longitud de la cuerda y por lo tanto es
constante; así, el lápiz trazará una elipse con focos en F y . El punto medio del segmento
se llama centro de la elipse. Al cambiar las posiciones de F
y mientras se mantiene fija la longitud de la cuerda, podemos variar consi-
derablemente la forma de la elipse. Si F y están separadas de modo que
es casi igual a la longitud de la cuerda, la elipse es plana. Si es cercana a cero, la elipse es casi circular. Si
, obtenemos una circun- ferencia con centro F.
Para obtener una ecuación sencilla para una elipse, seleccione el eje x como la recta por la cual pasan los dos focos F y , con el centro de la elipse
en el origen. Si F tiene coordenadas c, 0 con c
0, entonces, como en la fi- gura 2, F tiene coordenadas c, 0. En consecuencia, la distancia entre F y
es 2c. La suma constante de las distancias de P desde F y estará deno-
F F
F F F
d F, F
d F, F
F F
FF F
d P, F
d P, F
F
11.2
Elipses
Definición de una elipse Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, la suma de
cuyas distancias desde dos puntos fijos los focos en el plano es una cons- tante positiva.
Figura 1
P F
F
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tada por 2a. Para obtener puntos que no estén sobre el eje x, debemos tener 2a 2c, es decir, a
c. Por definición, Px, y está sobre la elipse si y sólo si
son verdaderas las siguientes ecuaciones equivalentes:
Si elevamos al cuadrado ambos lados de la última ecuación tendremos o bien,
Al elevar al cuadrado ambos lados tendremos de nuevo
o bien, Si se dividen ambos lados entre a
2
a
2
c
2
, obtenemos
Recordando que a
c y por lo tanto a
2
c
2
0, tenemos Esta sustitución nos da la ecuación
Como c
0 y b
2
a
2
c
2
, se deduce que a
2
b
2
y por tanto a
b. Hemos demostrado que las coordenadas de todo punto x, y sobre la
elipse en la figura 3 satisfacen la ecuación . A la in-
versa, si x, y es una solución de esta ecuación, entonces al invertir los pasos anteriores vemos que el punto x, y está sobre la elipse.
Figura 3
F c, 0
F c, 0
y
x M
0, b
M 0, b
V a, 0
V a, 0
x
2
y
2
b
2
a
2
1
x
2
a
2
y
2
b
2
1 x
2
a
2
y
2
b
2
1. b
2
a
2
c
2
, o bien
b
2
a
2
c
2
. x
2
a
2
y
2
a
2
c
2
1. x
2
a
2
c
2
a
2
y
2
a
2
a
2
c
2
. a
2
x
2
2cx c
2
y
2
a
4
2a
2
cx c
2
x
2
, a
2
x c
2
y
2
a
2
cx .
x
2
2cx c
2
y
2
4a
2
4a
2
x c
2
y
2
x
2
2cx c
2
y
2
,
2
x c
2
y
2
2a
2
x c
2
y
2
2
x c
2
y 0
2
2
x c
2
y 0
2
2a d
P, F dP, F 2a
1 1 . 2 E l i p s e s
827
Figura 2
P x, y
F c, 0
F c, 0
y
x
Nótese que si c 0, entonces b
2
a
2
y tenemos una circunferencia. También observe que si c a, entonces b
y tenemos una cónica degenerada,
es decir, un punto.
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Podemos hallar los puntos de intersección de la elipse con el eje x al hacer y
0 en la ecuación y obtendremos o x
2
a
2
. En consecuencia, los puntos de intersección con el eje x son a y –a. Los puntos correspondientes
V
a, 0 y Va, 0 sobre la gráfica se llaman vértices de la elipse vea la fi-
gura 3. El segmento de recta se denomina eje mayor. Del mismo modo,
al hacer x 0 en la ecuación, obtenemos o y
2
b
2
. Por lo tanto, los puntos de intersección con el eje y son b y –b. El segmento entre
y M
0, b recibe el nombre de eje menor de la elipse. El eje mayor es siempre
más largo que el eje menor porque a
b. Si aplicamos las pruebas para simetría, vemos que la elipse es simétrica
con respecto al eje x, el eje y y el origen. Análogamente, si tomamos los focos sobre el eje y, obtenemos la ecua-
ción
En este caso, los vértices de la elipse son 0, a y los puntos extremos del eje menor son b, 0, como se ve en la figura 4.
La exposición anterior puede resumirse como sigue. x
2
b
2
y
2
a
2
1. M
0, b y
2
b
2
1 VV
x
2
a
2
1
828
C A P Í T U L O 1 1 T E M A S D E G E O M E T R Í A A N A L Í T I C A
Figura 4
y
x M
b, 0 M
b, 0 V
0, a
V 0, a
x
2
y
2
a
2
b
2
1 F
0, c
F 0, c
Ecuaciones estándar de una elipse con centro en el origen
La gráfica de
donde a
b
0, es una elipse con centro en el origen. La longitud del eje mayor es 2a y la longitud del eje menor es 2b. Los focos están a una
distancia c del origen, donde c
2
a
2
b
2
. x
2
a
2
y
2
b
2
1 o
x
2
b
2
y
2
a
2
1,
Figura 5
a
c b
a y
x
Para ayudar a recordar la rela- ción para los focos, considere el
triángulo recto formado por una escalera de longitud a que se apoya
contra un edificio, como se ve en la figura 5. Por el teorema de Pitágoras,
b
2
c
2
a
2
. En esta posición, los extremos de la escalera están en
un foco y un punto extremo del eje menor. Si la escalera baja, los extre-
mos de la escalera estarán en el cen- tro de la elipse y un punto extremo del
eje mayor.
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E J E M P L O 1
Trazar una elipse con centro en el origen
Trace la gráfica de 2x
2
9y
2
18 y encuentre los focos.
S O L U C I Ó N
Para escribir esta ecuación en forma estándar, divida cada tér- mino entre 18 para obtener una constante de 1:
o La gráfica es una elipse con centro en el origen y focos en un eje de coorde-
nadas. De la última ecuación, como 9
2, el eje mayor y los focos están en el eje x. Con a
2
9, tenemos a 3 y los vértices son V3, 0 y .
Como y los puntos extremos del eje menor son
y . Nótese que en este caso V y V también son los puntos de inter-
sección con el eje x, y M y M son también los puntos de cruce con el eje y. Ahora trazamos la gráfica con eje mayor de longitud 2a 23 6 que
se muestra en rojo en la figura 6 y eje menor de longitud mostrado en verde.
Para hallar los focos, hacemos a 3 y y calculamos
Por tanto, y los focos son
y
E J E M P L O 2
Trazar una elipse con centro en el origen
Trace la gráfica de 9x
2
4y
2
25 y encuentre los focos.
S O L U C I Ó N
Divida cada término entre 25 para obtener la forma estándar: o
La gráfica es una elipse con centro en el origen. Como , el eje mayor
y los focos están en el eje y. Con y por tanto los vértices
son y
también los puntos de intersección con el eje y. Como
, y los puntos extremos del eje menor son y
también los puntos de cruce con el eje x. Trace la gráfica con eje mayor de longitud
mostrado en rojo en la figura 7 y eje menor de longitud
mostrado en verde.
Para hallar los focos, hacemos y
y calculamos
Por lo tanto, , y los focos son aproximada-
mente F0, 1.86 y .
F 0, 1.86
c
2
125 36 5
2
5 6 1.86
c
2
a
2
b
2 5
2 2
5 3
2 125
36
. b
5 3
a
5 2
2b 2
5 3
3
1 3
2a 2
5 2
5 M
5 3
, 0 M
5 3
, 0 b
2 25
9
, b
5 3
V 0,
5 2
V 0,
5 2
a
2 25
4
, a
5 2
,
25 4
25 9
x
2 25
9
y
2 25
4
1 9x
2
25 4y
2
25 25
25 ,
F
2
7, 0 .
F
2
7, 0 c
2
7 c
2
a
2
b
2
3
2
2
2
2
7. b
2
2 2b 2
2
2 2.8
M 0,
2
2 M
0,
2
2 b
2
2, b
2
2 V
3, 0 x
2
9 y
2
2 1
2x
2
18 9y
2
18 18
18 ,
1 1 . 2 E l i p s e s
829
Figura 6
y
x F
mayor 0,
2
0, 2
3, 0 3, 0
2x
2
9y
2
18 menor
F
Figura 7
F mayor
menor F
y
x 9x
2
4y
2
25 f, 0
0, e
f, 0
0, e
L L
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