b Estime x si y ⴝ 2.
344
C A P Í T U L O 5 F U N C I O N E S I N V E R S A S , E X P O N E N C I A L E S Y L O G A R Í T M I C A S
una de ellas modela la predicción del periódico y la otra la de Farr, donde t es en días con t 0 correspondiendo al
12 de agosto de 1840.
a Grafique cada función, junto con los datos, en la pan-
talla [0, 400, 100] por [0, 60,000, 10,000]. b
Determine cuál función modela mejor la predicción de Farr.
c Determine la fecha en la que el número de nuevos
casos llegó a su máximo. 71 Costo de una estampilla
El precio de una estampilla de pri- mera clase era de 3¢ en 2006 fue de 2¢ en 1885. Encuen-
tre una función exponencial sencilla de la forma y ab
t
que modele el costo de una estampilla de primera clase para
1958-2006 y prediga su valor para 2010. 72 Índice de precios al consumidor
El IPC es la medida de in- flación más ampliamente usada. En 1970, el IPC era de 37.8
y en 2000 fue de 168.8. Esto significa que un consumidor citadino que pagaba 37.80 por una canasta básica de artí-
culos de consumo y servicios en 1970 hubiera necesitado 168.80 para artículos y servicios similares en 2000. En-
cuentre una función exponencial sencilla de la forma y ab
t
que modele el IPC para 1970-2000 y prediga su valor para 2010.
73 Comparaciones de inflación En 1974, Johnny Miller ganó 8
torneos en la PGA y acumuló 353,022 en ganancias ofi- ciales por temporada. En 1999, Tiger Woods acumuló
6,616,585 con un récord similar.
a Suponga que la tasa de inflación mensual de 1974 a
1999 fue de 0.0025 3 al año. Use la fórmula de in- terés compuesto para estimar el valor equivalente de las
ganancias de Miller en el año 1999. Compare su res- puesta con la de un cálculo de inflación en la web por
ejemplo, bls.govcpihome.htm.
b Encuentre la tasa de interés anual necesaria para que
las ganancias de Miller sean equivalentes en valor a las de Woods.
c ¿Qué tipo de función usó el lector en el inciso a? ¿y en
el inciso b?
La fórmula de interés compuesto estudiada en la sección anterior es
donde C es el capital inicial invertido, i es la tasa de interés anual expresada como decimal, n es el número de periodos de interés por año y t es el número
de años que se invierte el capital. El siguiente ejemplo ilustra lo que ocurre si la tasa y el tiempo total invertido son fijos, pero se hace variar el periodo de
interés
.
E J E M P L O 1
Uso de la fórmula de interés compuesto
Suponga que se invierten 1000 a una tasa de interés compuesto de 9. En- cuentre el nuevo capital después de un año si el interés se capitaliza cada tres
meses, cada mes, semanalmente, a diario, cada hora y cada minuto.
S O L U C I Ó N
Si hacemos C 1000, t 1 y i 0.09 en la fórmula de in- terés compuesto, entonces
A 1000
1 0.09
n
n
A C 1
i n
nt
,
Fecha Nuevos casos
Ago. 12 506
Sept. 9 1289
Oct. 7 3487
Nov. 4 9597
Dic. 2 18,817
Dic. 30 33,835
Ene. 27 47,191
5.3
La función exponencial natural
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para n periodos de interés por año. Los valores de n que deseamos considerar aparecen en la tabla siguiente, donde hemos supuesto que hay 365 días en un
año y por tanto horas y
minutos. En muchas transacciones financieras, un año de inversión se considera de sólo
360 días. 876060 525,600
36524 8760
5 . 3 L a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l n a t u r a l
345
Observe que, en el ejemplo precedente, después que llegamos a un pe- riodo de interés de una hora, el número de periodos de interés por año no tiene
efecto en la cantidad final. Si el interés se hubiera capitalizado cada segundo, el resultado todavía sería 1094.17. Algunos lugares decimales después de
los dos primeros cambian. Así, la cantidad se aproxima a un valor fijo a me- dida que n aumenta. Se dice que el interés se capitaliza continuamente si el
número n de periodos por año aumenta sin límite.
Si hacemos ,
y en la fórmula de interés compuesto, ob-
tenemos
La expresión del lado derecho de la ecuación es importante en cálculo. En el ejemplo 1 consideramos una situación semejante: a medida que n aumentaba,
A se aproximaba a un valor limitante. El mismo fenómeno se presenta para
esta fórmula, como se ilustra en la tabla siguiente. A
1 1
n
n
. t
1 i
1 C
1 Usando la fórmula de interés compuesto y una calculadora, obtenemos las
cantidades dadas en la tabla siguiente.
Periodo de interés
Trimestre Mes Semana Día Hora Minuto
n 4
12 52
365 8760 525,600
Periodo de interés Cantidad después de un año
Trimestre Mes
Semana
Día Hora
Minuto
1000 1
0.09 525,600
525,600
1094.17 1000
1 0.09
8760
8760
1094.17 1000
1 0.09
365
365
1094.16 1000
1 0.09
52
52
1094.09 1000
1 0.09
12
12
1093.81 1000
1 0.09
4
4
1093.08
L
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En cálculo se demuestra que cuando n aumenta sin límite, el valor de la ex- presión
se aproxima a cierto número irracional, denotado por e. El número e aparece en la investigación de muchos fenómenos físicos. Una
aproximación es . Si usamos la notación desarrollada para fun-
ciones racionales en la sección 4.5, denotamos este hecho como sigue. e
2.71828 1 1n
n
346
C A P Í T U L O 5 F U N C I O N E S I N V E R S A S , E X P O N E N C I A L E S Y L O G A R Í T M I C A S
El número e
Si n es un entero positivo, entonces cuando
. n
l 1
1 n
n
l e 2.71828
Definición de la función exponencial natural
La función exponencial natural f está definida por
para todo número real x. f
x e
x
Aproximación a n
1 2.00000000
10 2.59374246
100 2.70481383
1,000 2.71692393
10,000 2.71814593
100,000 2.71826824
1,000,000 2.71828047
10,000,000 2.71828169
100,000,000 2.71828181
1,000,000,000 2.71828183
1 1
n
n
La función exponencial natural es una de las funciones más útiles en ma- temáticas avanzadas y en aplicaciones. Como
, la gráfica de y e
x
2 e 3 En la definición siguiente usamos e como base para una importante fun-
ción exponencial.
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se encuentra entre las gráficas de y
, como se muestra en la figura 1. Calculadoras científicas y graficadoras tienen una tecla
para aproximar valores de la función exponencial natural.
A P L I C A C I Ó N
Interés compuesto continuamente
La fórmula de interés compuesto es
Si hacemos , entonces
, y
y podemos escribir la fórmula otra vez como
Para interés compuesto continuamente hacemos que n el número de periodos de interés por año aumente sin límite, denotado por
, o bien, lo que es equivalente, por
. Usando el hecho de que cuando
, vemos que
Este resultado nos da la fórmula siguiente. C
1 1
k
k it
l C e
it
Ce
rt
cuando k l . k
l 1 1k
k
l e
k l
n l
A C 1
1 k
kit
C 1
1 k
k it
. nt kit
n ki k n
i i
n 1
k A C
1 i
n
nt
.
e
x
y 3
x
y 2
x
5 . 3 L a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l n a t u r a l
347
Fórmula de interés capitalizado continuamente
donde Capital inicial
tasa de interés anual expresada como decimal número de años que C se invierte
cantidad después de t años. A
t i
C A Ce
it
, Se puede tener acceso a la tecla
al pulsar .
LN 2nd
e
x
Figura 1
y
x y
2
x
y 3
x
y e
x
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Los dos ejemplos siguientes ilustran el uso de esta fórmula.
E J E M P L O 2
Uso de la fórmula de interés capitalizado continuamente
Suponga que 20,000 se depositan en una cuenta de mercado de dinero que paga interés a razón de 6 por año capitalizado continuamente. Determine el
saldo de la cuenta después de 5 años.
S O L U C I Ó N
Aplicando la fórmula para interés capitalizado continuamente con
, , y tenemos
Si usamos calculadora, encontramos que .
L
E J E M P L O 3
Uso de la fórmula de interés capitalizado continuamente
Una inversión de 10,000 aumentó a 28,576.51 en 15 años. Si el interés se capitalizó continuamente, encuentre la tasa de interés.
S O L U C I Ó N
Aplicamos la fórmula para interés capitalizado continuamente con
, , y :
fórmula sustituya por A, C, t
En este punto, podríamos dividir entre 10,000; pero eso nos dejaría con una ecuación que no podemos resolver todavía. Entonces, graficaremos
y y hallaremos su punto de intersección.
Como i es una tasa de interés, empezaremos con una pantalla de por
. Usando una función de intersección, encontramos que
para en la figura 2. Entonces, la tasa de
interés es 7.
L
La fórmula de interés capitalizado continuamente es sólo un caso especí- fico de la siguiente ley.
x 0.07
Y
1
Y
2
0, 30,000, 10,000 0, 0.10, 0.01
Y
2
10,000e 15x
Y
1
28,576.51 28,576.51 10,000e
i 15
A Ce
it
t 15
A 28,576.51
C 10,000
A 26,997.18
A Ce
it
20,000e
0.06 5
20,000e
0.3
. t
5 i
0.06 C
20,000
348
C A P Í T U L O 5 F U N C I O N E S I N V E R S A S , E X P O N E N C I A L E S Y L O G A R Í T M I C A S
E J E M P L O 4
Predicción de la población de una ciudad
La población de una ciudad en 1970 era de 153,800. Suponiendo que la po- blación aumenta continuamente a razón de 5 por año, prediga la población
de la ciudad en el año 2010.
Figura 2
Ley de la fórmula de crecimiento
o decrecimiento
Sea el valor de una cantidad q en el tiempo esto es, es la canti-
dad inicial de q. Si q cambia instantáneamente a una razón proporcional a su valor actual, entonces
donde es la rapidez de crecimiento o
es la rapidez de decreci- miento de q.
r r
q q t q
e
rt
, q
t q
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S O L U C I Ó N
Aplicamos la fórmula del crecimiento con población
inicial q 153,800, rapidez de crecimiento r 0.05 y tiempo t 2010
1970 40 años. Entonces, una predicción para la población de la ciudad en el año 2010 es
L
La función f del siguiente ejemplo es importante en aplicaciones avanza- das de matemáticas.
E J E M P L O 5
Trazar una gráfica que contenga dos funciones exponenciales
Trace la gráfica de f si
S O L U C I Ó N
Nótese que f es una función par, porque
Entonces, la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Si usamos calculadora, obtenemos las siguientes aproximaciones de
. f
x f
x e
x
e
x
2 e
x
e
x
2 f
x. f
x e
x
e
x
2 .
153,800e
0.0540
153,800e
2
1,136,437. q q
e
rt
5 . 3 L a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l n a t u r a l
349
La localización de puntos y el uso de simetría con respecto al eje y nos da el trazo de la figura 3. La gráfica parece ser una parábola, pero éste no es real-
mente el caso.
L
A P L I C A C I Ó N
Cables flexibles
La función f del ejemplo 5 se presenta en matemáticas aplicadas e ingeniería, donde se denomina función coseno hiperbólico. Esta función se puede usar
para describir la forma de una cadena o cable flexible uniforme cuyos extre- mos están sostenidos desde la misma altura, por ejemplo un cable de teléfono
o líneas eléctricas vea la figura 4. Si introducimos un sistema de coordena- das, como se indica en la figura, entonces se puede demostrar que una ecua-
ción que corresponde a la forma del cable es
donde a es un número real. La gráfica se llama catenaria, por la palabra latina que significa cadena. La función del ejemplo 5 es el caso especial en el que
a 1. Vea el ejercicio de análisis 3 al final de este capítulo para una aplicación
que comprende una catenaria. y
a 2
e
x a
e
x a
,
Figura 3
y
x e
x
e
x
2 y
Figura 4
y
x
x 0.5
1.0 1.5
2.0
f x
aprox. 1
1.13 1.54 2.35 3.76
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A P L I C A C I Ó N
Radioterapia
Las funciones exponenciales desempeñan una importante función en el campo de la radioterapia, que es un tratamiento de tumores por radiación. La frac-
ción de células de un tumor que sobreviven al tratamiento, llamada fracción sobreviviente
, depende no sólo de la energía y naturaleza de la radiación, sino también de la profundidad, tamaño y características del tumor mismo. La ex-
posición a radiación puede considerarse como varios eventos potencialmente dañinos, donde al menos un hit acierto se requiere para matar una célula de
tumor. Por ejemplo, suponga que cada célula tiene exactamente un blanco al que se debe acertar. Si k denota el tamaño promedio del blanco de una célula
de tumor y si x es el número de eventos dañinos la dosis, entonces la frac- ción sobreviviente fx está dada por
Esto recibe el nombre de fracción sobreviviente de un blanco un acierto o hit. Suponga a continuación que cada célula tiene n objetivos o blancos y que
a cada blanco se debe acertar una vez para que la célula muera. En este caso, la fracción sobreviviente de n blancos un acierto está dada por
La gráfica de f puede ser analizada para determinar qué efecto tendrá aumen- tar la dosis x al decrecer la fracción sobreviviente de células de tumor. Observe
que ; esto es, si no hay dosis, entonces todas las células sobreviven.
Como ejemplo, si y
, entonces
Un análisis completo de la gráfica de f requiere cálculo integral. La gráfica se traza en la figura 5. El hombro de la curva cerca del punto 0, 1 representa la
naturaleza de umbral del tratamiento, es decir, una pequeña dosis resulta en muy baja eliminación de células del tumor. Observe que para x grande, un au-
mento en dosis tiene poco efecto en la fracción sobreviviente. Para determinar la dosis ideal a administrar a un paciente, especialistas en terapia de radiación
también deben tomar en cuenta el número de células sanas que mueren durante el tratamiento.
Problemas del tipo que se ilustra en el ejemplo siguiente se presentan en el estudio del cálculo.
E J E M P L O 6
Hallar ceros de una función que contenga exponenciales
Si , encuentre los ceros de f.
S O L U C I Ó N
Podemos factorizar fx como sigue:
enunciado factorice 2xe
2x
2xe
2x
1 x f
x 2xe
2x
2x
2
e
2x
f x x
2
2e
2x
2xe
2x
2e
x
e
2x
. 1
1 2e
x
e
2x
f x 1 1 e
x 2
n 2
k 1
f 0 1
f x 1 1 e
kx n
. f
x e
kx
.
350
C A P Í T U L O 5 F U N C I O N E S I N V E R S A S , E X P O N E N C I A L E S Y L O G A R Í T M I C A S
Figura 5
Fracción sobreviviente de células de un tumor después de un tratamiento de
radiación
1 1
2 3
x dosis
y fracción sobreviviente
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Para hallar los ceros de f, despejamos la ecuación . Como
para cada x, vemos que si y sólo si
o . Entonces, los
ceros de f son 0 y 1.
L
E J E M P L O 7
Trazar una curva de crecimiento de Gompertz
En biología, la función de crecimiento de Gompertz G, dada por
donde k, A y B son constantes positivas, se usa para estimar el tamaño de cier- tas cantidades en el tiempo t. La gráfica de G se llama curva de crecimiento
de Gompertz. La función es siempre positiva y creciente y cuando t aumenta sin límite, Gt se nivela y se aproxima al valor k. Grafique G en el intervalo
[0, 5] para
, y
, y estime el tiempo t en el que .
S O L U C I Ó N
Empezamos por asignar a Y
1
. Como deseamos graficar G en el intervalo [0, 5], escogemos y .
Como G
t es siempre positiva y no excede el valor ,
escogemos y
. Por lo tanto, las dimensiones de la panta- lla son [0, 5] por [0, 2]. Graficar G nos da una pantalla semejante a la figura
6. Los valores extremos de la gráfica son aproximadamente 0, 0.045 y 5, 1.086.
Para determinar el tiempo cuando , usamos una función de
intersección, con , para obtener
.
L
x t 3.194
Y
2
1 y G
t 1 Ymáx 2
Ymín 0 k
1.1 Xmáx 5
Xmín 0 1.1e
3.2e
1.1t
G t 1
B 1.1
A 3.2
k 1.1
G t ke
Ae
Bt
1 x 0 x
f x 0
e
2x
f x 0
5 . 3 L a f u n c i ó n e x p o n e n c i a l n a t u r a l
351
Figura 6
por 0, 2
0, 5
5.3
E j e r c i c i o s
Ejer. 1-4: Use la gráfica de y ⴝ e
x
para ayudar a trazar la gráfica de f.
1 a b
2 a b
3 a b
4 a b
Ejer. 5-6: Si C dólares se depositan en una cuenta de aho- rros que paga interés a razón de i por año capitalizado
continuamente, encuentre el saldo después de t años.
5
1510.59
6
191.55
C 100, i 6
1 2
, t 10 C
1000, i 8
1 4
, t 5 f
x 2e
x
f x e
2x
f x e
x
4 f
x e
x 4
f x 2e
x
f x e
2x
f x e
x
f x e
x
Ejer. 7-8: ¿Cuánto dinero, invertido a una tasa de interés de i
por año capitalizado continuamente, llegará a A dólares después de t años?
7
31,600.41
8
12,037.78
Ejer. 9-10: Una inversión de C dólares aumentó a A dólares en t años. Si el interés se capitalizó continuamente, encuen-
tre la tasa de interés. 9
13
10
5
Ejer. 11-12: Resuelva la ecuación.
11
3, 4
12
1
e
3x
e
2x1
e
x
2
e
7x12
A 890.20, C 400,
t 16 A
13,464, C 1000, t 20 A
15,000, i 5.5, t 4
A 100,000, i 6.4, t 18
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Ejer. 13-16: Encuentre los ceros de f.
13 14
0, 2
15 16
Ejer. 17-18: Simplifique la expresión.
17 18
19 Crecimiento de cosecha Una función exponencial W tal que
para describe el primer mes de creci-
miento para cosechas como el maíz, algodón y frijoles de soya. El valor de función Wt es el peso total en miligra-
mos, W es el peso en el día que emergen y t es el tiempo en
días. Si, para una especie de frijol de soya, y W
68 mg, prediga el peso al término de 30 días. 20 Crecimiento de cosecha
Consulte el ejercicio 19. A veces es difícil medir el peso W
de una planta desde que emergió primero del suelo. Si, para una especie de algodón, k 0.21
y el peso después de 10 días es 575 miligramos, estime W .
70.41 mg
21 La población en 1980 de Estados Unidos era alrededor de
231 millones y ha estado creciendo continuamente a razón de 1.03 por año. Prediga la población Nt en el año 2010
si esta tendencia continúa.
348.8 million
22 Crecimiento de población en India En 1985, la estimación
de población en India era de 766 millones y ha estado cre- ciendo a razón de 1.82 por año. Suponiendo que continúe
este rápido porcentaje de crecimiento, estime la población N
t de India en el año 2015.
1322 million
23 Longevidad del lenguado En ciencias piscícolas, un cardu-
men es un conjunto de peces que resulta de una reproduc- ción anual. Suele suponerse que el número de peces Nt
todavía vivo después de t años está dado por una función exponencial. Para el lenguado del Pacífico, Nt N
e
0.2t
, donde N
es el tamaño inicial del cardumen. Aproxime el porcentaje del número original todavía vivo después de 10
años. 24 Rastreador radiactivo
El rastreador radiactivo
51
Cr se puede usar para localizar la posición de la placenta en una
mujer embarazada. Es frecuente que el rastreador sea soli- citado por un laboratorio médico. Si se envían A
unidades microcurios, entonces, debido a la desintegración radiac-
k 0.2
k W
t W e
kt
4 e
x
e
x 2
e
x
e
x 2
e
x
e
x 2
e
x
e
x 2
4 e
x
e
x 2
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x
e
x 2
1
1 2
2
2
f x x
2
2e
2x
2xe
2x
e
2x
2xe
2x 3
4
, 0
f x x
3
4e
4x
3x
2
e
4x
f x x
2
e
x
2xe
x
1
f x xe
x
e
x
tiva, el número de unidades At presentes después de t días está dado por At A
e
0.0249t
. a
Si 35 unidades del rastreador se envían y tardan 2 días en llegar, ¿aproximadamente cuántas unidades habrá
para la prueba?
33.3
b Si se necesitan 35 unidades para la prueba, ¿aproxima-
damente cuántas unidades deben enviarse?
36.8
25 Crecimiento de la población de ballenas azules En 1980, la
población de ballenas azules en el hemisferio sur se pensaba que era de 4500. La población Nt ha estado decreciendo
de acuerdo con la fórmula Nt4500e
0.1345t
, donde t es en años y t 0 corresponde a 1980. Prediga la población en el
año 2015 si esta tendencia continúa.
41
26 Crecimiento del lenguado La longitud en centímetros
de muchos peces comerciales comunes de t años de edad puede aproximarse con una función de crecimiento de von
Bertalanffy, que tiene una ecuación de la forma ft a
1 be
kt
, donde a, b y k son constantes. a
Para el lenguado del Pacífico, a 200, b 0.956 y k
0.18. Estime la longitud de un lenguado de 10 años de edad.
b Use la gráfica de f para estimar la máxima longitud al-
canzable del lenguado del Pacífico.
200 cm
27 Presión atmosférica Bajo ciertas condiciones, la presión
atmosférica p en pulgadas a una altitud de h pies está dada por p 29e
0.000034h
. ¿Cuál es la presión a una altitud de 40,000 pies?
7.44 in.
28 Desintegración del isótopo de polonio Si empezamos con c
miligramos del isótopo de polonio
210
Po, la cantidad res- tante después de t días puede ser aproximada mediante
A ce
0.00495t
. Si la cantidad inicial es 50 miligramos, apro- xime, al centésimo más cercano, la cantidad restante des-
pués de a
30 días b
180 días c
365 días
43.10 mg 20.51 mg
8.21 mg
29 Crecimiento de niños El modelo Jenss es generalmente
considerado como la fórmula más precisa para predecir la estatura de niños de preescolar. Si y es la estatura en centí-
metros y x es la edad en años, entonces
para . De cálculo, la rapidez de crecimiento R en
cmaño está dada por R 6.39 0.993e
3.2610.993x
. Encuen- tre la estatura y rapidez de crecimiento de un niño típico de
1 año de edad.
75.77 cm; 15.98 cm yr
1 4
x 6
y 79.041 6.39x e
3.2610.993x
352
C A P Í T U L O 5 F U N C I O N E S I N V E R S A S , E X P O N E N C I A L E S Y L O G A R Í T M I C A S
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30 Velocidad de una partícula Una partícula esférica muy pe-
queña del orden de 5 micrones de diámetro se proyecta a través de aire en calma con una velocidad inicial de v
ms, pero su velocidad disminuye debido a fuerzas de resisten-
cia. Su velocidad t segundos más tarde está dada por vt v
e
at
para alguna a
0 y la distancia st que la partícula recorre está dada por
La distancia de parada es la distancia total recorrida por la partícula.
a Encuentre una fórmula que aproxime la distancia de
parada en términos de v y a.
b Use la fórmula del inciso a para estimar la distancia de
parada si v 10 ms y a 8 10
5
. 31 Salario mínimo
En 1971 el salario mínimo en Estados Uni- dos era de 1.60 por hora. Suponiendo que la tasa de infla-
ción es 5 al año, encuentre el salario mínimo equivalente en el año 2010.
11.25 per hr
32 Valor del suelo En 1867 Estados Unidos compró Alaska a
Rusia en 7,200,00. Hay 586,400 millas cuadradas de te- rreno en Alaska. Suponiendo que el valor del terreno au-
menta continuamente al 3 por año y que el terreno se puede comprar a un precio equivalente, determine el precio
de 1 acre en el año 2010. Una milla cuadrada es equiva- lente a 640 acres.
1.40
Ejer. 33-34: El rendimiento efectivo o tasa de interés anual efectiva para una inversión es la tasa de interés simple
que daría al término de un año la misma cantidad que rinde la tasa compuesta que en realidad se aplica. Aproxime, al
0.01 más cercano, el rendimiento efectivo correspon- diente a una tasa de interés de i por año capitalizado a
trimestralmente y b continuamente.
33
7.19; 7.25
34
12.55; 12.75
Ejer. 35-36: Trace la gráfica de la ecuación.
35 36
Ejer. 37-38: Trace la gráfica de la ecuación. a Estime y si x