P R U E B A
Si u es el ángulo entre a y b, entonces, del teorema sobre el pro-
ducto punto, Dividiendo ambos lados de esta ecuación entre
tendremos
L
E J E M P L O 5
Hallar los componentes de un vector a lo largo de otro
Si c 10i 4j y d 3i 2j, encuentre comp
d
c y comp
c
d e ilustre gráfi-
camente estos números.
S O L U C I Ó N
Los vectores c y d y los componentes deseados están ilustrados
en la figura 4. Usamos la fórmula para comp
b
a, como sigue:
L
Concluiremos esta sección con una aplicación física del producto punto. Primero examinemos brevemente el concepto científico de trabajo.
Una fuerza puede ser considerada como la entidad física que se usa para
describir un empuje o tracción sobre un objeto. Por ejemplo, es necesaria una fuerza para empujar o jalar un objeto a lo largo de un plano horizontal, para
levantar un objeto del suelo o para mover una partícula cargada en un campo electromagnético. Con frecuencia, las fuerzas se miden en libras. Si un objeto
pesa 10 libras, entonces, por definición, la fuerza necesaria para levantarlo o sostenerlo levantado es de 10 libras. Una fuerza de este tipo es una fuerza
constante, porque su magnitud no cambia mientras permanece aplicada al ob- jeto dado.
Si una fuerza constante F se aplica a un objeto, moviéndolo una distancia d
en la dirección de la fuerza, entonces, por definición, el trabajo W es
Si F se mide en libras y d en pies, entonces las unidades para W son pies-li- bras. En el sistema cgs centímetro-gramo-segundo se emplea una dina como
la unidad de fuerza. Si F se expresa en dinas y d en centímetros, entonces la unidad para W es la dina-centímetro o erg. En el sistema mks metro-kilo-
W Fd .
comp
c
d d c
c
310 24
2
10
2
4
2
22
2
116 2.04
comp
d
c c d
d
103 42
2
3
2
2
2
22
2
13 6.10
a b b
a cos comp
b
a. b
a b a b cos .
8 . 4 P r o d u c t o p u n t o
611
Fórmula para comp
b
a Si a y b son vectores diferentes de cero, entonces
comp
b
a a b
b
.
Figura 4
y
x
c
d
comp
d
c
comp
c
d
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gramo-segundo se emplea el newton como unidad de fuerza. Si F es en new- tons y d es en metros, entonces la unidad para W es el newton-metro o joule.
E J E M P L O 6
Hallar el trabajo realizado por una fuerza constante
Encuentre el trabajo realizado al empujar un automóvil por un camino a nivel desde un punto A a otro punto B, a 40 pies de A, cuando se ejerce una fuerza
constante de 90 libras.
S O L U C I Ó N
El problema está ilustrado en la figura 5, donde hemos dibujado el camino como parte de una recta l. Como la fuerza constante es F 90 li-
bras y la distancia que se mueve el automóvil es d 40 pies, el trabajo reali- zado es
Figura 5
L
La fórmula W Fd es muy restrictiva, porque se puede usar sólo si la fuerza se aplica a lo largo de la línea de movimiento. En forma más general,
suponga que un vector a representa una fuerza y que su punto de aplicación se mueve a lo largo de un vector b. Esto se ilustra en la figura 6, donde la fuerza
a se emplea para tirar de un objeto por una trayectoria a nivel de O a B, y
.
Figura 6
Fuerza, a
O Q
B A
b OB
b OB
l
40 Fuerza 90 lb
A B
l
W 9040 3600 pies-lb.
612
C A P Í T U L O 8 A P L I C A C I O N E S D E T R I G O N O M E T R Í A
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