putar bumi, bukan terhadap titik pusat bumi. Seperti yang telah diketahui bahwa r
Bumi
pada khatulistiwa sama dengan 6375 km, sehingga kecepatan bumi berdasarkan persamaan 2.1
yaitu sebesar 1669 cos ? kmjam. Jika diambil posisi pada garis khatulistiwa, atau pada ? = 0 maka akan diperoleh kecepatan bumi sebesar 463 meter per detik yang ternyata sudah
melampaui besar kecepatan suara di udara. Pengaruh dari rotasi bumi ini secara garis besar, yaitu:
a. Pergantian Siang dan malam
b. Perbedaan waktu
c. Perbedaan percepatan gravitasi bumi
d. Pembelokan arah angin
e. Pembelokan arus laut
f. Peredaran semu harian benda-benda langit
Salah satu cara untuk menganalisa rotasi bumi beserta pengaruhnya adalah dengan menggunakan pendulum Foucault akan dijelaskan lebih lanjut pada subbab 2.3. Pikatan,
2009
Ω r
Gambar 2.1. Rotasi Bumi
2.2. Gaya Coriolis
Universitas Sumatera Utara
Gaya Coriolis adalah suatu proses alam yang dinamakan sesuai dengan penemunya yaitu Gaspard Gustave Coriolis 1844 dari Prancis. Ia menemukan bahwa rotasi bumi selalu
menyebabkan simpangan terhadap setiap gerakan yang terjadi pada permukaan bumi. Besar kecilnya penyimpangan tergantung dari lintang geografi, dimana gerakan itu terjadi.
Pada belahan bumi utara setiap gerak di belokkan ke kanan dan pada belahan bumi selatan di belokkan ke kiri dari arah kecepatan. Pembelokkan atau perubahan arah ini hanya dapat di
terangkan dengan menganggap atau menambahkan adanya gaya tidak nyata yang bekerja pada suatu benda. Gaya khayal atau gaya fiktif ini dinamakan gaya
coriolis. Gaya semacam ini yang bekerja pada satu satuan massa atau percepatan yang ditimbulkan disebut percepatan coriolis.
Besarnya percepatan coriolis secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.
φ sin
2 Ω
= v
a
c
2.2 v adalah kecepatan benda yang bergerak, ? kecepatan sudut rotasi bumi yang besarnya sama
dengan
s rad
x 10
27 ,
7
5 −
, ? besarnya derajat lintang. Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa untuk kecepatan yang sama pengaruh coriolis terbesar terdapat di kutub.
Pengaruh ini makin berkurang dengan berkurangnya lintang tempat dan sama dengan nol di
khatulistiwa.
Sering pula persamaan di atas ditulis:
vf a
c
=
dengan
φ sin
2 Ω
= f
2.3 f dinamakan parameter coriolis.
Arah percepatan coriolis ialah tegak lurus pada kecepatan, ke kanan di belahan bumi utara dan ke kiri di belahan bumi selatan. Susilo Prawirowardoyo,1996.
2.3. Pendulum Foucault
Universitas Sumatera Utara
Pendulum Foucault adalah suatu alat yang berguna untuk menunjukkan arah rotasi bumi. Alat ini ditemukan oleh Jean Bernard Léon Foucault. Alat eksperimen ini terdiri atas bandul
panjang yang bebas bergerak kesana kemari pada latar vertikal. Diagram dari pendulum Foucault diberikan pada gambar 2.2.
Gambar 2.2 pendulum Foucault
Pertunjukan pertama bandul Foucault kepada khalayak terjadi pada bulan Februari 1851 di Ruang Meridian yang ada di Observatorium Paris. Beberapa minggu kemudian, Léon
Foucault membuat bandul terkenalnya ketika ia menggantung potongan logam seberat 28 kg dengan kabel sepanjang 67 meter dari kubah Panthéon di Paris. Hal itu untuk membuktikan
bahwa bumi berputar pada porosnya. Pesawat osilasi dari pendulum Foucault berputar sepanjang hari sebagai akibat dari rotasi bumi. Pesawat osilasi menyelesaikan seluruh
lingkaran dalam interval T, yang tergantung pada lintang geografis.
ini selanjutnya digunakan untuk menganalisis rotasi bumi pada porosnya, dengan bandul yang cukup berat yang digantungkan pada tali panjang, agar dapat bertahan berayun-
ayun cukup lama. Oleh rotasi bumi, tentunya bandul akan berosilasi karena seolah-olah tertinggal oleh rotasi bumi. Untuk menyelidiki gerakan bandul yang memperlihatkan adannya
rotasi itu, dapat tinjau bandul yang dipasang di tempatnya misalnya ?.peter,2000
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3 Pendulum yang menunjukkan rotasi bumi.
pendulum yang terdiri dari partikel P dengan massa dan kawat diperkirakan tak bermassa panjang, dan yang menyangga pada titik Q dekat lintang permukaan bumi seperti yang
ditunjukkan pada gambar 2.3 untuk mempermudah, jarak vertikal h antara titik O ,yang mana pada permukaan bum, penyangga pada Q adalah diambil menjadi h=L.
Skala dari gambar 2.3 terlalu dibesarkan dengan diasumsikan panjang L dari pendulum terlalu kecil dari radius
E
R
di bumi, dengan bumi yang homogen sebagai massa
E
M
. Hal ini juga diasumsikan bahwa gaya pada P adalah tegangan tali QP, besarnya N dan gaya
gravitasi bumi. Besarnya gaya gravitasi yang
bekerja pada P ini diperkirakan sebagai
mg R
m GM
E E
=
2
, dimana g = 9,81 ms
2
adalah percepatan gravitasi di permukaan bumi. Dan juga karena L sangat kecil dibandingkan dengan
E
R
, gaya gravitasi yang bekerja pada P dinyatakan dalam arah
z ˆ
− dimana
z ˆ adalah sebuah vektor satuan yang diarahkan ke atas sepanjang gatis
vertikal OO’. Koordinar rectangular x, y, dan z ditunjukkan pada gambar 2.3 digunakan untuk menganalisis efek ? sebagai gaya pendulum yang bergerak relatif terhadap bumi.
Istilah partikel yang diam di bumi dinyatakan dalam vektor satuan
y x
z y
x ˆ
ˆ ˆ
, ˆ
, ˆ
× =
yang ditunjukkan pada 2.3 dengan resultan gaya
F r
dengan persamaan:
Universitas Sumatera Utara
− +
+ −
− =
− −
≈ L
z L
z y
y x
x N
z mg
QP QP
N z
mg F
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ r
2.4 Dimana x, y dan z adalah koordinat rectangular dengan P adalah titik axis pada permukaan
bumi dan titik tengah di O’. perhatikan bahwa, panjang pendulum L adalah konstan, variabel x, y dan z din yatakan dengan persamaan:
2 2
2 2
L L
z y
x =
− +
+
Dengan ? menjadi lokasi lintang titik O’ di bumi, dengan kecepatan angular
ω v
dari
{ }
z y
x ˆ
, ˆ
, ˆ
yang ditunjukkan pada gambar 2.3
λ λ
ω cos
ˆ sin
ˆ x
z −
Ω ≈
r
2.5
dimana ? = 2p radhari ≈
7,27.10
-5
rads. Pada persamaan 2.5 rotasi garis dari matahari ke pusat O di bumi. Dengan kecepatan angular 2p radtahun. Diabaikan karena lebih kecil ? di
sekitar titik pusat bumi. Dengan posisi vektor bumi dari O’ ke P dinyatakan sebagai
z z
y y
x x
P O
ˆ ˆ
ˆ +
+ =
dan di pusat O di bumi sekarang pada kerangka inersia. Posisi vektor sebenarnya dari P adalah:
z z
y y
x x
z R
r
E p
ˆ ˆ
ˆ ˆ
+ +
+ =
r
Universitas Sumatera Utara
Oleh karena itu, kecepatan
p
υ r
dan percepatan
p
a r
di P adalah:
p p
p
r z
z y
y x
x dt
r d
r r
r r
× +
+ +
= =
ω υ
ˆ ˆ
ˆ
[ ]
z y
z y
z R
x y
x y
x
E
ˆ cos
ˆ cos
sin ˆ
sin λ
λ λ
λ Ω
− +
+ Ω
+ Ω
+ +
Ω −
=
2.6
{ }
p z
y x
p p
p
dt d
dt d
a υ
ω υ
υ v
r r
r r
× +
= =
ˆ ,
ˆ ,
ˆ
[ ]
[ ]
z z
R x
y z
y y
z x
y x
z R
y x
E E
ˆ cos
cos sin
cos 2
ˆ cos
2 sin
2 ˆ
cos sin
sin 2
2 2
2 2
2
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ +
Ω −
Ω −
Ω −
+ Ω
− Ω
+ Ω
+ +
+ Ω
− Ω
− =
2.7
Dengan F
r dan
p
a r
sebenarnya ditunjukkan pada persamaan 2.4 dan 2.7 di bawah ini adalah persamaan skalar yang diperoleh langsung dari
p
a m
F r
v =
[ ]
N L
x z
R x
y x
m
E
− =
+ Ω
− Ω
− Ω
− λ
λ λ
λ cos
sin sin
sin 2
2 2
2
2.8
N L
y y
z x
y m
− =
Ω −
Ω +
Ω +
2
cos 2
sin 2
λ λ
2.9
[ ]
N L
L z
mg z
R x
y z
m
E
− −
− =
+ Ω
− Ω
− Ω
− λ
λ λ
λ
2 2
2
cos cos
sin cos
2 2.10
Universitas Sumatera Utara
Persamaan 2.8 sampai 2.10 di subsitusikan ke persamaan 2.5 yang mempengaruhi gaya dari pendulu m relatif terhadap perputaran bumi. Efek dari ? sangat kecil pada gerakan pendulum
dan sekarang dibahas secara rinci. dimana ? = 2p radhari ≈
7,27.10
-5
rads sangat kecil, perkiraan sekarang dibuat untuk mengurangi kompleksitas pada persamaan 2.8 sampai 2.10
tapi masih mempertahankan efek ? tentunya. Karena ayunan cukup kecil, gerakan pendulum boleh dikatakan berada pada bidang datar, maksudnya komponen gerakan ke atas dan ke
bawahnya boleh diabaikan yang berarti
z
dan
z
adalah 0. Maka persamaan pendulum Foucault adalah ditunjukkan pada persamaan 2.11 dan 2.12.
sin 2
= +
Ω −
x L
g y
x λ
2.11
sin 2
= +
Ω +
y L
g x
y λ
2.12 Persamaan 2.11 dan 2.12 diatas menghubungkan gerakan-gerakan sepanjang sumbu x dan
sepanjang sumbu y yang berarti menentukan bentuk lintasan pendulum.Marcelo da Silva,2004
2.4. Metode Runge-Kutta
