Simulasi Pendulum Foucault Dengan Menggunakan Mathematica 6

SIMULASI PENDULUM FOUCAULT DENGAN MENGGUNAKAN

MATHEMATICA 6

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

GINA WARDHANI

060801037

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

PERSETUJUAN

Judul

: SIMULASI PENDULUM FOUCAULT DENGAN

MENGGUNAKAN MATHEMATICA 6

Kategori

: SKRIPSI

Nama

: GINA WARDHANI

NIM

: 060801037

Program Study

: SARJANA (S1) FISIKA

Departemen

: FISIKA

Fakultas

: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

(FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, Mei 2011

Diketahui/disetujui oleh

Departemen Fisika FMIPA USU

Ketua,

Pembimbing,

Dr. Marhaposan Situmorang

Drs. Nasir Saleh, M.Eng.Sc

NIP: 195510301980031003

NIP: 195109021984031001

PERNYATAAN

SIMULASI PENDULUM FOUCAULT DENGAN MENGGUNAKAN

MATHEMATICA 6

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing- masing disebutkan sumbernya

Medan, April 2011

GINA WARDHANI

060801037

PENGHARGAAN

Puji dan Syukur penulis persembahkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan

kasih sayang serta karunia-Nya kepada penulis hingga skripsi yang

berjudul:

“Simulasi Pendulum Foucault Dengan Menggunakan Mathematica 6”

berhasil diselesaikan dengan baik dan tepat pada waktu yang telah ditetapkan.

Shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sebagai suri teladan terbaik di

muka bumi.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Drs. Nasir Saleh, M.Eng.Sc,

selaku pembimbing yang telah memberikan panduan, bantuan, serta segenap perhatian

dan dorongan kepada penulis dalam menyempurnakan skripsi ini. Kemudian ucapan

terimakasih kepada Ibu Dra. Manis Sembiring, MSi selaku dosen wali yang telah

memperhatikan kemajuan studi penulis. Paduan ringkas dan padat serta profesional

telah diberikan kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas ini.

Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Fisika

Dr. Marhaposan Situmorang dan Dra.Justinon, M.Si, Dekan dan Pembantu Dekan

Fakultas MIPA USU, Bapak dan Ibu Staf Pengajar Departemen Fisika FMIPA USU

terima kasih atas ilmu ya ng diberikan selama ini, semoga menjadi ilmu yang

bermanfaat, dan juga kepada seluruh staff pegawai pada departemen Fisika FMIPA

USU.

Ucapan terimakasih terbesar penulis sampaikan kepada Ibunda tercinta

Junaidah atas segala cinta kasih dan do’a yang selalu dihadiahkan kepada penulis

tanpa henti dan skripsi ini dipersembahkan khusus buat ayahanda tercinta (alm)

Ruslan Abdul Gani, SH yang menjadi inspirasi dan kekuatan bagi penulis untuk

menyesaikan kuliah ini sampai selesai, dan M. Rais sebagai uwak yang banyak

membantu, Tak lupa pula terimakasih kepada sahabat-sahabat terbaik penulis, Tari

yang sangat membantu penulis menyelesaikan skripsi ini hingga selesai, Diah dan

semua rekan-rekan fisika angkatan 2006. Semoga Allah SWT akan membalasnya.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena

itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang bersifat membangun demi

kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, sesungguhnya Allah Maha Kuasa atas apa yang

dikehendaki-Nya.

ABSTRAK

Pendulum Foucault merupakan salah satu eksperimen yang digunakan untuk

menunjukkan adanya rotasi bumi. Eksperimen ini dimodelkan dalam bentuk

persamaan differensial biasa orde dua. Persamaan ini diperoleh dari analisis gaya- gaya

yang bekerja pada pendulum. Persamaan diselesaikan dengan metode Runge-Kutta

orde 4 dan disimulasikan dengan menggunakan bahasa pemrograman

Mathematica

6.

Hasil simulasi berupa grafik-grafik lintasan yang divariasikan berdasarkan lintang.

Grafik-grafik ini digunakan untuk menganalisis gerakan pendulum pada berbagai

lintang, yaitu pada kutub bumi, khatulistiwa, maupun pada daerah di antara kutub dan

khatulistiwa. Dari pengujian simulasi diperoleh bahwa gerak pendulum Foucault pada

kutub menghasilkan pola lintasan ayunan pendulum dengan sudut 360

o

. Pada

kahtulistiwa, pola lintasan pendulum hanya berupa garis lurus (0

o

). Sedangkan pada

daerah sembarang antara kutub dan khatulistiwa, pola lintasan yang terbentuk

bergantung pada besar sudut lintang. Berdasarkan ini dapat dikatakan bahwa lintasan

pendulum dipengaruhi oleh rotasi bumi.

SIMULATION OF FOUCAULT PENDULUM BY USING MATHEMATICA 6

ABSTRACT

Foucault pendulum is one of experiments used to show earth rotation. It can be

modeled as second order ordinary differential equation. This equation was derived by

analysing all forces working on pendulum. It was solved by using fourth order

Runge-Kutta method and simulated by using Mathematica 6. The result of this

simulation are trajectories graphics varied based on latitude. These graphics are used

to analyse pendulum motion in different latitude, i.e. polar, equator, and any area

between polar and equator. From the exploration of this simulation, it can be said that

motion of Foucault pendulum in polar products full circle trajectory pattern which the

angle is 360

o

. In equator, pattern of pendulum trajectory is straight line only (0

o

).

Whereas in any area between polar and equator, pattern of pendulum trajectory is

formed based on latitude. From this analyzing, it can be said that pendulum trajectory

is influenced by earth rotation.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan

ii

Pernyataan

iii

Penghargaan

iv

Abstrak

v

Abstract

vi

Daftar isi

vii

Daftar Tabel

viii

Daftar Gambar

ix

Bab 1 Pendahuluan

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Tujuan Penelitian

2

1.3 Manfaat Penelitian

3

1.4 Batasan Masalah

3

1.5 Sistematika Penulisan

3

Bab 2 Tinjauan Pustaka

5

2.1 Rotasi Bumi

5

2.2 Gaya Coriolis

6

2.3 Pendulum Foucault

7

2.4 Metode Runge-Kutta

11

2.5 Mathematica 6

15

Bab 3 Analisis Masalah dan Perancangan Program

19

3.1 Analisis Masalah

19

3.1.1 Persamaan Gerak Pendulum Foucault

19

3.1.2 Penyelesaian Persamaan Gerak Pendulum Foucault dengan

Metode Runge Kutta Orde Empat

20

3.2 Perancangan Program

22

3.2.1 Perancangan Diagram Alir (

Flowchart

)

23

3.2.2 Algoritma Program Bantu

28

Bab 4 Hasil dan Pembahasan

29

4.1 Pendulum Kutub

32

4.2 Pendulum Lintang

34

4.3 Pendulum Khatulistiwa

37

Bab 5 Kesimpulan dan Saran

39

5.1 Kesimpulan

39

5.2 Saran

39

Daftar Pustaka

41

Lampiran A: Listing Program Animasi Pendulum Foucault

42

Lampiran B: Listing Program Simulasi Pendulum Foucault

49

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1 Operator Mathematica

15

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Rotasi Bumi

6

Gambar 2.2 Pendulum Foucault

7

Gambar 2.3 kerangka inersia dan kerangka non inersia

9

Gambar 3.1. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault

Unutk visualisasi 3D.

24

Gambar 3.2. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault

Unutk grafik posisi x vs posisi y.

25

Gambar 3.3. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault

Unutk grafik posisi x vs posisi y.

26

Gambar 3.4. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault

Unutk grafik posisi x vs posisi y.

27

Gambar 4.1. Hasil Eksekusi Program pada Lampiran A

29

Gambar 4.2. Hasil Eksekusi Program pada Lampiran B

30

Gambar.4.3. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault berupa

Pola lintasan gerakan ayunan pendulum pada posisi x terhadap

Posisi y

32

Gambar. 4.4. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault untuk

Kutub utara, berupa ayunan posisi x terhadap t (waktu)

33

Gambar. 4.5. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault berupa

Pola lintasan gerakan ayunan pendulum pada posisi x terhadap

Posisi y

34

Gambar. 4.6. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault berupa

Pola lintasan gerakan ayunan pendulum pada posisi x terhadap

Posisi y

34

Gambar. 4.7. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault untuk

kota Medan, berupa ayunan posisi y terhadap t (waktu)

35

Gambar. 4.8. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault untuk

kota Jakarta, berupa ayunan posisi y terhadap t (waktu)

36

Gambar 4.9. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault

di kota Pontianak berupa pola lintasan gerakan ayunan

pendulum pada posisi x terhadap Posisi y.

37

Gambar. 4.10.Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault untuk

ABSTRAK

Pendulum Foucault merupakan salah satu eksperimen yang digunakan untuk

menunjukkan adanya rotasi bumi. Eksperimen ini dimodelkan dalam bentuk

persamaan differensial biasa orde dua. Persamaan ini diperoleh dari analisis gaya- gaya

yang bekerja pada pendulum. Persamaan diselesaikan dengan metode Runge-Kutta

orde 4 dan disimulasikan dengan menggunakan bahasa pemrograman

Mathematica

6.

Hasil simulasi berupa grafik-grafik lintasan yang divariasikan berdasarkan lintang.

Grafik-grafik ini digunakan untuk menganalisis gerakan pendulum pada berbagai

lintang, yaitu pada kutub bumi, khatulistiwa, maupun pada daerah di antara kutub dan

khatulistiwa. Dari pengujian simulasi diperoleh bahwa gerak pendulum Foucault pada

kutub menghasilkan pola lintasan ayunan pendulum dengan sudut 360

o

. Pada

kahtulistiwa, pola lintasan pendulum hanya berupa garis lurus (0

o

). Sedangkan pada

daerah sembarang antara kutub dan khatulistiwa, pola lintasan yang terbentuk

bergantung pada besar sudut lintang. Berdasarkan ini dapat dikatakan bahwa lintasan

pendulum dipengaruhi oleh rotasi bumi.

SIMULATION OF FOUCAULT PENDULUM BY USING MATHEMATICA 6

ABSTRACT

Foucault pendulum is one of experiments used to show earth rotation. It can be

modeled as second order ordinary differential equation. This equation was derived by

analysing all forces working on pendulum. It was solved by using fourth order

Runge-Kutta method and simulated by using Mathematica 6. The result of this

simulation are trajectories graphics varied based on latitude. These graphics are used

to analyse pendulum motion in different latitude, i.e. polar, equator, and any area

between polar and equator. From the exploration of this simulation, it can be said that

motion of Foucault pendulum in polar products full circle trajectory pattern which the

angle is 360

o

. In equator, pattern of pendulum trajectory is straight line only (0

o

).

Whereas in any area between polar and equator, pattern of pendulum trajectory is

formed based on latitude. From this analyzing, it can be said that pendulum trajectory

is influenced by earth rotation.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1.

Latar Belakang

Salah satu akibat dari rotasi bumi adalah adanya efek coriolis. Efek Coriolis melekat pada fenomena defleksi (pembelokkan arah) gerak sebuah benda pada sebuah kerangka acuan yang berputar, khususnya di permukaan bumi. Hal ini dapat dijelaskan bahwa sebuah benda yang bergerak lurus dalam kerangka yang berputar, akan berbelok oleh pengamat yang diam di dalam kerangka tersebut. Efek Coriolis ini sangat berpengaruh pada bidang aerodinamika, atau dengan kata lain efek Coriolis merupakan salah satu teori dalam bidang ilmu mekanika yang perlu dipelajari. Salah satu untuk menganalisis adanya efek coriolis adalah dengan ayunan bandul yang dapat berputar terhadap sumbu vertikalnya yang diberi nama pendulum Foucault.

Pendulum Foucault di demonstrasikan pertama kali oleh fisikawan Prancis Jean Leon Foucault pada tahun 1851 di Paris. Foulcault menggantungkan sebuah bola cannon dari langit-langit kubah Pantheon dengan kawat yang panjangnya 250 kaki, dan masing-masing ayunan bandul membentuk pola pada lantai berpasir dan bidang ayunan bandul ditemukan bergeser searah jarum jam. Hal ini dapat dijelaskan bahwa pola pada lantai berpasir di bawah pendulum berubah karena ayunan bandul yang bergerak bebas tidak dapat mengubah bidang ayunnya. Berdasarkan penelitian selanjutnya dari pendulum Foucault ini, didapati bahwa pola ayunan dari pendulum Foucault ini berbeda-beda bergantung pada sudut lintang tempat diadakannya eksperimen pendulum Foucault.

Pada dasarnya eksperimen langsung pendulum Foucault di berbagai tempat di belahan bumi dapat dilakukan, tetapi membutuhkan waktu yang lama dan biaya yang mahal, selain itu pola ayunan bandul yang terbentuk harus dianalisis secara langsung dan karena system ini merupakan system nonlinear maka penyelesaian lebih akurat dengan menggunakan metode

numeric. Adapun metode numeric yang dipilih dalam menyelesaikan persamaan differensial pendulum Foucault adalah metode Euler. Metode ini digunakan karena keuntungannya yang mudah dalam pemrograman.

Adapun perangkat lunak yang digunakan pada simulasi ini adalah Mathematica versi 6. Digunakanya Mathematica versi 6 karena merupakan perangkat lunak untuk komputasi numerik dengan kemampuan yang baik dalam perhitungan dan dapat memberikan tampilan GUI (Graphic User Interface) sehingga lebih mudah digunakan pengguna (User Friendly). Dengan simulasi ini diharapkan mampu memberi pemahaman yang jelas tentang efek coriolis.

1.2.

Tujuan Penelitian

Tujuan dar penelitian ini adalah:

1.

Menganalisis efek Coriolis pada sistem pendulum Foucault berdasarkan

grafik keluaran simulasi penyelesaian persamaan gerak pendulum Foucault

yang terbentuk dari pola gerakan yang dihasilkan oleh ayunan pendulum

Foucault.

2. Menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 untuk menyelesaikan persamaan gerak pendulum Foucault yang berupa persamaan differensial orde 2.

3. Merancang program bantu untuk mensimulasikan penyelesaian persamaan gerak pendulum Foucault dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica Versi 6.

1.3.

Manfaat Penelitian

Memberikan analisis dan rancangan program untuk dapat memahami gerak rotasi bumi, arah perputaran bumi serta memberikan informasi mengenai gerak riil pendulum Foucault yang

1.4.

Batasan Masalah

1.

Model yang digunakan yaitu pendulum sederhana dengan frekuensi alami

pendulum,

Hz

l g

1

=

, frekuensi rotasi bumi, =1/24, dan kondisi awal

pendulum, x = 2 m, y = 2 m.

2.

Perbandingan pola lintasan didasarkan pada variasi sudut lintang. Titik

yang diambil yaitu pada kutub bumi (90

o

), khatulistiwa (0

o

), dan

sembarang tempat antara kutub bumi dan khatulistiwa; Medan (3

o

) dan

Jakarta (6

o

).

3. Penyelesaian persamaan differensial pendulum sederhana teredam dan terkendali dengan menggunakan metode Rungge-Kutta orde 4.

4. Simulasi dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica versi 6.

5. Animasi pendulum Foucault sebagai pendukung visualisasi dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic.

1.5.

Sistematika Penulisan

Laporan tugas akhir ini disusun dalam lima bab yaitu sebagai berikut: Bab I Pendahuluan

Bab ini menjelaskan latar belakang penelitian, tujuan penelitian, batasan masalah, metodologi penelitian dan sistematika penulisan.

Bab II Tinjauan Pustaka

Bab ini menjelaskan landasan teori yang digunakan dalam penelitian, yaitu dasar teori pendulum Foucault, dan Metode Rungge-Kutta yang digunakan untuk mengolah informasi yang akan diimplementasikan dalam simulasi.

Bab ini membahas penyelesaian masalah yang akan disimulasi, dan algoritma program yang akan digunakan.

Bab IV Hasil dan Pembahasan

Bab ini memberikan hasil uji coba simulasi dengan membandingkan pola lintasan yang didasarkan pada sudut variasi sudut lintang. Titik yang diambil yaitu pada kutub bumi (90o), khatulistiwa (0o), dan sembarang tempat antara kutub bumi dan khatulistiwa; Medan (3o) dan Jakarta (6o).

Bab V Kesimpulan dan saran

Bab ini memberikan kesimpulan dari hasil perancangan program yang telah dilakukan dan juga memberikan saran-saran untuk penelitian selanjutnya.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Rotasi Bumi

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu

sumbu

yang tetap, misalnya

perputaran

gasing

dan perputaran

planet

Bumi

pada

sumbunya

. Pada rotasi bumi,

gerak rotasi ini terjadi pada garis/poros/sumbu utara-selatan (garis tegak dan sedikit

miring ke kanan). Adapun kecepatan rotasi bumi dapat dihitung sesuai dengan

persamaan 2.1.

v = 2?r

Bumi

cos ?/24

(2.1)

Dengan ? ?adalah besarnya derajat lintang suatu tempat di permukaan bumi. Faktor cos ? muncul pada persamaan 2.1 karena tiap titik di permukaan bumi berputar terhadap sumbu

Bab ini membahas penyelesaian masalah yang akan disimulasi, dan algoritma program yang akan digunakan.

Bab IV Hasil dan Pembahasan

Bab ini memberikan hasil uji coba simulasi dengan membandingkan pola lintasan yang didasarkan pada sudut variasi sudut lintang. Titik yang diambil yaitu pada kutub bumi (90o), khatulistiwa (0o), dan sembarang tempat antara kutub bumi dan khatulistiwa; Medan (3o) dan Jakarta (6o).

Bab V Kesimpulan dan saran

Bab ini memberikan kesimpulan dari hasil perancangan program yang telah dilakukan dan juga memberikan saran-saran untuk penelitian selanjutnya.

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Rotasi Bumi

Rotasi adalah perputaran benda pada suatu

sumbu

yang tetap, misalnya

perputaran

gasing

dan perputaran

planet

Bumi

pada

sumbunya

. Pada rotasi bumi,

gerak rotasi ini terjadi pada garis/poros/sumbu utara-selatan (garis tegak dan sedikit

miring ke kanan). Adapun kecepatan rotasi bumi dapat dihitung sesuai dengan

persamaan 2.1.

v = 2?r

Bumi

cos ?/24

(2.1)

Dengan ? ?adalah besarnya derajat lintang suatu tempat di permukaan bumi. Faktor cos ? muncul pada persamaan 2.1 karena tiap titik di permukaan bumi berputar terhadap sumbu

putar bumi, bukan terhadap titik pusat bumi. Seperti yang telah diketahui bahwa rBumi pada khatulistiwa sama dengan 6375 km, sehingga kecepatan bumi berdasarkan persamaan 2.1 yaitu sebesar 1669 cos ? km/jam. Jika diambil posisi pada garis khatulistiwa, atau pada ? = 0 maka akan diperoleh kecepatan bumi sebesar 463 meter per detik yang ternyata sudah melampaui besar kecepatan suara di udara. Pengaruh dari rotasi bumi ini secara garis besar, yaitu:

a. Pergantian Siang dan malam b. Perbedaan waktu

c. Perbedaan percepatan gravitasi bumi d. Pembelokan arah angin

e. Pembelokan arus laut

f. Peredaran semu harian benda-benda langit

Salah satu cara untuk menganalisa rotasi bumi beserta pengaruhnya adalah dengan menggunakan pendulum Foucault (akan dijelaskan lebih lanjut pada subbab 2.3). (Pikatan, 2009)

Ωr

Gambar 2.1. Rotasi Bumi

Gaya Coriolis adalah suatu proses alam yang dinamakan sesuai dengan penemunya yaitu Gaspard Gustave Coriolis (1844) dari Prancis. Ia menemukan bahwa rotasi bumi selalu menyebabkan simpangan terhadap setiap gerakan yang terjadi pada permukaan bumi. Besar kecilnya penyimpangan tergantung dari lintang geografi, dimana gerakan itu terjadi.

Pada belahan bumi utara setiap gerak di belokkan ke kanan dan pada belahan bumi selatan di belokkan ke kiri dari arah kecepatan. Pembelokkan atau perubahan arah ini hanya dapat di terangkan dengan menganggap atau menambahkan adanya gaya tidak

nyata yang bekerja pada suatu benda. Gaya khayal atau gaya fiktif ini dinamakan gaya coriolis. Gaya semacam ini yang bekerja pada satu satuan massa atau percepatan yang ditimbulkan disebut percepatan coriolis.

Besarnya percepatan coriolis secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut.

φ

sin

2

Ω

=

v

a

c (2.2)

v adalah kecepatan benda yang bergerak, ? kecepatan sudut rotasi bumi yang besarnya sama dengan

7

,

27

x

10

−5

rad

/

s

, ? besarnya derajat lintang. Dari persamaan tersebut di atas dapat dilihat bahwa untuk kecepatan yang sama pengaruh coriolis terbesar terdapat di kutub. Pengaruh ini makin berkurang dengan berkurangnya lintang tempat dan sama dengan nol di khatulistiwa.

Sering pula persamaan di atas ditulis:

vf

a

_c

=

dengan

f

=

2

Ω

sin

φ

(2.3)

f dinamakan parameter coriolis.

Arah percepatan coriolis ialah tegak lurus pada kecepatan, ke kanan di belahan bumi utara dan ke kiri di belahan bumi selatan. (Susilo Prawirowardoyo,1996).

Pendulum Foucault adalah suatu alat yang berguna untuk menunjukkan arah rotasi bumi. Alat ini ditemukan oleh Jean Bernard Léon Foucault. Alat eksperimen ini terdiri atas bandul panjang yang bebas bergerak kesana kemari pada latar vertikal. Diagram dari pendulum Foucault diberikan pada gambar 2.2.

Gambar 2.2 pendulum Foucault

Pertunjukan pertama bandul Foucault kepada khalayak terjadi pada bulan Februari 1851 di Ruang Meridian yang ada di Observatorium Paris. Beberapa minggu kemudian, Léon Foucault membuat bandul terkenalnya ketika ia menggantung potongan logam seberat 28 kg dengan kabel sepanjang 67 meter dari kubah Panthéon di Paris. Hal itu untuk membuktikan bahwa bumi berputar pada porosnya. Pesawat osilasi dari pendulum Foucault berputar sepanjang hari sebagai akibat dari rotasi bumi. Pesawat osilasi menyelesaikan seluruh lingkaran dalam interval T, yang tergantung pada lintang geografis.

ini selanjutnya digunakan untuk menganalisis rotasi bumi pada porosnya, dengan bandul yang cukup berat yang digantungkan pada tali panjang, agar dapat bertahan berayun-ayun cukup lama. Oleh rotasi bumi, tentunya bandul akan berosilasi karena seolah-olah tertinggal oleh rotasi bumi. Untuk menyelidiki gerakan bandul yang memperlihatkan adannya rotasi itu, dapat tinjau bandul yang dipasang di tempatnya misalnya ?.(peter,2000)

Gambar 2.3 Pendulum yang menunjukkan rotasi bumi.

pendulum yang terdiri dari partikel P dengan massa dan kawat (diperkirakan tak bermassa ) panjang, dan yang menyangga pada titik Q dekat lintang permukaan bumi seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.3 untuk mempermudah, jarak vertikal h antara titik O ',yang mana pada permukaan bum, penyangga pada Q adalah diambil menjadi h=L.

Skala dari gambar 2.3 terlalu dibesarkan dengan diasumsikan panjang L dari pendulum terlalu kecil dari radius

R

_E di bumi, dengan bumi yang homogen sebagai massa

M

_E. Hal ini juga diasumsikan bahwa gaya pada P adalah tegangan tali QP, besarnya N dan gaya

gravitasi bumi. Besarnya gaya gravitasi yang

bekerja pada P ini diperkirakan sebagai

GM

_E

m

/

R

2E

=

mg

_,

dimana g = 9,81 m/s2 adalah percepatan gravitasi di permukaan bumi. Dan juga karena L sangat kecil dibandingkan dengan

R

_E, gaya gravitasi yang bekerja pada P dinyatakan dalam arah −zˆdimana zˆadalah sebuah vektor satuan yang diarahkan ke atas sepanjang gatis vertikal OO’. Koordinar rectangular x, y, dan z ditunjukkan pada gambar 2.3 digunakan untuk menganalisis efek ? sebagai gaya pendulum yang bergerak relatif terhadap bumi.

Istilah partikel yang diam di bumi dinyatakan dalam vektor satuan

(

x

ˆ

,

y

ˆ

,

z

ˆ

=

x

ˆ

×

y

ˆ

)

yang ditunjukkan pada 2.3 dengan resultan gaya F

r

(

)

_











+

+

−

−

−

=

−

−

≈

L

z

L

z

y

y

x

x

N

z

mg

QP

QP

N

z

mg

F

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

r

(2.4)

Dimana x, y dan z adalah koordinat rectangular dengan P adalah titik axis pada permukaan bumi dan titik tengah di O’. perhatikan bahwa, panjang pendulum L adalah konstan, variabel x, y dan z din yatakan dengan persamaan:

(

)

2 2

2 2 L L z y

x + + − =

Dengan ? menjadi lokasi lintang titik O’ di bumi, dengan kecepatan angular

ω

v

dari

{

x

ˆ

,

y

ˆ

,

z

ˆ

}

yang ditunjukkan pada gambar 2.3

(

λ

λ

)

ω

r

≈

Ω

z

ˆ

sin

−

x

ˆ

cos

_(2.5)

dimana ? = 2p rad/hari ≈7,27.10-5 rad/s. Pada persamaan 2.5 rotasi garis dari matahari ke pusat O di bumi. Dengan kecepatan angular 2p rad/tahun. Diabaikan karena lebih kecil ? di sekitar titik pusat bumi. Dengan posisi vektor bumi dari O’ ke P dinyatakan sebagai

z

z

y

y

x

x

P

O

'

=

ˆ

+

ˆ

+

ˆ

dan di pusat O di bumi sekarang pada kerangka inersia. Posisi vektor sebenarnya dari P adalah:

z z y y x x z R

Oleh karena itu, kecepatan υr_p dan percepatan ar_p di P adalah:

p p

p

x

x

y

y

z

z

r

dt

r

d

r

r

&

&

&

r

r

×

+

+

+

=

=

ω

υ

ˆ

ˆ

ˆ

=

(

x

&

−

Ω

y

sin

λ

)

x

ˆ

+

[

y

&

+

Ω

x

sin

λ

+

Ω

(

R

_E

+

z

)

cos

λ

] (

y

ˆ

+

z

&

−

Ω

y

cos

λ

)

z

ˆ

(2.6) { } p z y x p p p dt d dt d

a υ υ ωr υv

r r r × +     = = ˆ , ˆ , ˆ

(

)(

)

[

]

(

)

(

)

(

)

[

z

y

x

R

z

]

z

y

y

z

x

y

x

z

R

y

x

E E

ˆ

cos

cos

sin

cos

2

ˆ

cos

2

sin

2

ˆ

cos

sin

sin

2

2 2 2 2 2

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

+

Ω

−

Ω

−

Ω

−

+

Ω

−

Ω

+

Ω

+

+

+

Ω

−

Ω

−

=

&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

(2.7)

Dengan F

r

dan ar_p sebenarnya ditunjukkan pada persamaan 2.4 dan 2.7 di bawah ini adalah persamaan skalar yang diperoleh langsung dari

F

m

a

r

_p

v

=

(

)(

)

[

]

N

L x z R x y x

m&&−2Ω&sin λ−Ω)2 sin2λ−Ω2 _E + sinλ cosλ =−

(2.8)

(

)

N

L y y z x y

m + Ω + Ω −Ω2 =−

cos 2 sin

2 & λ & λ &

&

(2.9)

(

)

(

)

[

]

N

L L z mg z R x y z m E − − − = + Ω − Ω − Ω

− λ 2 λ λ 2 2λ

cos cos sin cos 2 & & & (2.10)

Persamaan 2.8 sampai 2.10 di subsitusikan ke persamaan 2.5 yang mempengaruhi gaya dari pendulu m relatif terhadap perputaran bumi. Efek dari ? sangat kecil pada gerakan pendulum dan sekarang dibahas secara rinci. dimana ? = 2p rad/hari ≈7,27.10-5 rad/s sangat kecil, perkiraan sekarang dibuat untuk mengurangi kompleksitas pada persamaan 2.8 sampai 2.10 tapi masih mempertahankan efek ? tentunya. Karena ayunan cukup kecil, gerakan pendulum boleh dikatakan berada pada bidang datar, maksudnya komponen gerakan ke atas dan ke bawahnya boleh diabaikan yang berarti

z

&

dan

z

&

&

adalah 0.

Maka persamaan pendulum Foucault adalah ditunjukkan pada persamaan 2.11 dan 2.12.

0 sin

2Ω + =

− x

L g y x& &

& λ _(2.11)

0 sin

2Ω + =

+ y

L g x y& &

& λ _(2.12)

Persamaan 2.11 dan 2.12 diatas menghubungkan gerakan-gerakan sepanjang sumbu x dan sepanjang sumbu y yang berarti menentukan bentuk lintasan pendulum.(Marcelo da Silva,2004)

2.4. Metode Runge-Kutta

Salah satu metode numerik yang digunakan dalam penyelesaian persamaan differesial adalah metode Runge-Kutta. Metode ini mencapai ketelitian suatu pendekatan deret Taylor tanpa memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Banyak perubahan terjadi, tetapi semuanya dapat ditampung dalam bentuk umum dari persamaan 2.13

yi+1 = yi + f(xi, yi, h) h (2.13)

dimana f (xi, yi, h) disebut suatu fungsi yang dapat diinterpretasikan sebagai sebuah slope rata-rata sepanjang interval. Fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk umum dalam persamaan 2.14.

f = a1 k1 + a2 k2 + … + an kn (2.14) dimana setiap a adalah konstanta dan setiap k besarnya adalah persamaan-persamaan 2.15.

k1 = f(xi , yi )

k2 = f(xi + p1h, yi + q11 k1h)

k3 = f(xi + p2h, yi + q21 k1h + q22k2h) (2.15)

M

kn = f(xi + pn-1h, yi + qn-1,1 k1h + qn-1,2 k2h + ...+ qn-1,n -1 kn-1h)

Semua harga k berhubungan secara rekurensi. Artinya k1 muncul dalam persamaan untuk k 2, yang muncul lagi dalam persamaan untuk k3, dan seterusnya. Rekurensi ini membuat metode RK efisien untuk kalkulasi oleh komputer (Raymond et al, 1991).

Berbagai jenis metode Runge-Kuttadapat direncanakan dengan melaksanakan jumlah suku-suku yang berbeda pada fungsi tersebut seperti dinyatakan oleh n. untuk n = 1 atau RK orde pertama ternyata adalah metode Euler, yaitu persamaan 2.16.

y1 = y0+ h f(x0,y0) (2.16) Dalam deret Taylor didapatkan persamaan 2.17.

...

)

,

(

'

2

)

,

_{0 0}

2 0 0 0

0

0

=

+

=

+

+

f

x

y

+

!

h

y

h f(x

y

h)

y(x

y

(2.17)

Untuk metode RK orde kedua diberikan oleh persamaan-persamaan 2.18.

x

h

k

y

k

y

h

x

hf

k

hf(x , y)

k

∆

=

=

∆













₊

₊

=

=

dengan

,

2

1

,

2

1

2 1 2 1 (2.18)

Metode RK orde tiga diberikan oleh persamaan-persamaan 2.19.

)

4

(

6

1

)

2

,

(

2

1

,

2

1

3 2 1 1 2 3 1 2 1

k

k

k

y

k

k

y

h

x

hf

k

k

y

h

x

hf

k

hf(x , y)

k

+

+

=

∆

−

+

+

=













₊

₊

=

=

(2.19)

Metode RK orde empat diberikan oleh persamaan-persamaan 2.20.

y

x

y

h

x

y

k

k

k

k

y

k

y

h

x

hf

k

k

y

h

x

hf

k

k

y

h

x

hf

k

hf(x , y)

k

∆

+

=

+

+

+

+

=

∆

+

+

=













₊

₊

=













₊

₊

=

=

)

(

)

(

)

2

2

(

6

1

)

,

(

2

1

,

2

1

2

1

,

2

1

4 3 2 1 3 4 2 3 1 2 1 (2.20)

Sedangkan untuk menyelesaikan persamaan differensial orde dua digunakan metode RK orde empat dengan terlebih dahulu membuat permisalan. Ditinjau persamaan differensial orde dua seperti pada persamaan 2.21.

)

,

,

(

2

dy

y

x

f

y

d

=

(2.21)

Dengan y(x0) = y0, dan y’(x0)= y0’ . Persamaan 2.19. dibuat permisalan sehingga diperoleh persamaan-persamaan 2.22. ) , , ( ) , ,

(x y y f x y z f y z dx dz z y dx dy = ′ = ′′ = ′ = = ′ = (2.22)

Persamaan-persamaan 2.16. merupakan persamaan-persamaan simultan yang dapat juga dituliskan sebagai f1(x,y,z)=z dan f2(x,y,z)=f(x,y,z). Berdasarkan persamaan-persamaan 2.16 tersebut, persamaan differensial orde tersebut diselesaikan dengan mengikuti aturan metode RK orde empat pada persamaan 2.14 (Kandasamy et al,1997).

Contoh Runge kutta:

0

'

"

+

_xy

+

_y

=

y

dengan

_y

( )

0

=

1

;

_y

'

( )

0

=

1

;

_y

( )

0

,

1

=

_y

1

'

'

"

_xy

_y

_z

y

=

−

−

=

z

y

'

=

(

x y z

)

f z dx dy , , 1 = =

(

x

y

z

)

f

y

xz

dx

y

d

,

,

2 2 2

=

−

−

=

Dengan memberikan nilai awal y₀ =1,z₀ =y'0 =0 maka:

(

₀

,

₀

,

₀

)

0

,

1

₁

(

0

,

1

,

0

)

0

,

1

( )

0

0

1

1

=

hf

x

y

z

=

f

=

=

k

(

₀

,

₀

,

₀

)

0

,

1

₂

(

0

,

1

,

0

)

0

,

1

(

( )( ) ( )

0

0

1

)

0

,

1

( )

1

0

,

1

2

1

=

hf

x

y

z

=

f

=

−

−

=

−

=

−

l

      _{+ + +}

= 1 0 0 1 0 1

2 2 1 , 2 1 , 2 1 l z k y h x hf k

( )

( )

( )

(

)

      _{+ + + −}

= 0,1

2 1 0 , 0 2 1 1 , 1 , 0 2 1 0 1 , 0 f1

=0,1f1

(

0,05,1,0,005

)

005

, 0

2 =−

k













₊

₊

₊

=

2 0 0 1 0 1

2

2

1

,

2

1

,

2

1

l

z

k

y

h

x

hf

l

(

0.05,1, 0.005

)

1

,

0 2 −

= f

09975 , 0

2 = −

l       _{+ + +}

= 1 0 0 2 0 2

3 2 1 , 2 1 , 2 1 l z k y h x hf k

(

0.05,0.9975, 0.0499

)

1

,

0 1 −

= f = -0.00499













₊

₊

₊

=

2 0 0 2 0 2

3

2

1

,

2

1

,

2

1

l

z

k

y

h

x

hf

l

(

0.05,0.9975, 0.0499

)

1

,

0 2 −

= f

= -0.09950

(

0 0 3 0 3

)

1

4

hf

x

h

,

y

k

,

z

l

k

=

+

+

+

= -0.00995

(

0 0 3 0 3

)

2

4

hf

x

h

,

y

k

,

z

l

l

=

+

+

+

(

0.1,0.99511, 0.0995

)

1

,

0 2 −

= f

= -0.0985

(

0

.

1

,

0

.

99511

,

0

.

0995

)

1

,

0

1

−

y

y

y

=

+

∆

∴

1 0

=

[

0 2

(

0.005

) (

2 0.00499

)

0.00995

]

2

1

1+ + − + − −

= 0.9950

2.5 Mathematica 6

Mathematica adalah pemograman komputer yang dapat di kerjakan dengan matematika. Mathematica sering digunakan untuk instruksi, pekerjaan rumah, riset, dan penulisan. Mathematica cocok digunakan untuk numerik dan kemampuan dalam proses pemrograman sangat baik. Mathematica dapat juga dipakai sebagai pemodelan, perhitungan intensif, proyek disertasi, dan lain sebagainya.

Elemen dasar :

A. Membuka paket Mathematica 6

a. Cari ikon Mathematica 6, kemudian klik dengan cepat dua kali, jendela kerja Mathematica 6 muncul.

b.

Perintah (Command) dari Mathematica 6 di tuliskan dengan memakai

symbol

Matematika.

c.

Setelah selesai menggunakan Mathematica 6, ketik quit dan [enter], atau

klik file/EXIT

Tabel 2.1 Operator Mathematica

C.

Variabel

Variabel pada Mathematica 6 harus diberi nama.Nama variabel harus dimulai dengan huruf, dan bisa diikuti dengan huruf lain atau angka maksimum 31 karakter. Nama varibel dengan huruf besar (kapital) dianggap berbeda dengan nama variabel yang ditulis dengan huruf kecil.

D.

konstanta/tetapan

Beberapa tetapan yang berlaku pada Mathematica adalah sebagai berikut:

pi nilai p = 3,14452…

eps nilai epsilon, bilangan natural e = 2.71828

inf nilai tak berhingga ~

E.

Tanda baca

% Digunakan untuk mengawali komentar (command)

Operator Simbol Contoh

Penambahan + 2+3

Pengurangan - 5-4

Perkalian * 3*2

Pembagian / 6/3

, digunakan untuk memisahkan dua pernyataaan dalam sebaris

; digunakan untuk memisahkan dua pernyataan tanpa echo

… digunakan untuk melanjutkan statemen ke baris berikutnya.

F. Kontrol Program

Mathematica 6 menyediakan beberapa instruksi yang memugkinkan pengguna membuat program atau fungsi, antara lain instruksi pemilihan (seleksi) dan instruksi perulangan (loop)

Instruksi seleksi:

a. Pemilihan bersyarat:

if (syarat-1)

instruksi-1

else if

instruksi-2

else

instruksi-3

end.

Pemilihan diatas digunakan untuk memilih satu diantara beberapa instruksi sesuai

dengan syarat yang dipenuhi. Bila syarat 1 dipenuhi maka laksanakan instruksi 1 , bila

syarat 2 dipenuhi, maka laksanakan instruksi 2 bila tidak ada syarat yang dipenuhi

maka laksanakan instruksi-3.

b. Pemilihan kasus

switch variabel

case 1 {nilai-1} instruksi-1

case 2 {nilai-2} instruksi-2

case 3 {nilai-3} instruksi-3

…

Otherwise instruksi n

End.

Instruksi seleksi ini akan memilih satu instruksi berdasarkan nilai yang diberikan pada

variabel. Bila nilainya adalah nilai -1 maka instruksi 1 dilaksanakan. Bila nilainya

adalah 2 maka instruksi 2 yang dilaksanakan. Bila nilainya adalah 2 maka instruksi 2

yang dilaksanakan.

Instruksi perulangan

a. Perulangan dengan

for

for var = n1:n2:n3

instruksi- instruksi

end

contoh:

For[i=0,i<4,i++,Print[i]]

0

1

2

3

………

For[i=1;t=x,i^2<10,i++,t=t^2+i;Print[t]]

1+x

2

2+(1+x^2)

2

3+(2+(1+x^2)^2)

2

Perulangan yang dibatasi oleh nilai var, mulai dari n1 hingga n3 dengan

perubahan nilai sebesar n2 pada setiap putaran. Apakah n2=1 maka n2 tidak perlu

ditulis, sehingga bentuknya menjadi:

for var = n1: n3

instruksi- instruksi

end

b. Perulangan denganWhile

while (syarat)

insruksi- instruksi

end

Perulangan yang ditentukan oleh suatu syarat. Selama syarat terpenuhi maka

perulangan akan berlangsung. (Wolfram,1991).

BAB 3

ANALISIS MASALAH DAN PERANCANGAN PROGRAM

3.1. Analisis Masalah

3.1.1. Persamaan Gerak Pendulum Foucault

Pada subbab ini akan dijelaskan persamaan pendulum Foucault yang akan diselesaikan yaitu persamaan 3.1 dan 3.2.

0 sin

2Ω + =

− x

L g y x& &

& λ _(3.1)

0 sin

2Ω + =

+ y

L g x y& &

& λ _(3.2)

Dimana:

x,y = koordinat titik pendulum bob dilihat dari permukaan bumi ? = kecepatan sudut bumi (rad/s)

end

b. Perulangan denganWhile

while (syarat)

insruksi- instruksi

end

Perulangan yang ditentukan oleh suatu syarat. Selama syarat terpenuhi maka

perulangan akan berlangsung. (Wolfram,1991).

BAB 3

ANALISIS MASALAH DAN PERANCANGAN PROGRAM

3.1. Analisis Masalah

3.1.1. Persamaan Gerak Pendulum Foucault

Pada subbab ini akan dijelaskan persamaan pendulum Foucault yang akan diselesaikan yaitu persamaan 3.1 dan 3.2.

0 sin

2Ω + =

− x

L g y x& &

& λ _(3.1)

0 sin

2Ω + =

+ y

L g x y& &

& λ _(3.2)

Dimana:

x,y = koordinat titik pendulum bob dilihat dari permukaan bumi ? = kecepatan sudut bumi (rad/s)

g = kecepatan gravitasi (

2 /s

m

)

L = panjang pendulum ( m ) ? = lintang geografis (rad)

Pendulum Foucault ini pada dasarnya adalah pendulum sederhana yang dapat

dimodelkan sebagai titik massa yang berayun pada tali yang panjangnya L. Pendulum

berada di lintang geografis ?. Pola gerak pendulum Foucault melibatkan dua osilasi,

pada skala yang berbeda besarnya. Pada skala kecil ada ayunan pendulum, yang akan

saya sebut sebagai 'getaran'. Pada skala besar ada rotasi keseluruhan bumi sekitar

porosnya. getaran berpartisipasi dalam rotasi keseluruhan dan terpengaruh olehnya.

Karena perbedaan yang besar dalam periode osilasi efeknya sangat kecil selama setiap

ayunan terpisah. Tampaknya harus diabaikan, tetapi itu sebenarnya penting karena

pengaruhnya kumulatif.

Dalam penyelesaikan persamaan 3.1 dan 3.2 dengan menggunakan metode

runge kutta orde 4 maka harus ditentukan kondisi awal dari pendulum Foucault.

Adapun kondisi awal untuk penelitian ini ditentukan sebagai berikut:

1.

Percepatan grafitasi bumi,

g

yang digunakan sebesar 9.8 m/s

2

.

2.

Panjang Tali,

L

sebesar 10 m.

3.

Nilai x

o = 2 m

4.

Nilai y

o = 2 m

5.

Frekuensi rotasi bumi,

?

ditentukan sebesar 1/24.

6.

Sudut lintang, ? dapat divariasikan.

3.1.2. Penyelesaian Persamaan Gerak Pendulum Foucault dengan Metode Runge-Kutta Orde Empat

Persamaan 3.1 dan 3.2 merupakan persamaan differensial biasa orde dua, untuk itu dalam menyelesaikanya dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde empat, maka persamaan dimisalkan menjadi persamaan orde satu, yaitu set persamaan 3.3.

u dt dx = v dt dy = (3.3)

(

t

x

v

)

g

v

x

l

g

dt

du

,

,

sin

2

Ω

=

+













−

=

λ

(

t

y

u

)

g

u

y

l

g

dt

dv

,

,

sin

2

Ω

=

+













−

=

λ

Dengan

f

₁

(

t

,

x

,

u

)

=

u

;

f

₂

(

t

,

y

,

v

=

v

)

;

g

₁

(

t

,

x

,

v

) (

=

g

t

,

x

,

v

)

;

g

₂

(

t

,

y

,

u

) (

=

g

t

,

y

,

u

)

_.

Dengan memberikan syarat awal xo, yo,uo dan vo pada persamaan 3.3 di atas

Maka akan diperoleh kecepatan translasi dan simpangan pada setiap saat. Dan untuk menyelesaikan set persamaan 3.3 digunakan langkah-langkah sebagai berikut:

k, l, p dan q = koefisien-koefisien penyelesaian dari persamaan pendulum Foucault dengan menggunakan runge-kutta orde 4.

(

n n n

)

n

f

t

x

u

k

₁

=

₁

,

,

(

n n n

)

n

g

t

x

v

l

₁

=

₁

,

,













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

f

t

h

x

k

u

l

k

_{2 1 1 1}

2

1

,

2

1

,

2

1













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

g

t

h

x

k

v

l

l

_{2 1 1 1}

2

1

,

2

1

,

2

1













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

f

t

h

x

k

u

l

k

_{3 1 2 2}

2

1

,

2

1

,

2

1

(3.4)













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

g

t

h

x

k

v

l

l

_{3 1 2 2}

2

1

,

2

1

,

2

1













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

g

t

h

x

k

v

l

l

_{4 1 3}

,

₂

2

1

,

Dan

(

n n n

)

n

f

t

y

v

p

₁

=

₂

,

,

(

n n n

)

n

g

t

y

u

q

₁

=

₂

,

,













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

f

t

h

y

p

v

q

p

_{2 2 1 1}

2

1

,

2

1

,

2

1













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

g

t

h

y

p

u

q

q

_{2 2 1 1}

2

1

,

2

1

,

2

1













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

f

t

h

y

p

v

q

p

_{3 2 2 2}

2

1

,

2

1

,

2

1

(3.5)













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

g

t

h

y

p

u

q

q

_{3 2 2 2}

2

1

,

2

1

,

2

1













₊

₊

₊

=

n n n n n

n

g

t

h

x

p

v

q

q

_{4 2 3}

,

₂

2

1

,

Setelah mendapatkan harga-harga k, l, p, dan q pada persamaan 3.4. dan 3.5 maka selanjutnya dihitung nilai-nilai x, u, y, dan v.

(

n n n n

)

n

n x h k k k k

x 1 1 2 2 2 3 4

2 1 + + + + = +       _{+ + +}

= n n n n n

n f t h x k u l

k4 1 3 , 3

2 1 ,       _{+ + +}

= n n n n n

n f t h x p v q

p4 2 3 , 3

2 1 ,

(

n n n n

)

n

n u h q q q q

u 1 1 2 2 2 3 4

2 1

+ + +

+ =

+

(3.6)

(

n n n n

)

n

n y h p p p p

y 1 1 2 2 2 3 4

2

1 _{+ + +}

+ =

+

(

n n n n

)

n

n v hl l l l

v 1 1 2 2 2 3 4

2 1

+ + + +

=

+

3.2. Perancangan Program

Simulasi gerak pendulum foucault ini dirancang dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica Versi 6 pada seperangkat Notebook yang berprosesor Intel Pentium dual Core.

Adapun Proses perancangan program penelitian ini dirancang melalui tahapan-tahapan sebagai berikut:

a.

Perancangan diagram alir (flowchart) dan algoritma simulasi penyelesaian persamaan gerak pendulum sederhana nonlinier teredam dan terkendali dengan metode Runge-Kutta orde 4.

b.

Pembuatan program lengkap berdasarkan rancangan diagram alir dan algoritma dengan menggunakan bahasa pemrograman Mathematica Versi 6.

Dalam merancang suatu program yang terstruktur dan terkendali dengan baik, terlebih dahulu perlu dilakukan perancangan diagram alir (flowchart) serta algoritma program sehingga dapat memperjelas langkah-langkah dalam membuat program secara utuh. Rancangan diagram alir program bantu dapat dilihat pada gambar 3.1.

Gambar 3.1. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault Unutk visualisasi 3D.

Gambar 3.2. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault Unutk grafik posisi x vs posisi y.

Gambar 3.3. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault Unutk grafik posisi x vs posisi y.

Gambar 3.4. Diagram Alir Simulasi persamaan gerak pendulum Foucault Unutk grafik posisi x vs posisi y.

Adapun algoritma program bantu yang digunakan dalam penyelesaian persamaan gerak pendulum dengan metode Runge-Kutta orde 4 adalah sebagai berikut:

INPUT

a.

G

=gravitasi bumi

b.

l

= panjang tali

c.

?

= rotasi bumi

d.

_?

= sudut lintang

e.

Xo,Yo = koordinat titik pendulum

PROSES

a. Mendefinikan fungsi untuk menentukan koefisien-koefisien runge kutta 4. b. Menentukan orde yang digunakan pada metode runge kutta 4.

c. Mendefinikan fungsi untuk menentukan posisi dan visualisasi 3D dimana pendulum Foucault.

d. Membaca data masukan berupa percobaan gravitasi bumi, panjang tali, frekuensi rotasi buni, sudut lintang, dan kondisi awal pendulum.

e. Menyelesaikan persamaan pendulum Foucault dengan menggunakan metode runge kutta 4 yang di definisikan pada point a.

f. Menentukan posisi pendulum foucault pada tampilan 3D sesuai fungsi pada point c

OUTPUT

a. Hasil eksekusi ditampilkan dengan menekan tombol shift + enter. b. Menampilkan visualisasi 3D pendulum Foucault.

c. Memplot posisi x vs posisi y. d. Memplot posisi x vs posisi t. e. Memplot posisi y vs posisi t.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada Bab ini akan diberikan hasil visualisasi dan penyelesaian persamaan gerak pendulum Foucault . Adapun hasil eksekusi program untuk menampilkan bentuk visualisasi pada lampiran A ditunjukkan pada gambar 4.1

Gambar 4.1. Hasil Eksekusi Program pada Lampiran A

Hasil program pada lampiran A berupa tampilan visualisasi 3D pada percobaan pendulum Foucault dengan eksperimental di Kutub Utara.

Gambar 4.2. Hasil Eksekusi Program pada Lampiran B

Hasil eksekusi program simulasi pada Lampiran B adalah berupa visualisasi 3D keluaran dari penyelesaian persamaan gerak pendulum Foucault berupa pola gerakan lintasan ayunan pendulum dengan metode Runge-Kutta orde 4 yang terintegrasi pada suatu tampilan GUI seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.2. Visualisasi 3D ditampilkan untuk menampilkan bentuk tiga dimensi pada gerakan ayunan pendulum Foucault dengan koordinat x, y, dan z sebagai komponen-komponen pada arah-arah sumbu x dan sumbu y.

Grafik-grafik keluaran tersebut meliputi grafik pos isi x terhadap posisi y, gragik posisi x terhadap waktu t dan grafik posisi y terhadap waktu t. Ketiga grafik keluaran ini digunakan untuk menganalisis pendulum Foucault dan hubungannya dengan rotasi bumi pada tiga titik utama pada bumi, yaitu pada kutub (baik itu kutub utara maupun kutub selatan), pada khatulistiwa, dan pada titik antara kutub dan khatulistiwa. Untuk memudahkan analisis, maka

pendulum Foucault pada kutub disebut sebagai pendulum kutub, pendulum Foucault pada khatulistiwa disebut sebagai pendulum khatulistiwa, dan pendulum Foucault pada daerah di antara khatulistiwa dan kutub disebut sebagai pendulum Lintang. Pada Tabel 4.1. diberikan 3 kota besar di Indonesia sebagai titik uji variasi lintang.

Tabel.4.1. Kota-Kota Sebagai Titik Uji Varias i Lintang

Sudut Lintang Kota

Derajat Radian

Medan 3° U 0.0524

Pontianak 0o 0

Jakarta 6o S 0.1047

Kutub utara 90? ?U 1.5707

Pada dasarnya persamaan pendulum Foucault, yaitu persamaan 2.14 dan 2.15 menggambarkan bentuk lintasan yang sama untuk semua sudut lintang, tetapi karena adanya presesi bumi, maka bentuk lintasan pendulum akan berbeda-beda pada masing-masing sudut lintang. Hal ini akan dijelaskan lebih lanjut pada subbab 4.1, 4.2, 4.3.

4.1. Pendulum Kutub

Berikut ini akan diberikan grafik-grafik hasil simulasi gerak pendulum pada titik kutub utara, yaitu gambar 4.3.

Gambar.4.3. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault di Kutub Utara berupa pola lintasan gerakan ayunan pendulum pada posisi x terhadap Posisi y.

Dari gambar 4.3. dapat dilihat bahwa pendulum berpresesi penuh satu putaran dengan waktu 24 jam. Terbentuknya pola lintasan yang berpresisi tersebut disebabkan karena adanya defleksi dalam satu ayunan dalam satuan menit, dan ayunan yang berurutan akan menumpuk dan membuat perubahan substansial ayunan dari waktu ke waktu. Adapun sudut putaran pendulum hal ini juga dapat ditunjukkan pada persamaan 4.1.

N= 360 sin ? (4.1) Dengan N merupakan sudut putaran pendulum Foucault. Untuk Kutub Utara,

N= 360o sin 90o = 360o (1) N= 360o

Atau dengan kata lain, pendulum mengalami satu putaran penuh.

Gambar. 4.4. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pe ndulum Foucault untuk Kutub utara, berupa ayunan posisi x terhadap t (waktu)

Untuk grafik posisi x vs waktu(t) yang ditunjukkan gambar 4.4. terlihat bahwa osilasi dari pendulum Foucault yang merupakan osilasi skala kecil mengalami modulasi dengan rotasi bumi atau dengan kata lain osilasi pendulum berpartisipasi dalam rotasi keseluruhan dan terpengaruh olehnya. Dengan periode osilasinya ditunjukkan pada persamaan 4.2.

λ π sin 2 Ω = os

T (4.2)

Dengan Kutub Utara yang terletak pada sudut lintang 90o maka didapatkan periode osilasinya sebesar:

0 90 sin 24

/ 2

2

jam T_os

π

π =

Dengan ? = 2p/24 jam

jam

T

_os

=

24

Adapun penjelasan tentang gerakan pendulum Foucault pada titik kutub utara ini dapat dituliskan sebagai berikut. Di kutub utara jelas terlihat saat berotasi akan membentuk lingkaran penuh 360 derajat selama 24 jam atau 15 derajat per jam. Bumi tidak hanya berotasi di bawah pendulum tetapi membawa pendulum dan titik uji lokasi membentuk lingkaran di pusat bumi. Rotasi bumi kemudian dapat di amati dalam kaitannya dalam ayunan pendulum. Di kutub utara ayunan pendulum terletak pada sumbu rotasi bumi. Maka pergerakan ayunan pendulum dengan rotasi bumi mengalami oposisi.

4.2. Pendulum Lintang

Gambar. 4.5. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault

di kota Medan berupa pola lintasan gerakan ayunan pendulum pada posisi x terhadap Posisi y.

Gambar. 4.6. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault di kota Jakarta berupa pola lintasan gerakan ayunan pendulum pada posisi x terhadap Posisi y.

Di lintang menengah rotasi bumi diamati dalam kaitannya dalam bidang ayunan pendulum tetapi waktu untuk mengamati rotasi bumi tergantung pada lintang lokasi. Waktu untuk mengamati putaran penuh sama dengan satu hari di Kutub Utara. Untuk waktu 24 jam, lintasan yang terbentuk tidak mencapai satu putaran penuh. Besar sudut putaran untuk kota Medan, yaitu:

N= 360o sin 3o = 360o (0.052) N= 18,84o

Hal ini dapat dilihat pada grafik posisi x terhadap posisi y yang terlihat pada gambar 4.5. Tampak pula bahwa sudut yang terbentuk 90o-? dibelahan bumi sebelah utara artinya negatif ( presesi searah jarum jam ) dengan mengambil posisi kota Medan 3° LU.

Sedangkan untuk kota Jakarta, besar sudut putarannya, yaitu: N= 360o sin 6o

= 360o (0.1) N= 36o

Pada sudut lintang ini masih terdapat pengaruh rotasi bumi pada osilasi pendulum, hal ini ditunjukkan pada gambar 4.6. Tampak pula bahwa sudut yang terbentuk 90o+? dibelahan bumi sebelah selatan artinya positif ( presesi berlawanan arah jarum jam ) dengan mengambil posisi kota Jakarta 6o LS.

Gambar. 4.7. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault untuk kota Medan, berupa ayunan posisi y terhadap t (waktu)

Dengan mengambil posisi kota Medan yang terletak pada sudut 3o LU yang ditunjukkan pada grafik 4.7 maka didapatkan periode osilasinya sebesar:

0 3 sin 24

/ 2

2

jam T_os

π

π =

Dengan ? = 2p/24 jam

jam

T

_os

=

461

,

5

Jika pendulum Foucault diayunkan di Medan maka akan mendapatkan presesi searah jarum jam dengan periode sekitar 461,5 jam. Terlihat lintasan gelombang lebih panjang untuk menempuh satu gelombang di bandingkan di Kutub ditunjukkan pada grafik 4.7.

Gambar. 4.8. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault untuk kota Jakarta, berupa ayunan posisi y terhadap t (waktu)

Dengan mengambil posisi kota Jakarta yang terletak pada sudut 6o LS yang ditunjukkan pada grafik 4.8 maka didapatkan periode osilasinya sebesar:

0

6

sin

24

/

2

2

jam

T

os

π

π

=

Dengan ? = 2p/24 jam

jam

T

os

=

230

,

7

Jika pendulum Foucault diayunkan di Medan maka akan mendapatkan presesi searah jarum jam dengan periode sekitar 230,7 jam.

4.3. Pendulum Khatulistiwa

Gambar 4.9. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault di kota Pontianak berupa pola lintasan gerakan ayunan pendulum pada posisi x terhadap Posisi y.

di khatulistiwa rotasi bumi tidak bisa diamati dalam kaitannya dengan ayunan pendulum karena bidang ayunan pendulum bergerak bersama dengan rotasi bumi dan tidak ada perubahan dalam hubungan yang terjadi. Hal ini terlihat pada gambar 4.5.Hal ini juga terlihat pada grafik posisi x terhadap posisi y dimana gerak osilasi pendulum adalah gerak osilasi sederhana, karena tidak mendapat pengaruh rotasi bumi. Besar sudut putaran untuk khatulistiwa, yaitu:

N= 360o sin 0o = 360o (0) N= 0o

Gambar. 4.10. Grafik hasil simulasi persamaan gerak pendulum Foucault untuk Kota Pontianak, berupa ayunan posisi x terhadap t (waktu)

Hasil simulasi yang ditunjukkan pada gambar 4.6 merupakan gerak osilasi sederhana yang berulang secara teratur, dimana gerak osilasi pendulum adalah tidak mendapat pengaruh rotasi bumi. Di khatulistiwa ?=0, sehingga periodenya 8 yang berarti tidak terjadi rotasi. Tetapi di tempat yang makin kea rah kutub, rotasi itu makin nyata dan di Kutub dengan sudut 90o yang berarti periode rotasi itu semakin maksimum dan sebesar 24 jam.

Berdasarkan grafik-grafik pada subbab 4.1, 4.2, dan 4.3 terlihat bahwa letak lintang yang semakin ke kutub, maka Formulasi produk silang (Persamaan 2.8) juga memberitahukan kita bahwa gaya Coriolis mengambil nilai terbesar ketika ada gerakan yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi, dan gaya ini akan hilang untuk semua gerakan paralel terhadap sumbu rotasi. Hanya gerakan, atau komponen gerakan, tegak lurus dengan O adalah dibelokkan. Gerakan vertikal di kutub tidak dibelokkan, tetapi pada khatulistiwa sepenuhnya dibelokkan. Di sisi lain gerakan horisontal di kutub sepenuhnya dibelokkan, tapi di khatulistiwa hanya jika gerakan itu berada di arah timur-barat yang dibelokkan vertikal.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

1. Semakin ke arah kutub maka pengaruh efek Coriolis semakin besar, ini terlihat dari pola lintasan pendulum kutub yang membetuk lingkaran penuh dan terlihat pepat.

2. Sudut putaran yang terbentuk oleh ayunan pendulum Foucault bervariasi di setiap lokasi di bumi, tergantung dari posisi sudut lintang. Di daerah kutub dimana sudut lintang 90o terbentuk pola lingkaran penuh, sedangkan di khatulistiwa dengan sudut lintang 0o tidak terbentuk pola.

3. Grafik yang ditunjukkan pada gambar 4.8 dan 4.10 mempresesi bumi secara relatif tetapi lebih lambat dari pendulum kutub yang diperlihatkan pada gambar 4.4.

4. Pendulum yang terikat pada sebuah tali dan dapat berayun secara bebas dan periodik yang menjadi dasar kerja dari sebuah jam dinding kuno yang mempunyai ayunan. Dalam bidang fisika, prinsip ini pertama kali ditemukan pada tahun 1602 oleh Galileo Galilei, bahwa perioda (lama gerak osilasi satu ayunan, T) dipengaruhi oleh panjang tali dan percepatan gravitasi mengikuti rumus

g l

T =2π .

5.2 Saran

1.

Dilakukan modifikasi simulasi agar dapat melihat pengaruh Chaos pada

pendulum Foucault.

2. Pada penelitian selanjutnya dapat menggunakan metode lain dalam menyelesaikan persamaan gerak pendulum dan melihat perbandingannya dengan metode Runge-Kutta Orde 4 .

3. Pada penelitian selanjutnya dapat menggunakan metode adam untuk menyelesaikan persamaan gerak pendulum dan membandingkan secara analitik dan numerik.

DAFTAR PUSTAKA

Kandasamy,P, Thilagavathy,K., Gunavathy,K. 1997. Numerical Methods. New Delhi, S.Chand Company Ltd.

Marcelo, da Silva, 2004, intermediate Dynamics Complemented with Simulations and Animations, the McGraw Hill Companies, USA.

Pikatan, Sugata,

Akibat Rotasi Bumi,

jurnal Kristal no.9/Desember/2009, diunduh 12-

10-2010.

Peter, Soedojo, , 2000, Azas-Azas Mekanika Analisa, Yogyakarta: Gajah Mada University Press.

Prawirowardoyo, Susilo,1996,

Meteorology

, Bandung: Intitut Teknologi Bandung

Raymond P. Canale, Steven C. Chapra.1991. Metode Numerik Untuk Teknik Dengan Penerapan Pada Komputer Pribadi. Jakarta: Universitas Indonesia Press.

Spigel, R. Murray,1994,

Analisis Vektor,

Jakarta : Erlangga.

Tiller, W, Bill, 1996,

physical science,

5

th

edition, Arizona State University, New

york.

Thomson, T. William, 1992,

Teori Getaran Dengan Penerapan,

Jakarta: Erlangga.

Wolfram, S.1991.Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer.

Second Edition. California: Addison Wesley Publishing Company, Inc.

LAMPIRAN A: LISTING PROGRAM ANIMASI PENDULUM FOUCAULT

(*pengenalan tampilan variabel)

Option Explicit

Private mDx7 As DirectX7

Private mDrw As DirectDraw7

Private mDrm As Direct3DRM3

Private mFrS As Direct3DRMFrame3

Private mFrC As Direct3DRMFrame3

Private mFrO As Direct3DRMFrame3

Private mFrL As Direct3DRMFrame3

Private mDev As Direct3DRMDevice3

Private mVpt As Direct3DRMViewport2

Private mDownX As Single

Private mDownY As Single

Private mStopFlag As Boolean

Private mMouseDown As Boolean

Dim ubah As Integer

Private Type dxPTM

dX As Single

dY As Single

Distance As Single

End Type

(menampilkan bola dengan bentuk 3D)

Private Sub LoadMesh()

Dim DxMeshB As Direct3DRMMeshBuilder3

mDrm.SetSearchPath App.Path

Set DxMeshB = mDrm.CreateMeshBuilder()

With DxMeshB

.LoadFromFile "sphere.x", 0, D3DRMLOAD_FROMFILE, Nothing, Nothing

.SetTexture mDrm.LoadTexture("peta-dunia1.bmp")

End With

mFrO.AddVisual DxMeshB

'Command4.Left = ubah

Me.Show: DoEvents

End Sub

Private Sub RefreshLoop()

Do While mStopFlag = False

mFrS.Move 1

With mVpt

.Clear D3DRMCLEAR_ALL

.Render mFrS

End With

mDev.Update

DoEvents

Loop

End Sub

(*inisialisasi layar backround)

Private Sub Initialise()

Set mDx7 = New DirectX7

Set mDrm = mDx7.Direct3DRMCreate

Set mDrw = mDx7.DirectDrawCreate("")

End Sub

Private Sub CreateSceneGraph()

Dim DxL1 As Direct3DRMLight

Dim DxL2 As Direct3DRMLight

With mDrm

Set mFrS = .CreateFrame(Nothing)

Set mFrC = .CreateFrame(mFrS)

Set mFrO = .CreateFrame(mFrS)

Set mFrL = .CreateFrame(mFrS)

Set DxL1 = .CreateLightRGB(D3DRMLIGHT_DIRECTIONAL, 0.8, 0.8, 0.8)

Set DxL2 = .CreateLightRGB(D3DRMLIGHT_AMBIENT, 0.5, 0.5, 0.5)

End With

mFrL.AddLight DxL1

mFrL.AddLight DxL2

mFrC.SetPosition Nothing, 0, 0, -2

End Sub

Private Sub CreateDisplay()

Dim DxClipper As DirectDrawClipper

Set mVpt = Nothing

Set mDev = Nothing

Set DxClipper = mDrw.CreateClipper(0)

ScaleMode = vbPixels

DxClipper.SetHWnd hWnd

Set mDev = mDrm.CreateDeviceFromClipper(DxClipper, "", ScaleWidth,

ScaleHeight)

Set mVpt = mDrm.CreateViewport(mDev, mFrC, 0, 0, ScaleWidth, ScaleHeight)

End Sub

Private Sub Form_Load()

ubah = 4080

Initialise

CreateSceneGraph

CreateDisplay

LoadMesh

RefreshLoop

Cleanup

End

End Sub

Private Sub Form_QueryUnload(Cancel As Integer, UnloadMode As Integer)

mStopFlag = True

End Sub

Private Sub Form_Resize()

CreateDisplay

End Sub

Private Sub mnuExit_Click()

mStopFlag = True

Public Sub Cleanup()

Set mVpt = Nothing

Set mDev = Nothing

Set mFrL = Nothing

Set mFrO = Nothing

Set mFrC = Nothing

Set mFrS = Nothing

Set mDrm = Nothing

Set mDx7 = Nothing

End Sub

Private Sub SetQuality(Quality As CONST_D3DRMRENDERQUALITY)

mDev.SetQuality Quality

mnuFlat.Checked = False

mnuWireframe.Checked = False

mnuFlat.Checked = True

End Sub

Private Sub Text1_Change()

Dim putar As Double

putar = Val(Text1.Text) / 5000

If Text1.Text <> "" Then

mFrO.SetRotation Nothing, 0, 1, 0, putar

End If

End Sub

Dim i As Integer

Private Sub Form_Load()

Timer1.Enabled = True

i = 1

End Sub

(*pengatur kecepatan perputaran bumi)

Private Sub Text1_Change()

Dim inter As Integer

If Text1.Text <> "" Then

inter = 5000 / Val(Text1.Text)

Timer1.Interval = inter

End If

End Sub

Private Sub Timer1_Timer()

Picture1.Picture = LoadPicture("C:/gambar/pendulum" & i & ".bmp")

i = i + 1

Set mFrO = .CreateFrame(mFrS) Set mFrL = .CreateFrame(mFrS)

Set DxL1 = .CreateLightRGB(D3DRMLIGHT_DIRECTIONAL, 0.8, 0.8, 0.8) Set DxL2 = .CreateLightRGB(D3DRMLIGHT_AMBIENT, 0.5, 0.5, 0.5) End With

mFrL.AddLight DxL1 mFrL.AddLight DxL2

mFrC.SetPosition Nothing, 0, 0, -2 End Sub

Private Sub CreateDisplay()

Dim DxClipper As DirectDrawClipper Set mVpt = Nothing

Set mDev = Nothing

Set DxClipper = mDrw.CreateClipper(0) ScaleMode = vbPixels

DxClipper.SetHWnd hWnd

Set mDev = mDrm.CreateDeviceFromClipper(DxClipper, "", ScaleWidth, ScaleHeight)

Set mVpt = mDrm.CreateViewport(mDev, mFrC, 0, 0, ScaleWidth, ScaleHeight)

Private Sub Form_Load() ubah = 4080

Initialise

CreateSceneGraph CreateDisplay LoadMesh RefreshLoop Cleanup End End Sub

Private Sub Form_QueryUnload(Cancel As Integer, UnloadMode As Integer) mStopFlag = True

End Sub

Private Sub Form_Resize() CreateDisplay

End Sub

Private Sub mnuExit_Click() mStopFlag = True

Public Sub Cleanup() Set mVpt = Nothing Set mDev = Nothing Set mFrL = Nothing Set mFrO = Nothing Set mFrC = Nothing Set mFrS = Nothing Set mDrm = Nothing Set mDx7 = Nothing End Sub

Private Sub SetQuality(Quality As CONST_D3DRMRENDERQUALITY) mDev.SetQuality Quality

mnuFlat.Checked = False

mnuWireframe.Checked = False mnuFlat.Checked = True

End Sub

Private Sub Text1_Change() Dim putar As Double

putar = Val(Text1.Text) / 5000 If Text1.Text <> "" Then

mFrO.SetRotation Nothing, 0, 1, 0, putar End If

End Sub

Dim i As Integer

Private Sub Form_Load() Timer1.Enabled = True i = 1

End Sub

(*pengatur kecepatan perputaran bumi) Private Sub Text1_Change()

Dim inter As Integer If Text1.Text <> "" Then

inter = 5000 / Val(Text1.Text) Timer1.Interval = inter

End If End Sub

Private Sub Timer1_Timer()

Picture1.Picture = LoadPicture("C:/gambar/pendulum" & i & ".bmp") i = i + 1

If i > 5 Then i = 1 End If End Sub

LAMPIRAN B: LISTING PROGRAM SIMULASI PENDULUM FOUCAULT

(* Menentukan langkah- langkah yang digunakan pada metode Runge-Kutta*) RungeKutta4[___]["Step"[f_,t_,h_,y_,yp_]]:=

Block[{deltay,k1,k2,k3,k4}, k1=yp;

k2=f[t+1/2 h,y+1/2 h k1]; k3=f[t+1/2 h,y+1/2 h k2]; k4=f[t+h,y+h k3];

deltay=h (1/6 k1+1/3 k2+1/3 k3+1/6 k4); {h,deltay}

];

(* Menentukan Orde yang digunakan pada metode Runge-Kutta*) RungeKutta4[___]["DifferenceOrder"]:=4;

(*fungsi untuk visualisasi pendulum*)

pendelPos[{x_,y_}]:={x,y,-Sqrt[10- x^2-y^2]};

pendel[tau_?NumericQ,sol_]:=({AbsoluteThickness[3],Line[{{0,0,0},pendelPos[{x[t] ,y[t]}]}],Sphere[pendelPos[{x[t],y[t]}],0.15]}/.sol[[1]])/.t? tau;

(*Penyelesaian persamaan gerak pendulum Foucault dengan metode Runge-Kutta*) Manipulate[

fde={x''[t]? - g/l*x[t]+2 ? *Sin[? ]*y'[t],y''[t]? -g/l*y[t]-2 ? *Sin[? ]*x'[t]};

sol=NDSolve[Join[fde,{x[0]? x0,y[0]? y0,x'[0]? xd0,y'[0]? yd0}],{x[t],y[t]},{t,0,64 Pi},Method? RungeKutta4];

(*Menu pilihan*)

Which[Pilihan=="Visualisasi 3D",

Graphics3D[{ParametricPlot3D[pendelPos[{x[t],y[t]}/.sol[[1]]],{t,t1,t1+4

Pi},PlotStyle? {Thickness[.008],RGBColor[1,0,1]}][[1]],ParametricPlot3D[{x[t],y[t], -4}/.sol[[1]],{t,0,64 Pi},PlotPoints? 1024][[1]],pendel[t1,sol]},PlotRange? {{-5,5},{-5,5},{-4,0}},ImageSize? {375,375}],

Pilihan? "Grafik x vs

y",ParametricPlot[Evaluate[{First[x[t]/.sol],First[y[t]/.sol]}],{t,100,200},ImageSize? {550,375},PlotPoints? 1000,AxesLabel? {"x(m)","y(m)"}],

Pilihan? "Grafik x vs t",Plot[Evaluate[{First[x[t]/.sol]}],{t,0,64 Pi},ImageSize? {550,375},AxesLabel? {"t(s)","x(m)"}],

Pilihan? "Grafik y vs t",Plot[Evaluate[{First[y[t]/.sol]}],{t,0,64 Pi},ImageSize? {550,375},AxesLabel? {"t(s)","y(m)"}]], (*Tampilan eksekusi program*)

Style[" SIMULASI GERAK PENDULUM FOUCAULT",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"], Delimiter,

Style[" ",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"],

Style["PARAMETER PENDULUM",Bold,12,Darker[Green,.8],"Label"], Style[" ",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"],

{{g,9.8,"Percepatan Gravitasi"},9.8,10,0.01,ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"},

{{l,10,"Panjang Tali"},1,10,1 ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"}, Delimiter,

Style["PARAMETER BUMI",Bold,12,Darker[Green,.8],"Label"], Style[" ",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"],

{{? ,1/16,"Frekuensi Rotasi Bumi"},0,1/2,ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"},

{{? ,Pi/3,"Sudut Lintang"},0,Pi/2,ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"}, Delimiter,

Style["KONDISI AWAL",Bold,12,Darker[Green,.8],"Label"], Style[" ",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"],

{{x0,2,"x"},0.1,2,ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"}, {{xd0,0,"x'"},0,1,ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"}, {{y0,2,"y"},0.1,2,ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"}, {{yd0,0,"y'"},0,1,ImageSize? Tiny,Appearance ? "Labeled"},

{{t1,0,"Waktu"},0,60 Pi,ImageSize ? Tiny,Appearance ? "Labeled"}, Delimiter,

Style["MENU",Bold,12,Darker[Green,.8],"Label"], Style[" ",Bold,16,Darker[Green,.8],"Label"],

{Pilihan,{"Visualisasi 3D","Grafik x vs y","Grafik x vs t","Grafik y vs t"},ControlType? SetterBar},SynchronousUpdating? False]