Persamaan 2.8 sampai 2.10 di subsitusikan ke persamaan 2.5 yang mempengaruhi gaya dari pendulu m relatif terhadap perputaran bumi. Efek dari ? sangat kecil pada gerakan pendulum
dan sekarang dibahas secara rinci. dimana ? = 2p radhari ≈
7,27.10
-5
rads sangat kecil, perkiraan sekarang dibuat untuk mengurangi kompleksitas pada persamaan 2.8 sampai 2.10
tapi masih mempertahankan efek ? tentunya. Karena ayunan cukup kecil, gerakan pendulum boleh dikatakan berada pada bidang datar, maksudnya komponen gerakan ke atas dan ke
bawahnya boleh diabaikan yang berarti
z
dan
z
adalah 0. Maka persamaan pendulum Foucault adalah ditunjukkan pada persamaan 2.11 dan 2.12.
sin 2
= +
Ω −
x L
g y
x λ
2.11
sin 2
= +
Ω +
y L
g x
y λ
2.12 Persamaan 2.11 dan 2.12 diatas menghubungkan gerakan-gerakan sepanjang sumbu x dan
sepanjang sumbu y yang berarti menentukan bentuk lintasan pendulum.Marcelo da Silva,2004
2.4. Metode Runge-Kutta
Salah satu metode numerik yang digunakan dalam penyelesaian persamaan differesial adalah metode Runge-Kutta. Metode ini mencapai ketelitian suatu pendekatan deret Taylor tanpa
memerlukan kalkulasi turunan yang lebih tinggi. Banyak perubahan terjadi, tetapi semuanya dapat ditampung dalam bentuk umum dari persamaan 2.13
y
i+1
= y
i
+ f x
i
, y
i
, h h 2.13
dimana f x
i
, y
i
, h disebut suatu fungsi yang dapat diinterpretasikan sebagai sebuah slope
rata-rata sepanjang interval. Fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk umum dalam persamaan 2.14.
Universitas Sumatera Utara
f = a
1
k
1
+ a
2
k
2
+ … + a
n
k
n
2.14 dimana setiap a adalah konstanta dan setiap k besarnya adalah persamaan-persamaan 2.15.
k
1
= fx
i
, y
i
k
2
= fx
i
+ p
1
h, y
i
+ q
11
k
1
h k
3
= fx
i
+ p
2
h, y
i
+ q
21
k
1
h + q
22
k
2
h 2.15
M
k
n
= fx
i
+ p
n-1
h, y
i
+ q
n-1,1
k
1
h + q
n-1,2
k
2
h + ...+ q
n-1,n -1
k
n-1
h
Semua harga k berhubungan secara rekurensi. Artinya k1 muncul dalam persamaan untuk k 2, yang muncul lagi dalam persamaan untuk k3, dan seterusnya. Rekurensi ini
membuat metode RK efisien untuk kalkulasi oleh komputer Raymond et al, 1991.
Berbagai jenis metode Runge-Kutta dapat direncanakan dengan melaksanakan jumlah suku-suku yang berbeda pada fungsi tersebut seperti dinyatakan oleh n. untuk n = 1 atau RK
orde pertama ternyata adalah metode Euler, yaitu persamaan 2.16. y
1
= y + h fx
,y 2.16
Dalam deret Taylor didapatkan persamaan 2.17.
... ,
2 ,
2
+ +
+ =
+ =
y x
f h
y h fx
y h
yx y
2.17
Untuk metode RK orde kedua diberikan oleh persamaan-persamaan 2.18.
Universitas Sumatera Utara
x h
k y
k y
h x
hf k
hfx , y k
∆ =
= ∆
+ +
= =
dengan ,
2 1
, 2
1
2 1
2 1
2.18
Metode RK orde tiga diberikan oleh persamaan-persamaan 2.19.
4 6
1 2
, 2
1 ,
2 1
3 2
1 1
2 3
1 2
1
k k
k y
k k
y h
x hf
k k
y h
x hf
k hfx , y
k
+ +
= ∆
− +
+ =
+ +
= =
2.19
Metode RK orde empat diberikan oleh persamaan-persamaan 2.20.
y x
y h
x y
k k
k k
y k
y h
x hf
k k
y h
x hf
k k
y h
x hf
k hfx , y
k
∆ +
= +
+ +
+ =
∆ +
+ =
+ +
=
+
+ =
=
2 2
6 1
, 2
1 ,
2 1
2 1
, 2
1
4 3
2 1
3 4
2 3
1 2
1
2.20
Sedangkan untuk menyelesaikan persamaan differensial orde dua digunakan metode RK orde empat dengan terlebih dahulu membuat permisalan. Ditinjau persamaan differensial
orde dua seperti pada persamaan 2.21.
, ,
2 2
dx dy
y x
f dx
y d
=
2.21
Universitas Sumatera Utara
Dengan yx = y
, dan y’x = y
’ . Persamaan 2.19. dibuat permisalan sehingga diperoleh
persamaan-persamaan 2.22.
, ,
, ,
z y
x f
y y
x f
y z
dx dz
z y
dx dy
= ′
= ′′
= ′
= =
′ =
2.22
Persamaan-persamaan 2.16. merupakan persamaan-persamaan simultan yang dapat juga dituliskan sebagai f
1
x,y,z=z dan f
2
x,y,z=fx,y,z . Berdasarkan persamaan-persamaan
2.16 tersebut, persamaan differensial orde tersebut diselesaikan dengan mengikuti aturan metode RK orde empat pada persamaan 2.14 Kandasamy et al,1997.
Contoh Runge kutta:
= +
+ y
xy y
dengan
1 1
, ;
1 ;
1 y
y y
y =
= =
z y
xy y
= −
− =
z y
=
z y
x f
z dx
dy ,
,
1
= =
z y
x f
y xz
dx y
d ,
,
2 2
2
= −
− =
Dengan memberikan nilai awal ,
1 =
= =
y z
y maka:
1 ,
, 1
, 1
, ,
,
1 1
1
= =
= =
f z
y x
hf k
1 ,
1 1
, 1
1 ,
, 1
, 1
, ,
,
2 2
1
− =
− =
− −
= =
= f
z y
x hf
l
+ +
+ =
1 1
1 2
2 1
, 2
1 ,
2 1
l z
k y
h x
hf k
Universitas Sumatera Utara
− +
+ +
= 1
, 2
1 ,
2 1
1 ,
1 ,
2 1
1 ,
1
f
005 ,
, 1
, 05
, 1
,
1
f =
005 ,
2
− =
k
+ +
+ =
1 1
2 2
2 1
, 2
1 ,
2 1
l z
k y
h x
hf l
005 .
, 1
, 05
. 1
,
2
− =
f 09975
,
2
− =
l
+
+ +
=
2 2
1 3
2 1
, 2
1 ,
2 1
l z
k y
h x
hf k
0499 .
, 9975
. ,
05 .
1 ,
1
− =
f = -0.00499
+ +
+ =
2 2
2 3
2 1
, 2
1 ,
2 1
l z
k y
h x
hf l
0499 .
, 9975
. ,
05 .
1 ,
2
− =
f = -0.09950
3 3
1 4
, ,
l z
k y
h x
hf k
+ +
+ =
= -0.00995
3 3
2 4
, ,
l z
k y
h x
hf l
+ +
+ =
0995 .
, 99511
. ,
1 .
1 ,
2
− =
f = -0.0985
0995 .
, 99511
. ,
1 .
1 ,
1
− =
f
Universitas Sumatera Utara
y y
y ∆
+ =
∴
1
=
[ ]
00995 .
00499 .
2 005
. 2
2 1
1 −
− +
− +
+
= 0.9950
2.5 Mathematica 6
